篇一：高中数学：变换与矩阵、极限试题与全解
一、选择题
错误！未指定书签。 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）展开式为ad-bc的行列式
是 （ ）
abA．
dc
B
a
B．
c
C．
adb
c
D．
bad
c
bd
错误！未指定书签。 ．在数列{an}中，an
?2n?1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j
j?
(D)63
）则该矩阵元素能取到的不同
列的元素ai,j?ai?aj?ai?aj，（i?,2,1;7,,2,12,数值的个数为（ ）
(A)18 (B)28
(C)48
ai,j?ai?aj?ai?aj?2i?j?1，而i?j?2,3,
二、填空题
,19，故不同数值个数为18个，选A．
错误！未指定书签。 ．（2013年高考上海卷（理））若
x2?1
y21
?
xx
y?y
,则x?y?______
x?y?0.
x2?y2??2xy?x?y?0．
错误！未指定书签。 ．（2013年高考上海卷（理））计算：lim
n?20
?______
n??3n?13
根据极限运算法则，lim
n?201
?．
n??3n?133
三、解答题（每题10分，共30分）
错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））
矩阵与变换
已知直线l:ax?y?1在矩阵A??(Ⅰ)求实数a,b的值;
?12?'
对应的变换作用下变为直线l:x?by?1. ??01?
?x0??x0?
(Ⅱ)若点p(x0,y0)在直线上,且A?????,求点p的坐标.
?y0??y0?
解:(Ⅰ)设直线l:ax?y?1上任意一点M(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是
M?(x?,y?)
由?
?x???12??x??x?2y??x??x?2y
,得 ?????????????y??01??y??y??y?y
又点M?(x?,y?)在l?上,所以x??by??1,即x?(b?2)y?1
依题意?
?a?1?a?1
,解得?
?b?2?1?b??1
(Ⅱ)由A?
?x0??x0??x0?x0?2y0
?,得解得y0?0 ????yyy?y00?0??0??
又点P(x0,y0)在直线上,所以x0?1 故点P的坐标为(1,0)
错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯
WORD版含附加题））B. [选修4-2:矩阵与变换]本小题满分10分.
??10??12??1
已知矩阵A??,求矩阵AB. ,B????
?02??06?
B 解:设矩阵A的逆矩阵为?
?a?b?
,则?
?c?d???1?0??a?b??1?0?
?0?2??c?d?=?0?1?,即
??????
??a??b??1?0?
?2c?2d?=?0?1?,
????
??1?0?1?, 故a=-1,b=0,c=0,d=∴矩阵A的逆矩阵为A?1??1?0???2
2????1?0?
?∴AB=?1?0???2??
?1
?1?2???1??2??0?6?=??0??3? ????
错误！未指定书签。 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知数列{an}的前n项和
a
（b1?b2?为Sn??n2?n,数列{bn}满足bn?2n,求lim
n??
?bn）.
[解]当n?2时,an?sn?sn?1??n2?n?(n?1)2?(n?1)??2n?2. 且a1?s1?0,所以an??2n?
2.
11
?()n?1,所以数列{bn}是首项为1、公比为的无穷等比数列.
44
14
（b1?b2??bn）故lim??. n??13
1?4
因为bn?2
?2n?2
篇二：高考数学专题训练——矩阵行列式(3)含解析
ass="txt">三、解答题?1?
1．已知二阶矩阵A有特征值?1?1及对应的一个特征向量e1???和特征值?2?2及对应
?1??1?
的一个特征向量e2???，试求矩阵A．
?0?
2．已知矩阵A???
?14?
? ??23?
-1
（1）求A的逆矩阵A ；
（2）求A的特征值及对应的特征向量。 3．选修4—2：矩阵与变换
?33??1?
已知矩阵A＝?，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α＝1??1?，属于 cd?????3?
特征值1的一个特征向量为α2＝?? ．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．
??2?
?1?
4．已知二阶矩阵A有特征值?1?1及对应的一个特征向量e1???和特征值?2?2及对应
?1??1?
的一个特征向量e2???，试求矩阵A．
?0?
5．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵A??
?33??1?
，若矩阵属于特征值6的一个特征向量为，属于特征??A1???
?cd??1?
?3?
?．求矩阵A的逆矩阵． ?2??
?sin??
对应变换的作用下得到的点为B（2，2），
cos???
值1的一个特征向量为?2??6．选修4－2：矩阵与变换
?cos?
若点A（-2，2）在矩阵M??
?sin?
求矩阵M．
?1??0?
7．在平面直角坐标系xOy中，设曲线C1在矩阵A??1?对应的变换作用下得到曲线
?0????2?
x2
C2:?y2?1，求曲线C1的方程.
4
8．选修4-2：矩阵与变换
?10??30??1
已知矩阵A??，A的逆矩阵A??3?. ?
?b1??2a???
（1）求a，b的值；（2）求A的特征值.
?1?
?10??12?，若矩阵AB对应的变换把直线l：,B?9．（1）已知矩阵A?????02??01??
x?y?2?0变为直线l'，求直线l'的方程．
（2）在极坐标系中，圆C
的方程为????
?
4
)，以极点为坐标原点，极轴为
x轴 的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为?
线l被 圆C截得的弦AB的长度．
10．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵A＝?
－1
?x?t?1
（t为参数），求直
y?t?1?
?ak??k?
(k≠0)的一个特征向量为α＝， ????01???1?
A的逆矩阵A对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a，k的值．
?21?
11．（本小题满分14分）已知二阶矩阵M???(a,b?R)，若矩阵M属于特征值
?ab?
?1的一个特征向量1???
（Ⅰ）求实数a,b的值；
??1??1?
???，属于特征值3的一个特征向量． ??2????3??1?
（Ⅱ）若向量???
????3???5，计算M?的值． ??5?
2，求曲线xy?1在矩阵A对应的交换作??2?1
12．已知矩阵A
的逆矩阵A??
???用下所得的曲线方程． 13．（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换
在平面直角坐标系中，矩阵M对应的变换将平面上的任意一点P?x,y?变换为点
P??x?2y,x?y?．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M
?1
；
（Ⅱ）求圆x2?y2?1在矩阵M对应的变换作用后得到的曲线C的方程．
?1?2??1
14．（选修４－２：矩阵与变换） 已知矩阵A??， (1)求逆矩阵A；（2）若?3?5??
矩阵X满足AX???，试求矩阵X． 15．（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
?3?
?1?
?1a?
已知矩阵M???，其中a,b?R．若点P(1,?2)在矩阵M的变换下得到点
0b??
． P?(?1,?4)
（1）求实数a,b的值；
???2?10
（2）若a???，求Ma.
?1?
16．选修4－2：矩阵与变换
?a1?
已知矩阵A＝??，直线l：x－y＋4＝0在矩阵A对应的变换作用下变为
?1a?
直线l?：x－y＋2a＝0． （1）求实数a的值；
2
（2）求A．
?1??10?0?，试求曲线y?sinx在矩阵17．（本题满分10分）已知矩阵M =?，N =?2?
?01??02???
MN变换下的函数解析式．
18．（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
在平面直角坐标系中，矩阵M对应的变换将平面上任意一点P(x,y)变换为点P?(2x?y,3x)．
（1）求矩阵M的逆矩阵M?1；
（2）求曲线4x?y?1?0在矩阵M的变换作用后得到的曲线C?的方程． 19．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵A＝?
?ab??1?
，若矩阵A属于特征值－1的一个特征向量为α1＝???1?，属于特21????
?3?
－1
征值4 的一个特征向量为α2＝??．求矩阵A，并写出A的逆矩阵A．
?2?20．（选修4—2：矩阵与变换）（本题满分10分）
?1?
0?10??，设曲线y?sinx在矩阵MN对应的变换作用下得已知M??，N??2????02?01??
到曲线F，求F方程
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
参考答案
?2?1?A??
01??? 1．
【解析】
?ab?
A??
cd???，则有试题分析：根据特征值与特征向量关系求矩阵：设矩阵
?a
?c?
?a?b?1,?c?d?1,??
b??1??1??ab??1??1??a?2,?1??1??1??cd??0??2??0??c?0,d??????，??????，?从而a?2,b??1,c?0,d?1,所
?2?1?A??
01???． 以
?ab?
A??
cd???，这里a,b,c,d?R， 试题解析：设矩阵
?1?
?1???
?a?c
??11是矩阵A的属于的特征向量，则有?
b??1??1?
?1????1?d???1??? ①，4分
因为
又因为
?1?
?0???
?ab??1??1?
?2??cd??0??0?
??2?????? ② 6分 2是矩阵A的属于的特征向量，则有
?a?b?1,
?c?d?1,??
?a?2,?c?0,
根据①②，则有?8分
?2?1?
A??
01?a?2,b??1,c?0,d?1,??． 10分 从而所以
考点：特征值与特征向量 2．（1）A?1
?34?
???55?； ??
?2?1???
5??5
??2??1?
（2）??5或???1；当??5时，特征向量?1???1?? ?1??当???1时，特征向量?2??
????
【解析】
-1
试题分析：（1）利用逆矩阵的计算公式求出A的逆矩阵A ；
（2）利用特征多项式对应方程的根，求矩阵的特征值，再结合对应的方程，求出每个特征
答案第1页，总13页
篇三：高考数学总复习-上海版9-矩阵-算法
="txt">第三章 矩阵与算法基础部分
1.矩阵与行列式
?23m??2 ??8090?【矩阵】像?? ??3?24?的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A、B、?3 ??8688????
C?表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列.
三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵；
①矩阵行的个数在前。
②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A＝B。
矩阵由数组成，或更一般的，由某元素组成。就是m×n矩阵就是mn个数排成m个横行n个竖列的阵式。
【矩阵加法】
不同阶的矩阵不可以相加；
?A11记A???A21?B11，B???A22??B21A12??A11?B11A?B??，那么B22??A21?B21?B12?A12?B12?
， A22?B22??
?aisbsj 【矩阵乘法】， 矩阵相乘A?(aij)m?s与B?(bij)s?n乘积为一个m×n矩阵C?(cij)m?n.，其中cij?ai1b1j?ai2b2j??A1??ABAB??A??B1B2?=?1112?； ?2??A2B1A2B2?
?A11B11?A12B21A11B12?A12B22?AB??? AB?ABAB?AB2111222121122222??
【矩阵的数乘】kA?Ak?(kaij).
【增广矩阵】增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。
2.二阶、三阶行列式
【行列式】
行列式是由解线性方程组产生的一种算式；
行列式是若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。行列式行数、列数一定相等；矩阵行数、列数不一定相等； 二阶行列式D?ad?ac?bdbc; a1
三阶、行列式D?b1a2b2
c2a3b3?a1b2c3?a2b3c1?a3b1c2?(a3b2c1?a2b1c3?a1b3c2) c3c1
式， 【代数余子式】根据3阶行列式D的元素aij的余子式Mij乘以符号（-1）i+j后，叫做元素aij的代数余子
【G1304W-C】已知x2
1=0，xy
1=1，则y= .
解：由已知条件，所以x-2=0，x-y=1
所以x=2，y=1．故答案为：1．
【G1203W-B】函数f(x)?
答案：π
3.二元线性方程组解的讨论
用行列式来讨论二元一次方程组解的情况。
对于二元一次方程组?sinx?12cosx的最小正周期是_____ ??a1x?b1y?c1?D?x?Dx，通过加减消元法转化为方程组? ??a2x?b2y?c2?D?y?Dy
其中D?a1b1
a2b2,Dx?c1b1c2b2,Dy?a1a2c1c2
（I）D?0，方程组（*）有唯一解；
（II）D?0
○1 Dx,Dy中至少有一个不为零，方程组（*）无解；
○2 Dx?Dy?0，方程组（*）有无穷多解。
系数行列式D?a1b1
a2b2也为二元一次方程组解的判别式。 【G1418W-B】已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x
?a1x?b1y?1?和y的方程组?a2x?b2y?1的解的情况是（ ）
A．无论k，P1，P2如何，总是无解
B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解
C．存在k，P1，P2，使之恰有两解
D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解
D?
解：a1b1a2b2?a1b2?a2b1，Dx?b1
b2?b2?b1?0，Dy?a11a21?a1?a2?0，k存在，a1≠a2，
a1b2?a2b1?a1?a2?0，所以有唯一解，答案B
4.三元线性方程组解的讨论
?D?x?Dx?a1x?b1y?c1z?d1??对于三元一次方程组?a2x?b2y?c2z?d2，通过加减消元法转化为方程组?D?y?Dy
?ax+by+cz=d?333?3?D?z?Dz
ⅰ）当D?0时，方程组（*）有唯一解
（ii）当D=0时，方程组（*）无解，或者有无穷多解
5. 算法的含义
1）.算法的定义
在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.
2）.算法的要求
(1)写出的算法,必须能解决一类问题(例如解任意一个二元一次方程组),并且能重复使用;
(2) 算法过程要能一步一步执行,每一步执行的操作,必须确切,不能含混不清,而且在有限步之内完成后能得出结果.
3）.算法的基本特征
明确性:算法对每一个步骤都有确切的、非二义性的规定,即每一步对于利用算法解决问题的人或计算机来说都是可读的、可执行的,而不需要计算者临时动脑筋
有效性:算法的每一个步骤都能够通过基本运算有效地进行,并得到确定的结果；对于相同的输入,无论谁执行算法,都能够得到相同的最终结果．
不唯一性:求解某一个题的解法不一定是唯一的, 对于一个问题可以有不同的算法 6.程序框图
程序框图是算法的一种，又叫流程图，是一种用规定的程序框、流程线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
程序框图中，圆角长方形表示起、止框，平行四边形表示输入、输出框，长方形表示处理框、执行框，用于赋值、计算，菱形表示判断框，成立写是或
Y，不成立则写否或N。
起、止框（终端框）
，表示一个算法的起始和结束
输入、输出框，表示算法输入和输出的信息
处理框（执行框），赋值、计算
判断框，判断一个条件是否成立，用“是”、“否”或“Y”、“N”标明
习题部分
4 5 x
【G0903-C】若行列式 x 3中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是________________________
7 8 9
x?8
3 【解析】依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得：
1.矩阵的分析
【G1317-B】在数列{an}中，an?2n?1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素ai,j?ai?aj?ai?aj，（i?1,2,,7;j?1,2,,12）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）
(A)18 (B)28 (C)48(D)63 解析：该矩阵的第i行第j列的元素cij=ai?aj+ai+aj=（2i-1）（2j-1）+2i-1+2j-1=2i+j-1（i=1，2，?，7；j=1，2，?，12），当且仅当：i+j=m+n时，aij=amn（i，m=1，2，?，7；j，n=1，2，?，12）， 因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，?，19，共18个不同数值．故选A．
n??123???n?2n?1??234???n?1n1??n12?中， 【G1010-B】在n行n列矩阵?345?????????????????????????????n12???n?3n?2n?1???
记位于第i行第j列的数为aij(i,j?1,2???,n)。当n?9时，a11?a22?a33?????a99?
解析：a11?a22?a33?????a99?1+3+5+7+9+2+4+6+8=45
2.二阶、三阶行列式的计算
x2y2xx【G1303-B】若，则x?y?______ ?y?y?11
解析：化简行列式，x2?y2??2xy，所以x?
【G1203-C】函数f(x)?y?0 2 cosx的值域是sinx ?1
153?53?sin2x?2，因为?1?sin2x?1，所以??f(x)??.??,?? 222?22?解析:f(x)??sinxcosx?2??
cos
【G1004-C】行列式?3sin
cos?6sin?
3?6的值是。 cos
解析：?3sin
cos?6sin?
3?6=cosππππ?cos?sinsin?cos?0 36362
【G1110-B&W】行列式ab(a,b,c,d?{?1,1,2})所有可能的值中，最大的是。 cd
解析：行列式?ad?bc，须ad取最大值4，bc取最小值－2；最大值为2x2+1x2=6；
3.二元、三元线性方程组解的分析
4.算法和程序框图应用
【G1007-C】2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入
。
答案：S ?S+a
【G0904-C】某算法的程序框如右图所示，则输出量y与输入量x 满足的关系式是
____________________________ .
?2x,x?1y??x?x?2,x?1 【解析】当x＞1时，有y＝x－2，当x＜1时有y＝2，所以，有分段函数。