年山东省高考数学

2015年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10 小题，每小题5 分）（2015??山东）若复数z满足 =i，其中i 为虚数单位，则z=（分）（2015??山东）要得到函数y=sin（4x）的图象，只需将函数y=sin4x 向左平移单位向右平移单位向左平移单位向右平移单位分）（2015??山东）已知菱形ABCD的边长为a，ABC=60，则分）（2015??山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y 的最大值为4，则分）（2015??山东）在梯形ABCD中，ABC= ，ADBC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ ），则P（μσ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）分）（2015??山东）一条光线从点（2，3）射出，经y轴反射后与圆（x+3） 10．（5分）（2015??山东）设函数f（x）= 二、填空题（本大题共5小题，每小题5 11．（5分）（2015??山东）观察下列各式： 12．（5分）（2015??山东）若“x[0， ]，tanxm”是真命题，则实数m 的最小值 13．（5分）（2015??山东）执行如图程序框图，输出的T 14．（5分）（2015??山东）已知函数f（x）=a 15．（5分）（2015??山东）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C =2py（p＞0）交于点O，A，B，若OAB的垂心为C 三、解答题16．（12 分）（2015??山东）设f（x）=sinxcosxcos （）求f（x）的单调区间；（）在锐角 ABC ABC面积的最大值． 17．（12 分）（2015??山东）如图，在三棱台DEFABC 中，AB=2DE，G，H分别为AC， BC 的中点．（）求证：BD平面FGH；（）若CF平面ABC，ABBC，CF=DE，BAC=45，求平面FGH与平面ACFD 18．（12分）（2015??山东）设数列{a }的通项公式；（）若数列{b 19．（12分）（2015??山东）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567 等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有

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的“三位递增数”中随机抽取1 个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5 整除，参加者得0 分，若能被5 整除，但不能被10 整除，得1 分，若能被10 整除，得1 （）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX． 20．（13 分）（2015??山东）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：离心率为，左、右焦点分别是F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C （）求椭圆C的方程；（）设椭圆E：为椭圆C上任意一点，过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A，B两点，射线PO 交椭圆E （ii）求ABQ 面积的最大值． 21．（14 分）（2015??山东）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x x），其中aR，（）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；成立，求a的取值范围． 2015年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10 小题，每小题5 （2，4）考点：交集及其运算．菁优网版权所有专题：集合．分析：求出集合A，然后求出两个集合的交集．解答：解：集合A={x|x 点评：本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．分）（2015??山东）若复数z满足 =i，其中i 为虚数单位，则z=（考点：复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．解答：点评：本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．分）（2015??山东）要得到函数y=sin（4x）的图象，只需将函数y=sin4x 向左平移单位向右平移单位向左平移单位向右平移单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质．分析：直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．解答：解：因为函数y=sin（4x ）=sin[4（x 要得到函数y=sin（4x）的图象，只需将函数y=sin4x 的图象向右平移单位．点评：本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x 分）（2015??山东）已知菱形ABCD的边长为a，ABC=60，则考点：平面向量数量积的运算．菁优网版权所有专题：计算题；平面向量及应用．分析：由已知可求代入可求解答：解：菱形ABCD 的边长为a，ABC=60，点评：本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题（1，5）考点：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论当x＜1，当1x5，当x＞5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可．解答：解：当x＜1，不等式即为x+1+x5＜2，即4＜2 成立，故x＜1；当1x5，不等式即为x1+x5＜2，得x＜4，故1x＜4；不成立，故x．综上知解集为（，4）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属于中档题．分）（2015??山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y 的最大值为4，则考点：简单线性规划．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y 过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，平移直线y=2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，平移直线y=3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．分）（2015??山东）在梯形ABCD中，ABC= ，ADBC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离．分析：画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．解答：解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2 的圆锥，挖去一个相同底面高为1 的倒圆锥，几何体的体积为：点评：本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键．（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ ），则P（μσ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%） 31.74%考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有专题：计算题；概率与统计．分析：由题意P（3＜ξ＜3）=68.26%，P（6＜ξ＜6）=95.44%，可得P（3＜ξ＜6）= （95.44% 68.26%），即可得出结论．解答：解：由题意P（3＜ξ＜3）=68.26%，P（6＜ξ＜6）=95.44%，所以P（3＜ξ＜6）= （95.44%68.26%）=13.59%．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ 分）（2015??山东）一条光线从点（2，3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）考点：圆的切线方程；直线的斜率．菁优网版权所有专题：计算题；直线与圆．分析：轴的对称点为A′（2，3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x2），利用直线与圆相切的性质即可得出．解答：轴的对称点为A′（2，3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x2），化为kxy2k3=0．反射光线与圆（x+3）相切，圆心（3，2）到直线的距离d= 点评：本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题． 10．（5 分）（2015??山东）设函数f（x）= 考点：分段函数的应用．菁优网版权所有专题：创新题型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：时，以及a＜1，a1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．解答：综上可得a的范围是a 点评：本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法第10 页（共21 是解题的关键．二、填空题（本大题共5 小题，每小题5 11．（5分）（2015??山东）观察下列各式：考点：归纳推理；组合及组合数公式．菁优网版权所有专题：推理和证明．分析：仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．解答：解：因为C 照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同，可得：当nN 点评：本题考查归纳推理的应用，找出规律是解题的关键． 12．（5 分）（2015??山东）若“x[0， ]，tanxm”是真命题，则实数m 的最小值为考点：命题的真假判断与应用．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：求出正切函数的最大值，即可得到m 的范围．解答： ]，tanxm”是真命题，可得tanx1，所以，m1，第11 页（共21 实数m的最小值为：1．故答案为：1．点评：本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力． 13．（5 分）（2015??山东）执行如图程序框图，输出的T 考点：程序框图．菁优网版权所有专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，T 时不满足条件n＜3，退出循环，输出T 解答：解：模拟执行程序框图，可得满足条件n＜3，T=1+xdx，n=2 满足条件n＜3，T=1+ xdx+ 故答案为：点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了定积分的应用，属于基本知识的考查． 14．（5 分）（2015??山东）已知函数f（x）=a 考点：函数的值域．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，第12 页（共21 在定义域上是增函数，所以在定义域上是减函数，所以故答案为；点评：本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于基础题 15．（5 分）（2015??山东）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C =2py（p＞0）交于点O，A，B，若OAB的垂心为C 考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有专题：计算题；创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出A的坐标，可得，利用OAB的垂心为C 的离心率．解答：解：双曲线C =2py联立，可得x=0 第13页（共21 点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定A的坐标是关键．三、解答题 16．（12 分）（2015??山东）设f（x）=sinxcosxcos （）求f（x）的单调区间；（）在锐角 ABC ABC面积的最大值．考点：正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理．菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x 2k2x2k 可解得f（x）的单调递增区间，由2k 2x2k ）=sinA=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc 时等号成立，从而可求bcsinA ，从而得解．解答：解：（）由题意可知，f（x）= sin2x sin2x=sin2x 由2k 2x2k 由2k2x2k 所以f（x）的单调递增区间是[k ）=sinA=0，可得sinA= 第14页（共21 2bccosA，可得：1+ bc=b 时等号成立．因此 bcsinA 所以ABC 面积的最大值为点评：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查． 17．（12 分）（2015??山东）如图，在三棱台DEFABC 中，AB=2DE，G，H分别为AC， BC 的中点．（）求证：BD平面FGH；（）若CF平面ABC，ABBC，CF=DE，BAC=45，求平面FGH与平面ACFD 成的角（锐角）的大小．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（）根据AB=2DE 便可得到 BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BEHF，便有BE平面FGH，再证明DE平面FGH，从而得到平面BDE 平面FGH，从而BD平面FGH；（）连接HE，根据条件能够说明HC，HG，HE 三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG，可说为平面ACFD的一条法向量，设平面FGH的法向量为，根据即可求出法向量，设平面FGH与平面ACFD cosθ=即可求出平面FGH与平面ACFD 解答：解：（）证明：根据已知条件，BC=2EF，H为 BC 中点，EFBC； EFBH，且EF=BH；四边形EFHB为平行四边形； BEHF，HF平面FGH，BE平面FGH； BE平面FGH；同样，因为GH为 ABC 中位线，GHAB；第15 页（共21 又DEAB；DEGH； DE平面FGH，DEBE=E；平面BDE平面FGH，BD平面 BDE； BD平面FGH；（）连接HE，则 HECF； CF平面ABC； HE平面ABC，并且 HGHC； HC，HG，HE 三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则： H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（1，0，0）；连接BG，根据已知条件 BA=BC，G 为AC 中点； BGAC；又CF平面ABC，BG平面 ABC； BGCF，ACCF=C； BG平面 ACFD；向量为平面ACFD 的法向量；设平面FGH的法向量为设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，则： cosθ=|cos 点评：考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质，线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义． 18．（12 分）（2015??山东）设数列{a }的通项公式；（）若数列{b 第16页（共21 考点：数列的求和．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：（）利用2S }的通项公式；（）依题意，a 解答：解：（）因为2S +3，此时，2a ，经检验，n=1时也适合，综上可得T 点评：本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考“查错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题． 19．（12 分）（2015??山东）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567 等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1 个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5 整除，参加者得0 分，若能被5 整除，但不能被10 整除，得1 分，若能被10 整除，得1 （）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX．第17 页（共21 考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有专题：概率与统计．分析：（）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5 的“三位递增数”；（）随机变量X 的取值为：0，1，1 分别求出对应的概率，即可求出分布列和期解答：解：（）根据定义个位数字是5 的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；（）由题意知，全部“三位递增数”的个数为随机变量X的取值为：0，1，1，时，可以选择除去5以外的剩下8 个数字中选择3 个进行组合，即时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可中选择两个数字和5进行组合，即时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2 个数字和5 进行组合，即；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8 中选择1 个数字，再从1，3，7，9 中选择1 个数字，最后把3 个数字进行组合，即点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键． 20．（13 分）（2015??山东）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：离心率为，左、右焦点分别是F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C （）求椭圆C的方程；（）设椭圆E：为椭圆C上任意一点，过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A，B两点，射线PO 交椭圆E 第18页（共21 （ii）求ABQ 面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；曲线与方程．菁优网版权所有专题：创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（）运用椭圆的离心率公式和a，b，c 的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C 的方程；（）求得椭圆E |=λ，求得Q的坐标，分别代入椭的方程，化简整理，即可得到所求值；（ii）设A（x ），将直线y=kx+m代入椭圆E 的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m 代入椭圆C 的方程，由判别式大于0，可得的范围，结合二次函数的最值，又ABQ 的面积为3S，即可得到所求的最大值．解答：解：（）由题意可知，2a=4，可得a=2，可得b=1，即有椭圆C的方程为），将直线y=kx+m代入椭圆E 的方程，可得（1+4k 16=0，由＞0，可得m 由直线y=kx+m与y轴交于（0，m），将直线y=kx+m代入椭圆C 的方程，可得（1+4k 第19页（共21 在（0，1]递增，即有t=1取得最大值，即有S ABQ的面积为3S， ABQ面积的最大值为6 点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值，属于中档题． 21．（14 分）（2015??山东）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x x），其中aR，（）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．菁优网版权所有专题：创新题型；导数的综合应用．分析：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x 分类讨论可得：（1）当a=0时，此时f′（x）＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况．（II）由（I）可知：（1）当0a 时，可得函数f（x）在（0，+）上单调性，即可判断出． 0，函数f（x）在（0，+）上单调性，即可判断出．）时函数f（x）单调性，即可判断出；解答：解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x 第20页（共21 +axa+1=0的两个实数根分别为x ，+）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．，+）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．因此函数f（x）有一个极值点．综上所述：当a＜0 时，函数f（x）有一个极值点；时，函数f（x）有两个极值点．（II）由（I）可知： h（x）在（0，+）上单调递增．因此x（0，+）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x， +（1a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．第21 页（共21 点评：本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．

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2016年山东高考理科数学真题及参考答案 2016-06-09