篇一：几何概型学案
【学习目标】1.通过对几个几何概型的实验和观察，能归纳出几何概型的两个特点。
2.能识别实际问题中概率模型是否为几何概型。
3.会利用几何概型公式对简单的几何概型问题进行计算。
【学习重难点】
重点：几何概型的特点，几何概型的识别，几何概型的概率公式。
难点：建立合理的几何模型求解概率。
【学习过程】
一、创设情境
上节课我们共同学习了概率当中的古典概型，请同学们回想一下其中所包含的主要内容，并举一个生活当中的古典概型的例子。
（1）在转盘上有8个面积相等的扇形，转动转盘，求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率。
（2）如图:把一块木板平均分成四部分,小球随机的掉到木板上，求小球掉在阴影区域内的概率。
这两个试验是古典概型吗？为什么？
二、探究新知
试验一
看下图中的右边这种情形，现在阴影的面积仍是总面积的四分之一，只不过阴影的形状及其位置发生了变化，那么此时小球落在阴影区域内的概率又是多少？
试验二
在500ml的水中有一只草履虫，现从中随机取出２ml
水样放到显微镜下观察，
求发现草履虫的概率.
试验三
取一根长为60厘米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于20厘米的概率有多大?
思考1：以上三个试验共同点是什么？
思考2：三个试验的概率是怎样求得的？
归纳：
1.几何概型的特点：①②2.几何概型的定义：事件A理解为区域?的某一子区域A，A的概率只与子区域A?的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。
3.几何概型的计算公式：P（A）
4.几何概型的解题步骤：
①
②
③
④
5.几何概型与古典概型的比较
S
3
S的概率。 3
⑵在高产小麦种子100ml中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出3ml，求含有麦锈病种子的概率是多少？
⑶取一个边长为2a的正方形及其内切圆（如图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。
例2.
一海豚在水池中自由游弋，水池长为30m,宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率． 例1.⑴在面积为S的△ABC边AB上任取一点P,求△PBC的面积大于
⑵平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率。
2a
四、归纳小结
针对学习目标，你的收获是 你的困惑是当堂检测：
1.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱AB上任取一点P，则点P到点A的距离小于等于1的概率为 。
2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 的面AA1B1B上任取一点P，则点P到点A的距离小于等于1的概率为 。
3.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 中任取一点P，则点P到点A的距离小于等于1的概率为 。
4.在面积为S的△ABC的面内任投一点P,求△PBC的面积大于
五、课后作业：ABC卷 S的概率。 3
篇二：3.3.1几何概型学案
> 3.2.1 古典概型【学习目标】
1.了解基本事件的特点，理解古典概型的定义.
2.会应用古典概型的概率公式解决实际问题.
【要点导学】
一、基本事件
1.基本事件：在一次实验中，所有可能发生的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为基本事件，试验中其它的所有事件都可以用 来表示.
2.基本事件的特征：
（1）任何两个基本事件是；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成 的和.
（3）所有基本事件的和事件是 .
二、古典概型
1.古典概率模型满足的特征：
（1）实验中所有可能出现的基本事件只有 个；
（2）每个基本事件出现的可能性.
2.对于古典概型，任何事件A的概率为：P(A)= .
【典例分析】
题型一 基本事件
例1.将一颗均匀的骰子先后抛掷两次，计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是质数的结果有多少种？
题型二 古典概型
例2.一个袋中装有5个形状大小完全相同的球，其中有2个红球，3个白球．
(1)从袋中随机取两个球，求取出的两个球颜色不同的概率；
(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求两次取出的球中至少有一个红球的概率．
例3.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，求这2个点的距离不小于该正方形边长的概率.
D
【检测达标】
1.抛掷一颗均匀的骰子，得到的点数是x，试判断下列事件由哪些基本事件组成（用x的取值回答）：
（1）x的取值为2的倍数（记为事件A）；
（2）x的取值大于3（记为事件B）；
（3）x的取值不超过2（记为事件C）；
（4）x的取值是质数（记为事件D）；
2.有甲乙丙丁四人到电影院看电影，只剩下编号分别为1，2，3的三个座位，于是四人决定抽签决定谁坐几号座位，剩下的一个人离开，求甲抽到2号座位的概率.
3．如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，则它的涂漆面数为2的概率是多少？
3.3 几何概型
3.3.1 几何概型
【学习目标】
1.了解基本事件的特点，理解古典概型的定义.
2.会应用古典概型的概率公式解决实际问题.
【要点导学】
1.几何概型
如果每个事件发生的概率只与该事件区域的成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.
2.几何概型的特征：
（1）无限性：实验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
（2）等可能性：其中，基本事件的“等可能性”的判断是很容易倍忽略的.
3.几何概型的概率公式
在几何概型中，事件A的概率公式为：P(A)= .
【典例分析】
题型一 几何概型的概念
例1.判断下列实验中事件发生的概率是古典概型还是几何概型：
（1）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；
（2）如图所示，图中有一个转盘，甲、乙玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则，乙获胜，求甲获胜的概率.
题型二 几何概型的概率公式
例2.在一个大型商场的门口，有一种游戏是向一个画满边长为5cm的均匀方格的大桌上投直径为2cm的硬币，如果硬币完全落入某个方格中，则掷硬币者赢一瓶洗发水.请问随机投一枚硬币正好完全落入某个格子的概率有多大？
例3.在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出
例4.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家之前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？
【检测达标】
1.下列关于几何概型的说法错误的是（ ）
A.几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有可能性
B.几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关
C.几何概型在一次实验中可能出现的结果有无限多个
篇三：几何概型教学案
数学学科必修③教学案编号
3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
组编人白永庆审核人王思灵使用时间 2008.10.8姓名班级学号
一、【学习目标】
1、知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式：
P (A)=；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（4）了解均匀随机数的概念；（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；
（6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题.
2、过程与方法：(1)发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；(2)通过模拟试验，感知应用数学解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。
二、【学习重点难点】1、几何概型的概念、公式及应用； 2、利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．
三、【教学过程】
（一）、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点??这些试验可能出现的结果都是无限多个。
（二）、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：P (A)=；
（3）几何概型的特点： i、试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； ii、每个基本事件出现的可能性相等．
（三）、例题解析：
例1（课本例题1 略）
例2 判下列试验中事件A发生的概率是古典概型，还是几何概型。
（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；
（2）如课本P135图3.3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。
分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性。而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关。
解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；
（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型． 例3 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．
分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车
是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.
解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等车时间不多于10分钟的概率为．
小结：在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从[0,60]上的均匀分布，X为[0,60]上的均匀随机数．
练习：1．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率。
2．两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．
解：1．由几何概型知，所求事件A的概率为P(A)= ；
2．记“灯与两端距离都大于2m”为事件A，则P(A)= =．
例4 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？
分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而40平方千米可看作构成事件的区域面积，有几何概型公式可以求得概率。
解：记“钻到油层面”为事件A，则P(A)= ==0.004．
答：钻到油层面的概率是0.004．
例5 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？
分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。 解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则
P(A)= ==0.01．
答：取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01．
例6 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
分析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应[0,3]上的均匀随机数，其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1,2]内，也就是剪得两段长都不小于1m。这样取得的[1,2]内的随机数个数与[0,3]内个数之比就是事件A发生的概率。
解法1：（1）利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND．
（2）经过伸缩变换，a=a1*3．
（3）统计出[1，2]内随机数的个数N1和[0，3] 内随机数的个数N．
（4）计算频率fn(A)=即为概率P(A)的近似值．
解法2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0，3]（这里3和0重合）．转动圆盘记下指针在[1，2]（表示剪断绳子位置在[1，2]范围内）的次数N1及试验总次数N，则fn(A)=即为概率P(A)的近似值．
小结：用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。解法2用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；解法1用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．
例7 在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm2 与81cm2之间的概率．
分析：正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M，求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率．
解：（1）用计算机产生一组[0，1]内均匀随机数a1=RAND．
（2）经过伸缩变换，a=a1*12得到[0,12]内的均匀随机数．
（3）统计试验总次数N和[6，9]内随机数个数N1
（4）计算频率．
记事件A={面积介于36cm2 与81cm2之间}={长度介于6cm与9cm之间}，则P（A）的近似值为fn(A)=．
4、课堂小结：1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例；
2、均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量．
5、自我评价与课堂练习：
1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（）
A．0.5B．0.4 C．0.004 D．不能确定
2．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．
3．某班有45个，现要选出1人去检查其他班的卫生，若每个人被选到的机会均等，则恰好选中学生甲主机会有多大？
4．如图3-18所示，曲线y=-x2+1与x轴、y轴围成一个区域A，直线x=1、直线y=1、x轴围成一个正方形，向正方形中随机地撒一把芝麻，利用计算机来模拟这个试验，并统计出落在区域A内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数。
6、评价标准：
1．C（提示：由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出2ml的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比=0.004）
2．解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作OM）的取值范围就是[o,a]，只有当r＜OM≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）==
3．提示：本题应用计算器产生随机数进行模拟试验，请按照下面的步骤独立完成。
（1）用1~45的45个数来替代45个人；
（2）用计算器产生1~45之间的随机数，并记录；
（3）整理数据并填入下表
试验
次数
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
600
650
700
750
800
850
900
1000
1050
1出现
的频数
1出现
的频率
（4）利用稳定后1出现的频率估计恰好选中学生甲的机会。
4．解：如下表，由计算机产生两例0~1之间的随机数，它们分别表示随机点（x(本文来自：WwW.dXf5.coM 东星 资源网:几何概型导学案),y）的坐标。如果一个点（x,y）满足y≤-x2+1，就表示这个点落在区域A内，在下表中最后一列相应地就填上1，否则填0。
x
y