篇一：实际问题与一元二次方程(2)导学案
"txt">教学目标:1、会根据具体问题（增长率、降低率问题和利润率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解。
2、能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。
3、进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。
教学重点:
如何解决增长率与降低率问题。
教学难点:
解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b，其中a是原有量，x为增长（或降低）率，n为增长（或降低）的次数，b为增长（或降低）后的量。
教学过程
一、自主预习
若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的量是a，增长（或降低）n次后的量是b，则有： （常见的是n=2）。
二、复习引入
1、列一元二次方程解应用题的步骤是： 、 、 、 、 、 。最后要检验根是否符合实际意义。
2、用一元二次方程解应用题的关键是什么？
三、探究新知
【问题】某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？
【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则
11月份的营业额为 元，
12月份的营业额为 元，即元。 由此就可列方程：
【说明】此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数（增长前的量）的比。
增长率=增长数∶基准数
设基准数为a，增长率为x，
则一月（或一年）后产量为a（1+x）；
二月（或二年）后产量为a（1+x）2；
n月（或n年）后产量为a（1+x）n；
如果已知n月（n年）后总产量为M，则有等式： M=
解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程。
探究2：两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
【分析】⑴甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元) 乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元)
乙种药品成本的年平均下降额较大。但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率。
⑵若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了 元，此时成本为 元；两年后，甲种药品下降了 元，此时成本为 元。
⑶对甲种药品而言根据等量关系列方程为：
解这个方程得：
甲种药品成本的年平均下降率为 。
⑷同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率，并比较哪种药品成本的平均下降率较大。
四、巩固练习
（1）必做题
1、某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?
2、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为 ．
3．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、?三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（ ）．
A．100（1+x）2=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250
C．100（1-x）2=250 D．100（1+x）2
4．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，?第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
5．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，?那么预计2004年的产量将是
6、某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元。已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。
7、某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
7、某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、?二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
8、为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵．已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的平均年增长率．（精确到1%）
（2）选做题
某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息（利息税是20%）又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率． （12．5%）
五、归纳小结
利用一元二次方程解决实际生活中的百分率问题：
若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的量是a，增长（或降低）n次后的量是b，则有： （常见的是n=2）。
六、布置作业
篇二：2015-2016九年级数学上册 22.3 实际问题与一元二次方程数(第1课时)导学案 新人教版
">（面积问题） 学习目标◇能够熟练的利用面积建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题； ◇能够结合实际情况正确决定一元二次方程根的取舍问题；
◇熟练掌握列方程解应用题的步骤和关键． 要点归纳 ★面积问题是实际生活中普遍存在的一种问题模式，正确解答此类问题的关键是用不同的方法或途径表示出同一面积，然后据此得到方程，最后要特别注意解的合理性，正确进行取舍． 学情诊断
一、选择题:本大题共5小题，每小题6分，共30分。
1．有一个面积为16 cm的梯形，它的一条底边长为3 cm，另一条底边长比它的高线长1cm，若设这条底边长为x cm，依据题意，列出方程整理后得（ ）.
22A．x?2x?35?0B．x?2x?70?0 2
22C．x?2x?35?0D．x?2x?70?0
2．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm，设金色纸边的宽为xcm，那么x所满足的方程是（ ）．
22Ａ．x?130x?1400?0 Ｂ．x?65x?350?0 222Ｃ．x?130x?1400?0 Ｄ．x?65x?350?
3. 三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是35）拼成如图6所示的一个大正方形，利用所给的数据，下列方程不正确的是（ ）．
A．x(x+2)=35 B．(2x+2)=35+4 C．4x(x+2)= (2x+2)-4D．x(x+2)=4×35+4 22
4.从正方形铁片上截去2cm宽的一条长方形，余下部分的面积是48cm，则原来的正方形铁片的面积是（ ）．
A．8cmB．64cmC．8cm D．64cm
5.如图，将面积为1363的长方形ABCD分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形。根据下图，若灰色长方形之长与宽的比为5：3，设小正方形的边长为x，则可列方程为（）
22 2
A．5x·3x=1363 B．5x·3x=148C．47x·29x=1363 D．47x·29x=148
二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。
6. 一个矩形的长比宽多4 cm，面积是96 cm，若设矩形的宽为xcm，则可得方程_____________．
7.如图9所示，是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12 cm的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为
. 22
8.在一块长35m，宽26m的矩形绿地上准备修建宽度相同的两条五彩石小路，如图4所示，其中计划剩余绿地面积为850m，若设小路宽为xm，则可列出方程为 ．
2
9.如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（x2?17）cm，正六边形的边长为（x2?2x）cm(其中x?0).则这两段铁丝的总长为
.
10.如图5所示，8块相同的长方形地砖拼成面积为2400cm的大矩形，则该小矩形的周长为_______．
2
三、解答题：本大题共3小题，共40分。
11.（13分）利达加工厂加工一批如图2所示的底面为正方形的长方体酒盒，按照厂家的要求它的高等于30cm，为了美观且摆放稳定，要求侧面积是底面正方形面积的8倍，你能帮助厂家计算出底面的边长吗？
12.（13分）如图8所示是中北居民小区某一休闲场所的平面示意图．图中阴影部分是草坪和健身器材安装区，空白部分是用做散步的道路．东西方向的一条主干道较宽，其余道路的宽度相等，主干道的宽度是其余道路的宽度的2倍．这块休闲场所南北长18m，东西宽16m．已知这休闲场地中草坪和健身器材安装区的面积为168m，请问主干道的宽度为多少？ 2
13.（14分）在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．
同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由. 挑战自我
14.（20分）把一张边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当地裁剪，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）如图，若再正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．要使折成的长方体盒子的底面积为484cm，那么剪掉的正方形的边长为多少？
2
（2）若再正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为
550cm，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）．
第9课时 参考答案
1.A．解析：根据梯形的面积公式得
选A.
2. B.解析：由题意得80×50+2×80x+2×50x+4x=5400,整理得x2?65x?350?0，221(3?x)(x?1)?16，整理得x2?2x?35?0.故2
故选B.
3.D.解析：选项A中，等量关系是每个矩形的面积都是35列方程；选项B中，等量关系是四个矩形以及中间的小正方形围成的面积正好是大正方形的面积；选项C中，等量关系是大正方形的面积减去中间小正方形的面积是四个矩形的面积；选项D不正确.
4.D．解析：设原来正方形的边长为x，由题意得x=2x+48,解得x1=-6(舍去)，x2=8.故原正方形的面积是64 cm，选D.
5.C.解析：根据长方形对边相等的性质可知，灰色长方形的一条长边和一条宽边上可排列的小正方形的个数为22148?2?72个，根据灰色长方形之长与宽的比为5：3，可知灰色2
长方形的长边上可排列的小正方形的个数为45个，宽边上可排列的小正方形的个数为27个，那么AD边上可排列的小正方形的个数为49个，AB边上可排列的小正方形的个数为29个，根据长方形的面积公式可得47x·29x=1363.故选C.
6. x（x+4）=96.
7.（9－2x）（5－2x）=12.
28.x?61x?60?0. 解析：将小路平移到矩形绿地的相邻的两条边上，可得方程（35-x）
2（26-x）=850,即x?61x?60?0.
229.420cm.解析：由已知得，正五边形周长为5（x?17）cm，正六边形周长为6（x?2x）
5x2?17）=6（x2?2x）cm.因为正五边形和正六边形的周长相等，所以（.
2整理得x?12x?85?0,解得x1=5，x2=-17(舍去).
（52?17）=210(cm). 故正五边形的周长为5?
又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm.
10.80cm.解析：设小矩形的宽为x，则由图像可得小矩形的长为3x，由题意得8x·3x=2400，解得x1=10,x2=-10（舍去），所以小矩形的周长为2（10+3×10）=80，故填80cm.
11.解：设底面的边长为x，根据题意，得8×x
2=4×x×30.
篇三：2014年最全初中数学导学案——数学：人教版九年级上 22.3 实际问题与一元二次方程(教案)
ss="txt">一、教学目标1.会利用一元二次方程解决简单的图形问题.
2.培养分析问题解决问题的能力，发展应用意识.
二、教学重点和难点
1.重点：利用一元二次方程解决简单的图形问题.
2.难点：根据图形问题列方程.
三、教学过程
（一）创设情境，导入新课
师：前面我们学习了有关一元二次方程的知识，我们学习了什么是一元二次方程，
学习了什么是一元二次方程的根，学习了如何解一元二次方程.现在，老师要同学们想这
样一个问题：为什么要学习这些知识？学习这些知识的目的是什么？（稍停后再叫学生）
生：??（多让几名同学发表看法）
师：和一元一次方程一样，一元二次方程也是解决实际问题的工具.学习一元二次方
程不是为了什么，而是为了解决实际问题.从这节课开始，我们来学习如何利用一元二次
方程解决实际问题（板书课题：22.3实际问题与一元二次方程）.
师：下面我们来看一个例子.
（二）尝试指导，讲授新课
（师出示下面的例题）
例 扎西家有一个长方形院子，它的长比宽多3米，面积为54平方米，院子的长和
宽各是多少米？
师：大家把这个题目默读几遍.（生默读）
师：题目要求院子的长和宽，我们设院子的长为x米，则院子的宽为多少米？
生：(x-3)米（师板书：解：设院子的长为x米，则院子的宽为(x-3)米）.
师：读了题目，又设好了未知数，你能按题目的意思画一个图吗？大家试一试.
（生画图，师巡视）
师：我们一起来画图.扎西家有一个长方形的院子（边讲边画一个长方形），现在设
这个院子的长为x米（边讲边标：x米），则宽为(x-3)米（边讲边标：(x-3)米），院子的
面积为54平方米（边讲边标：面积54平方米，画好的图如下所示）.
x米
面积54平方米（x-3）米
师：根据这个图，大家列一列方程.
（生列方程，师巡视）
师：（板书：根据题意列方程，得）列出的方程是什么？
生：x(x-3)=54.（多让几名同学回答，然后师板书：x(x-3)=54）
师：（指方程）列出的方程是一个一元二次方程，大家把它整理成一般形式.（生整
理方程）
师：整理后的方程是什么？
生：x-3x-54=0（师板书：整理，得x-3x-54=0）.
师：（指x-3x-54=0）大家用公式法解这个方程.
（生解方程，师巡视）
师：方程的两个根x1等于什么？x2等于什么？
生：x1=9，x2=-6（师板书：解方程，得x1=9，x2=-6，如有必要师可在黑板的其它地
方板演解方程过程）
师：（指准x(x-3)=54）这里的x表示什么？（稍停）表示院子的长，院子的长不能
是负数，（指准x1=9，x2=-6）所以x2=-6不符合题目的意思，要舍去（板书：（不合题意，
舍去））.所以院子的长为9米（板书：答：院子的长为9米）.
师：院子的宽为多少米？
生：宽为6米.（师板书：宽为6米）
师：这道题目做完了，做了这道题目，谁来归纳一下怎么利用一元二次方程解决实
际问题？（让生思考一会儿后再叫学生）
生：??（让几名同学回答）
师：（指准例题）利用一元二次方程解决实际问题，第一步要读题，反复地读题，有
的时候还可以画一画图，通过读题画图弄清题目的意思；第二步设未知数；第三步根据题
目的意思列出一元二次方程；第四步解一元二次方程，一元二次方程的根有两个，要根据
题意来取舍解出的根，-6这个根不符合题目意思，要舍去；第五步答.
师：利用一元二次方程解决实际问题就这么五步，实际上与利用一元一次方程解决
222
实际问题的步骤是一样的.
师：下面就请同学们自己来做两个练习.
（三）试探练习，回授调节
1.完成下面的解题过程：
一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm,求两条直角边的长.
解：设一条直角边的长为cm，则另一条直角边的长为 cm.
根据题意列方程，得.
整理，得 .
解方程，得 x1=，x2=（不合题意，舍去）.
答：一条直角边的长为cm，则另一条直角边的长为cm.
2.一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12cm，
(1)求菱形的两条对角线长；
(2)求菱形的周长.
（提示：菱形的面积=两条对角线积的一半）
（四）归纳小结，布置作业
师：（指例题）本节课我们学习了一个例题，大家再看一看这个例题，回顾一下利用
一元二次方程解决问题有哪几个步骤.
（作业：P48习题1(1)(2)2.3.）
四、板书设计（略）
课题：22.3实际问题与一元二次方程（第2课时）
一、教学目标
1.会利用一元二次方程解决传播问题.
2.培养分析问题解决问题的能力，发展应用意识.
二、教学重点和难点
1.重点：利用一元二次方程解决传播问题.
2.难点：根据传播问题列方程.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知 22
1.填空：
(1)有一人得了流感，他把流感传染给了10个人，共有人得流感；第一轮
传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了10个人，经过两轮传染后，共有人
得流感.
(2)(本文来自：www.dXF5.com 东 星资 源 网:实际问题与一元二次方程导学案)有一人得了流感，他把流感传染给了x个人，共有 人得流感；第一
轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了x个人，经过两轮传染后，共有人得流感.
（(1)题答案为11，121，(2)题答案为1+x，1+x+x(x+1)，先让生自己做，然后师
进行讲解）
（二）创设情境，导入新课
师：和一元一次方程一样，利用一元二次方程可以解决实际问题，上节课我们做了
一个例题，本节课我们再来看一个例题. （三）尝试指导，讲授新课
（师出示下面的例题）
例 有一人得了流感，经过两轮传染后，共有121人得了流感，每轮传染中平均每一个人传染了几个人？
师：大家把这个题目好好默读几遍.（生默读）
师：谁能不看黑板说出题目的意思？
生：??（让几名同学说）
师：这个题目怎么设？
生：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.（师板书：解：设每轮传染中平均一个
人传染了x个人）
师：（在黑板的其它地方板书：第一轮后）设平均一个人传染了x个人，那么第一轮
后，共有多少人得了流感？
生：1+x.（多让几名同学回答，然后师板书：1+x）
师：（在黑板的其它地方板书：第二轮后）那么第二轮后，共有多少人得了流感？（让
生思考一会儿再叫学生）
生：1+x+x(1+x).（多让几名同学回答，然后师板书：1+x+x(1+x)）
师：下面大家根据题目的意思列一列方程.
（生列方程，师巡视）
师：（板书：根据题意列方程，得）列出的方程是什么？
生：1+x+x(1+x)=121（生答师板书：1+x+x(1+x)=121）.
师：（指方程）这是一个一元二次方程，怎么解这个方程？大家试着解一解.（生解方程）
师：解出来的结果是什么？
生：x1=10，x2=-12（生答师板书：x1=10，x2=-12）.
师：（指方程）解这个方程是有讲究的，很多同学用公式法解，发现数字比较大，解起来比较麻烦.实际上我们可以用直接开平方法来解.怎么用直接平方法来解？（稍停）
师：（指准1+x+x(1+x)=121）1+x+x(1+x)有公因式1+x，我们把1+x提取出来，得到(1+x)(1+x)（边讲边在其它地方板书：(1+x)(1+x)），可见方程可以化成(1+x)=121（边讲边在其它地方板书：(1+x)=121），用直接开平方法解这个方程，容易求出x1=10，x2=-12.
师：方程中的x表示每个人传染的人数，所以x2=-12不符合题目的意思，要舍去（板书：（不合题意，舍去））.
师：最后还要答.（板书：答：每轮传染中平均每个人传染了10个人）
师：下面请大家自己来做一个练习.
（三）试探练习，回授调节
2.完成下面的解题过程：
有一个人知道某个消息，经过两轮传播后共有49人知道这个消息，每轮传播中平均一个人传播了几个人？
解：设每轮传播中平均一个人传播了x个人.
根据题意列方程，得 .
提公因式，得( )=.
解方程，得 x1=，x2=（不合题意，舍去）.
答：每轮传播中平均一个人传播了个人.
3.一个人知道某个消息，设每轮传播中一个人传播了x个人，填空： 222 (1)经过一轮传播后，共有 人知道这个消息；
(2)经过两轮传播后，共有 人知道这个消息；
(3)经过三轮传播后，共有 人知道这个消息；(4)请猜想，经过十轮传播后，共有 人知道这个消息.
（五）归纳小结，布置作业
师：本节课我们学习了利用一元二次方程解决传播问题.俗话说：一传十，十传百.