圆与圆的位置关系的教学设计
本节课是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社 课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著）必修2中第四章《圆与方程》第二节“直线、圆的位置关系”的第一课时，它是在学生已经掌握“直线的方程”和“圆的方程”的基础上，进一步研究直线与圆的位置关系．
17世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法研究几何问题．上一章，我们学习了直线与方程．知道在直角坐标系中，直线可以用方程表示，通过方程，可以研究直线间的位置关系，直线与直线的交点等问题．本章在上一章的基础上，将继续用坐标法探究圆的几何特征，建立它的方程，通过方程研究它的简单性质，并用坐标法解决一些与圆有关的简单几何问题和实际问题，如直线与圆、圆与圆的位置关系等问题，进一步让学生感受数形结合的基本思想方法，形成用代数方法解决几何问题的能力．
解析几何是数学的一个重要分支，它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系．本节课将研究直线与圆的位置关系，它的核心内容是如何借助直线的方程和圆的方程来判断直线与圆的位置关系，通过学习让学生掌握两种判断方法．一种方法，根据学生初中学习直线与圆相交、相切、相离的定义的基础上，将直线的方程与圆的方程联立方程组，通过讨论方程组的解的不同情况来判断．本方法主要突出坐标法的思想且具有一般性，可类比地推广到对椭圆、双曲线、抛物线同类问题的研究中．另一种方法，根据学生初中学习的直线与圆三种位置关系的判定，即利用圆心到直线的距离与半径比较．该方法，涉及到把点与坐标、直线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合．需要特别指出的是：该方法属圆的个性范畴，不能推广．通过分析不难看出，“直线与圆的位置关系”起到了承上启下的重要作用．
直线与圆的位置关系这一内容，蕴含着丰富的数学思想．首先，直线与圆的位置这一几何特征，是通过点的坐标和直线、圆的方程来研究，体现了数形结合的思想方法．这在学习直线的方程、圆的方程时，学生已经接触过，结合本节课内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势．其次，从本节课知识的研究过程来看，由“几何问题（位置关系）”到“代数问题（坐标、方程、点到直线的距离公式、联立方程组等），再到“几何问题（分析代数结果的几何含义）”，充分体现了由“形”到“数”，再由“数”到“形”的转化过程，是转化思想的具体应用．再有，通过具体例子判断直线与圆的位置关系，来归纳总结判断直线与圆位置关系的方法，充分体现了由特殊到一般的思想方法．
因此，本节课的教学重点：直线与圆的位置关系及判断方法；坐标法的基本思想．
二、教学目标设置
（一）教学目标
1．掌握直线与圆的三种位置关系；熟练掌握判断位置关系的两种方法；能够解决一些简单的与直线与圆位置关系相关的问题．
2．（1）通过本节课的学习，让学生经历操作、观察、探索、总结直线与圆位置关系的判断方法的过程，从而培养学生观察、比较、概括的逻辑思维能力；（2）通过本节课的学习，要让学生经历如下过程：将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题，要帮助学生不断地体会“数形结合”、“转化”和“由特殊到一般”的数学思想方法．
3．激发学生的求知欲和学习兴趣，培养学生积极探索、发现新知识、总结规律的能力，解题时养成归纳总结的良好习惯．
（二）目标解析
1．学生在初中已经学习了直线与圆相交、相切、相离的定义和判定，但只停留在结论层面．本节课将在这个基础上，结合学生掌握的直线、圆的方程来探究直线与圆位置关系的两种判断方法．一种方法是利用圆心到直线的距离与半径比较（会涉及到点到直线距离公式），思路简洁，学生易接受，但这种方法具有一定的局限性，不能求出公共点的坐标．另一种方法是直线的方程与圆的方程联立方程组，根据方程组的解的不同情况来判断，充分体现“数学结合”思想方法的应用，同时为选修2中研究直线与圆锥曲线的位置关系奠定坚实基础．掌握判断位置关系的方法，进一步利用坐标法解决一些简单的与位置关系相关的问题．
2．数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期四个阶段，而非能复制与灌输．在探究利用坐标法研究直线与圆的位置关系时，让学生领悟到数形结合思想、转化思想的存在，并能运用这些数学思想观察、分析直线与圆的位置关系．
3．通过利用坐标法探究直线与圆的位置关系，使学生经历观察、分析、探究、归纳、概括的认知过程，培养学生良好的思维品质，提高学生思维能力．
三、学情分析
（一）学生程度
我所面临的学生是高一新生，所授课的班级中考数学平均分较低，学生层次不同，存在一定差异．虽经历了必修一集合、函数相关知识的学习，但解析几何的学习刚刚开始，对坐标法还处于了解的层次。
（二）知识层面
1．学生初中已经接触过直线与圆相交、相切、相离的定义和判定；
2．掌握了点的坐标、直线的方程、圆的方程以及点到直线的距离公式；
3．必修二的第三章初步学习了坐标法．
（三）能力层面
1．掌握利用方程组的方法来求直线的交点；
2．具有用坐标法研究点与圆的位置关系的基础；
3．具有一定的数形结合解题思想的基础．
根据以上三个方面的分析，在学生已有的认知基础的条件下，学生可以自主完成利用圆心到直线的距离与半径比较来判断直线与圆的位置关系的方法；部分学生可以在研究直线的交点的基础上来完成联立直线与圆的方程，通过方程组的解的不同情况来研究，但学生仅仅停留在模仿、类比的知识表面，知识的来龙去脉并不知晓，这时需要教师的引导和帮助．
教学难点： 用坐标法判断直线与圆的位置关系．根据本节课的特点，在教学中借助几何画板可以帮助学生进行数学探究．
四、教学策略分析
1．根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以几何画板为平台，通过图形的动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持．
2．由于我校学生基础薄弱，所以在整节课的教学中采用小组合作学习的方式，这样可以为不同认知基础的学生提供学习机会，同时有利于发挥各层次学生的作用．
3．本节课的教学设计遵循了“以学生为主”的教学模式，教师始终坚持启发式教学原则，设计一系列问题串，以引导学生的数学思维活动．教师在整个教学过程中，注意到了少讲，给学生充分活动的时间和空间，让学生互相评价，总结解题经验．教师的重点放在了对解法的归纳以及坐标法的思想是否得到落实上．
五、教学过程
（一）引入新知
问题1：
（1）根据图（一）直角坐标系中圆的图形，写出
圆的标准方程 ；
圆的一般方程 ．
（2）在图（一）中根据直线的方程画出直线，
并判断直线与圆的位置关系 ．
（3）在图（二）中根据直线的方程画出直线，并判断直线与圆的位置关系 ．
（4）在图（三）中根据直线的方程画出直线，
并判断直线与圆的位置关系 ．
师生活动：学生动手画图、思考，教师巡视指导，学生代表到前面演示，一边讲解做题过程一边与同学们核对．
【设计意图】通过问题的设置，可以锻炼学生动手画图的能力，同时达到复习巩固的目的，还体现曲线与方程的对应关系；启发学生由图形获取直线与圆的位置关系以及判断方法的直观认知，为新课的学习奠定坚实的基础．
思考1：在核对的过程中，图（三）的结果出现了分歧，有的同学的答案是直线与圆的位置关系是相离，有的同学认为是相切，思考到底哪种情况是正确的呢？
师生活动：教师制造矛盾，让学生发现通过图形判断直线与圆的位置关系会存在一定的误差，但又没有更好地理由否定对方的结果．
【设计意图】通过问题的设计，可以激发学生学习新知识的强烈欲望，体现新知学习的必要性．
思考2：怎样判断直线与圆的位置关系？
直线与圆相交、相切、相离的定义：
（1）直线和圆有两个公共点，直线与圆相交；
（2）直线和圆有唯一公共点，直线与圆相切；
（3）直线和圆没有公共点，直线与圆相离．
直线与圆相交、相切、相离的判定：设圆的半径为，圆心到直线的距离为．
（1）当时，直线与圆相交；
（2）当时，直线与圆相切；
（3）当时，直线与圆相离．
两种方法：①根据定义（根据公共点的个数来定义位置关系）；
②圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系．
师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答情况及时进行补充．
【设计意图】以问题为载体，帮助学生复习、整理已有的知识结构，培养学生养成良好的学习习惯．
（二）构建新知
问题2：既然画图形存在误差，思考不画图，不通过图形如何判断直线与圆的位置关系？借助问题1中（2）和（3）为背景进行思考讨论．
（2）已知直线的方程是，圆的方程是，判断直线与圆的位置关系．
（3）已知直线的方程是，圆的方程是，判断直线与圆的位置关系．
师生活动：以小组为单位进行讨论研究，教师巡视指导，讨论有结果的小组可以派代表写在黑板上．
【设计意图】由较简单的问题导出这节课的内容，让学生利用已有的知识，探究用坐标法判断直线与圆的位置关系的方法，给学生留有充分的活动时间．
思考3：如何利用坐标法的三步曲总结利用圆心到直线的距离与半径比较的方法？
师生活动：学生讲解，教师板书总结的过程，其他学生补充，教师适时点评．
【设计意图】利用几何特征解决这个问题，符合学生的认知基础，思路简单，容易获得结论.
思考4：让学生思考为什么可以通过让直线的方程与圆的方程联立，来研究直线与圆的位置关系问题？
这种方法要让学生先理解几何元素及关系如何用代数表示，充分理解曲线与方程的对应关系．
假设直线与圆有公共点，设为，教师要让学生理解下列对应关系．
圆与圆的位置关系的教学设计
4.2.2圆与圆的位置关系 课程标准分析： 《圆与圆的位置关系》这节课的课程标准：能根据给定直线，圆的方程，判断圆与圆的 位置关系。在此要求学生在知识与技能方面达到理解，并能独立解决实际问题的要求，另外， 课标还提到了给定直线，圆的方程等几何要素，因此处理本节内容的前提，要熟知点到直线 的距离公式，圆的标准方程和一般方程，并能根据方程找到圆的圆心和半径，同时还要理解 和掌握点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系的判断方法。贯穿始末的就是用坐标的思想 解决几何的问题。综上所述，本节内容从课标的角度讲能力要求比较高。因此它在高考中还 是起到了很重要的作用。教材分析： 本节课内容是人教版A 版教材必修二第四章第二节内容，从位置上讲，体现了它的重要 性。另外，初中已经学过了几何法判断圆与圆的位置关系，高中课本的重提，是平面几何问 题的深化，用坐标的方法来解决几何问题是解析几何的精髓，它为以后处理圆锥曲线了铺垫， 另外，本节内容可以帮助学生体会数形结合的思想，所以，本节课的内容在教材中起到了承 上启下的作用，意义重大。
教学建议分析： 1.我们学习圆与圆的位置关系可以类比直线与圆的位置关系，因此给学生自主学习提供了方 法支持。
2.求公共弦所在直线方程和公共弦长我们可采用数形结合的方法。
教学三维目标： 级目标：面向部分学生，重点针对能力较强，学有余力的学生1.知识与技能 级目标：理解几何问题坐标化的思想，深入了解解析几何的本质2.过程与方法：学生通过自主探究，结合教师引导，类比直线与圆的位置关系，得到判断圆 与圆的位置关系。
3.情感与价值观:培养学生自主探究及分析问题，解决问题的能力，进一步体会数形结合的 思想。
教学重点：用坐标法判断圆与圆的位置关系，求弦长问题 教学难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系。
学习方法：教师引导下的学生自主探究，小组合作，配合独立思考，课堂练习。
教学策略：通过复习旧知识以此联系新知识，引导学生使用类比的方法，自主探究得到圆与 圆的位置关系，不断渗透数形结合的思想。采用启发发现式，交流合作的方法。
课时安排：1 课时 教具准备：三角尺，粉笔，多媒体设备。
教学过程设计： 一．课前准备与探究 1.组织学生上网查找地理资料，了解“日食”形成的原因，探究日食形成过程中的数学问题。
2.组织学生搜集生活中关于圆与圆的位置关系的例子。
3.手工制作两张圆的卡片，一大一小，演示两圆的运动过程，体会五种位置关系。
二．创设情景，导入新课 1．活动：1.请学生简述日食形成过程中的数学问题，并举出生活中与两圆的位置关系有关 的例子。
2.请学生演示两圆的运动过程，引出圆与圆的五种位置关系。
设计意图:让学生分享与他人的劳动成果，充分体会数学来源于生活，再次对圆与圆的位置 关系有深刻的理解，活跃课堂气氛，提高学生的积极性。
注:上述活动的结果可由班级中学习能力较弱的C 类生总结，可以提高该类学生的学习兴趣。
2.师：初中时，我们是如何判断两圆的位置关系的？ 生：利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断。
师：给出具体的情况吗？ 生：可以。（简述过程） 注：上述问题交给C 类学生，增加学生的积极性和自信心。师：好，非常好（给出(原文来自：wWW.DxF5.com 东 星资源网:圆与圆的位置关系的教学设计)多媒体幻灯片） 师：回忆一下前面学过的判断点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系都用了哪些方法？生：几何和坐标法 师：能说说坐标法的思路吗？ 生：联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程，用 判断， 直线与圆相交 注：此类问题交给C类学生，一方面起到复习巩固的作用，一方面激发学习热情 师：很好（给肯定的评价）如何判断圆与圆的位置关系？ 生：几何法和坐标法（注：全班学生一起得到结论） 师：这节课我们就一起来研究圆与圆的位置关系的判断方法（板书课题） 设计意图：引出课题，并为本节内容提供学习思路和方法。
三．推进新课 自主探究: 1.例题： 已知圆判断两圆的位置关系？若相交求出公共弦所在的直线方程及公共弦长？（幻灯片） 问题：.你能在同一坐标系中画出两个方程表示的圆吗？ .根据你所画的图形，可以直观的判断两个圆的位置关系，如何把这些直观的事实 转化为数学语言呢？.如何判断两圆的位置关系呢？具体步骤是什么？ 活动:前后四人为一小组，教师引导学生观察图形思考。并关注多少学生利用图形求解，对 这些学生给予及时表扬。教师在下面巡视，选出代表将自己的方法写在黑板上。
设计意图:1 培养学生自主探究的能力2.让学生板演格式，及时发现问题给予纠正。
3.学生分析问题，解决问题，小组合作的能力。4.加强数形结合的意识。
进行板演的学生可以选择班级中学习能力较强的A类生，目的是具有示范性，同时也可 以发现学生遇到的障碍，及时给予帮助。
讨论结果：1.图 2．学生板演几何法和坐标法的做题步骤 解法一：平面几何（略） 解法二：坐标法,联立方程组 ，只判断不求解所以两圆的位置关系是相交。
师：很好。谁来说说坐标法的思想是什么？ 注：可由班级中的B类生给出结论，以此提高能力。（面向班级全体学生，实现A 级目标） 活动：教师带领学生总结用坐标法和几何法判断圆与圆位置关系的步骤（书写板书） 2.问题：已知上题中的两圆相交，你能否求出公共弦所在的直线方程。
活动：学生审题，思考交流，探讨解题思路，教师及时引导，学生争先发表自己的看法 生1：求出两圆的交点坐标，利用两点式公式就可以求出直线方程。
生2:求出两圆连心弦的斜率，因为公共弦所在直线与连心线垂直，则可根据 到公共弦所在直线的斜率。又由中点坐标求出中点，点斜式方程。师：很好，大家的方法很好，那么你从发现了什么问题啊？ 生：坐标法中的式就是公共弦所在的直线方程！ 师：呵呵，好的，请你在图上做出方程的图。你们的发现对吗？ 生：是，原来我们已经求出公共弦所在的方程！ 设计意图：充分调动学生的积极性，拓展学生的思维，深化几何问题坐标化的思想，体现数 形结合的思想。引导学生验证探究的结论，以此获得成就感。
师总结：这样以来，两圆的公共点的问题就转化为直线 ）公共点的问题。那么，我们就可以用圆心到直线的距离与半径的关系来判断圆与圆的位置关系。这 是我们经常说的什么思想？ 生：化归的思想。
上述过程B级目标的实现。
设计意图：通过教师的总结，使问题进一步深化。
3.问题：你能求出公共弦长吗？ 生1：设圆心到公共弦的距离为圆心为d,圆的半径为r 利用关系 求出两圆的交点坐标。活动:教师首先给予评价，及时表扬学生，选出代表进行两种方法的板演。
注：学生能够基本完成目标，选出班级中学习能力较强的A 类学生处理，具有示范性。（面 向部分学有余力的同学提高能力，B 级目标的实现） 设计意图:此问是对几何法与坐标法解决问题的深化，也是又一次的对比。再一次强调了数 形结合的思想的应用，提高了学生解决问题的能力。
四:知能训练 练习： 相切相交相离？设计意图：进一步巩固坐标法和几何法判断圆与圆的位置关系的应用，并通过此题比较几何 法和坐标法各自适用的优点。
练习：已知圆 相交，求出公共弦所在直线方程和公共弦长？ 设计意图：巩固利用坐标法解决问题的方法，并提高学生分析问题的能力。
五．课堂小结：1.我们学到了哪些知识，谈谈你的收获？ 2.你能比较几何法和坐标法各自使用的特点吗？ 3.学习过程中，我们提到了哪些思想方法？ 设计意图：深化主题，再一次将方法升华。
六．布置作业: 基础作业：课本A 组习题1，2 （面向全体学生） 提高作业：《走向高考》课堂能力训练（部分学生，重在能力的提高） 选做作业: 已知圆在平面上找一点P，过点P 引两圆的切线并使它们都等于 （面向班级中学有余力的同学） 设计意图：实现目标分层，让学习程度不同的学生都能在课下取得收获，能力得到提高。
七．板书设计: 课题圆与圆的位置关系 几何法的步骤学生自主探究： 课堂小结： 板演例题1 .2.3 坐标法的步骤布置作业: 八．教后反思：本节课在做完后，效果还是很不错的，在此有这样的一些想法，首先，让学生去寻找生活 中跟圆与圆的位置关系例子，提高了学生自主学习的积极性，今后在教学中，尽可能把生活 中的例子引进数学中，让学生更容易学习，也就会更喜欢学习。在自主探究的环节要放开学 生的手脚，学生会想出很多的方法，不要过多的担心学生不按照老师的思路走，只有这样我 们才能更好的发现问题解决问题。其次，让学生板演例题对学生提出了更高的要求，是可以 适当的运用到教学当中去，同时也可以培养学生动手动脑的习惯 。教学过程中对学生有意识 的分层提问，目的是想让更多的学生成为课堂的主人，也基本上达到了分层目标的要求。在 今后的教学中还要深层次的研究课标和教材，让我们的分层教学落到实处，发挥的更好。本 节课中，教师与学生合作愉快，课堂气氛活跃，让我深深的感受到，怎样让我们的学生快乐 学习，怎样让我们的学生学习起来有成就感，是我们在教学中应该时时刻刻思考和努力的方 在课堂实施过程中，学生是不容易探究到公共弦所在的直线方程就是两圆的方程做差得到的方程，因此简单的问题没有得到意料的结果。因此在教学设计的时候要能够考虑到这些问 题，课堂上临时决定让学生做出直线，总之在教师的引导下还是完成了教学。
圆与圆的位置关系的教学设计
一。情境导入
师：（展示课件）这幅画面中我们看到了圆与圆之间也有着不同的位置关系，今天我们就来探究圆与圆的位置关系。
二。复习引入
师：下面我们先来复习一下点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系。
生：完成讲义中的表格。
1、点和圆的位置关系
点和圆的位置关系点到圆心的距离d与半径r的数量关系
2、直线与圆的位置关系
直线和圆的位置关系
公共点数目
公共点名称
直线名称
直线到圆心的距离d与半径r的数量关系
师：在课件中展示答案
3.、探究新知
师：展示课件后说：两圆的位置关系又是如何的呢？
师：看课件中的日食的形成过程，你能抽离出两圆有什么位置关系吗？
生思考，并完成表格：（1）、请认真观察两圆的运动过程，把你观察到的两圆的位置关系的图形画出来。并思考两圆的交点有几种情况？
（2）、如果两圆的半径分别为r1和r2（r1＞r2），圆心距为d，在圆和圆的不同的位置关系中，d与r1、r2具有怎样的数量关系？
圆与圆的位置关系图形公共点个数d与r1、r2的关系
4.合作探究
师：紧接着播放课件，让学生进一步感受两圆间的关系。让学生整体感知两圆的公共点的变化情况，并记录下每种情况的两圆间的图形，感受两圆的五种位置关系。
师：刚才的课件或课前热身的操作中的两圆的位置关系，你都看清楚了吗？类似于我们所学过的直线与圆的关系，两圆有以下关系：（展示课件）
师：在相离这一类型中的两种图形一样吗？具体有什么不同？
生：不一样；其中一种图形中的两圆彼此都在各自的外部，而另一种图形中的小圆在大圆的内部。
师：对！所以我们把这两种情况分别叫做外离和内含。类似地，在相切这一类型中的两个图形应分别叫什么呢？
生：外切和内切。
师：很好！因此，严格地说，两圆应有几种位置关系呢？分别是什么？
生：五种，分别是：外离、内含、外切、内切、相交。
师明确：两圆的五种位置关系及其名称、公共点的个数。