高考数学试卷新课标

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高考数学试卷新课标

2016年全国统一高考数学试卷（新课标）（理科）一、选择题:本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. A．30B．45 C．60 D．120 分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15，B点表示四月的平均最低气温约为5，下面叙述不正确的是（ A．各月的平均最低气温都在0以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20的月份有5 分）若tanα=，则cos A．b＜a＜cB．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b A．3B．4 C．5 D．6 ，BC边上的高等于 BC，则cosA=（分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ A．18+36B．54+18 C．90 D．81 10．（5 分）在封闭的直三棱柱ABCA 内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA 11．（5分）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C：与线段PF交于点M，与轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C 的离心率为（ 12．（5分）定义“规范01 数列”{a }共有2m项，其中m 的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01 数列” 共有（ A．18个B．16 二、填空题：本大题共4小题，每小题5 13．（5分）（2015??新课标II）若x，y 满足约束条件 14．（5分）函数y=sinx cosx 的图象可由函数y=sinx+ cosx 的图象至少向右平移个单位长度得到． 15．（5 分）已知f（x）为偶函数，当x＜0 时，f（x）=ln（x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，3）处的切线方程是 16．（5分）已知直线l：mx+y+3m =12交于A，B两点，过 A，B分别作的垂线与x轴交于C，D 两点，若|AB|=2 ，则|CD|= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12 分）已知数列{a ，其中λ0．（1）证明{a 18．（12分）如图是我国2008 年至2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码17分别对应年份20082014．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 的关系，请用相关系数加以证明；（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016 年我国生活垃圾无害化处理附注：参考数据： =40.17，=0.55， 2.646．参考公式：r= 19．（12分）如图，四棱锥PABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3， PA=BC=4，M为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为PC 的中点．（1）证明：MN平面PAB；（2）求直线AN 与平面PMN 20．（12分）已知抛物线C：y =2x的焦点为F，平行于x 轴的两条直线l 的准线于P，Q两点．在线段AB上，R是PQ 的中点，证明ARFQ； PQF的面积是 ABF 的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程． 21．（12 分）设函数f（x）=acos2x+（a1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（）证明：|f′（x）|2A．请考生在第 22-24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10 分）如图，O 的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F 两点．（1）若PFB=2PCD，求PCD 的大小；（2）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G，证明：OGCD． [选修4-4：坐标系与参数方程] 23．在直角坐标系xOy 中，曲线C 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标． [选修4-5：不等式选讲] 24．已知函数f（x）=|2xa|+a． 2016年全国统一高考数学试卷（新课标）（理科）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. D．（0，2][3，+）【考点】交集及其运算．菁优网版权所有【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】求出S 中不等式的解集确定出S，找出S 的交集即可．【解答】解：由S 中不等式解得：x2 【考点】复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有【专题】计算题；规律型；转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则 A．30B．45 C．60 D．120 【考点】数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有【专题】计算题；向量法；综合法；平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标便可求出的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cosABC 的值，根据ABC 的范围便可得出ABC 又0ABC180；ABC=30．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15，B点表示四月的平均最低气温约为5，下面叙述不正确的是（ A．各月的平均最低气温都在0以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20的月份有5 【考点】进行简单的合情推理．菁优网版权所有【专题】数形结合；数学模型法；推理和证明．【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0以上，正确 B．七月的平均温差大约在10左右，一月的平均温差在5左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10，正确 D．平均最高气温高于20的月份有7，8 两个月，故D 错误，【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．分）若tanα=，则cos 【考点】三角函数的化简求值．菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos A．b＜a＜cB．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【考点】对数函数图象与性质的综合应用；指数函数的单调性与特殊点；幂函数的实际应用．菁优网版权所有【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】b=4 ，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：a=2 【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档． A．3B．4 C．5 D．6 【考点】程序框图．菁优网版权所有【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n 当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n 执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=6，a=4，s=10，n=2 不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3 不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=6，a=4，s=20，n=4 满足条件s＞16，退出循环，输出n ，BC边上的高等于 BC，则cosA=（【考点】三角形中的几何计算．菁优网版权所有【专题】转化思想；数形结合法；解三角形．第10 页（共24 sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设 ABC A、B、C、对应的边分别为a、b、c，ADBC于D，令DAC=(本文来自：Www.dXF5.com 东星资源网:高考数学试卷新课标)θ，，BC边上的高AD=h= BC= BD=AD=a，CD= 在RtADC 中，cosθ= cosA=cos（+θ）=cos cosθsin sinθ= 【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是亮点，属于中档题．分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（第11页（共24 A．18+36B．54+18 C．90 D．81 【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，其底面面积为：36=18，前后侧面的面积为：362=36，左右侧面的面积为：3 2=18 故棱柱的表面积为：18+36+9=54+18 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键． 10．（5 分）在封闭的直三棱柱ABCA 内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】根据已知可得直三棱柱ABCA 的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：ABBC，AB=6，BC=8， AC=10．故三角形ABC 的内切圆半径r= 【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．11．（5 分）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C：与线段PF交于点M，与轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C 的离心率为（【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．第12 页（共24 【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（c，0），A（a，0），B（a，0），令x=c，代入椭圆方程可得y=b 设OE的中点为H，可得H（0，由B，H，M三点共线，可得kBH ，即为a=3c，可得e= 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 12．（5 分）定义“规范01 数列”{a }共有2m项，其中m 的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01 数列” 共有（ A．18个B．16 【考点】数列的应用．菁优网版权所有【专题】压轴题；新定义；对应思想；试验法．【分析】由新定义可得，“规范01 数列”有偶数项2m 项，且所含0 时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01 数列”有偶数项2m 项，且所含0 的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8 项，满足条件的数列有：【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．第13 页（共24 二、填空题：本大题共4小题，每小题5 13．（5分）（2015??新课标II）若x，y 满足约束条件【考点】简单线性规划．菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y 轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D 所以z=x+y的最大值为1+ 【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：画出平面区域；分析目标函数，确定求最值的条件． 14．（5 分）函数y=sinx cosx 的图象可由函数y=sinx+ cosx 的图象至少向右平移个单位长度得到．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有【专题】函数思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】令f（x）=sinx+ cosx=2in（x+ φ），依题意可得2in（x+ φ）=2in（x φ=2kπ（kZ），可得答案．第14 页（共24 【解答】解：y=f（x）=sinx+cosx=2in（x+ ），y=sinx cosx=2in（x 令2in（x+φ）=2in（x 时，正数φmin 【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得 φ=2kπ（kZ）是关键，也是难点，属于中档题． 15．（5 分）已知f（x）为偶函数，当x＜0 时，f（x）=ln（x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，3）处的切线方程是 2x+y+1=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有【专题】方程思想；函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】由偶函数的定义，可得f（x）=f（x），即有x＞0 时，f（x）=lnx3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（x）=f（x），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题． 16．（5 分）已知直线l：mx+y+3m =12交于A，B两点，过 A，B分别作的垂线与x轴交于C，D 两点，若|AB|=2 ，则|CD|= 【考点】直线与圆相交的性质．菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出m，可得直线l 的倾斜角为30，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2 ，圆心到直线的距离d=3，第15页（共24 直线l的倾斜角为30，的垂线与x轴交于C，D 两点， |CD|= 故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12 分）已知数列{a ，其中λ0．（1）证明{a 【考点】数列递推式；等比关系的确定．菁优网版权所有【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列通项公式与前n 项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）S 第16页（共24 的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力． 18．（12 分）如图是我国2008 年至2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码17 分别对应年份20082014．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 的关系，请用相关系数加以证明；（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016 年我国生活垃圾无害化处理附注：参考数据： =40.17，=0.55， 2.646．参考公式：r= 【考点】线性回归方程．菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；概率与统计．【分析】（1）由折线图看出，y 之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016 年对应的t 预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y 之间存在较强的正相关关系，理由如下：第17 页（共24 0.996，0.996＞0.75，关于t的回归方程 =0.103+0.93， 2016 年对应的t =0.109+0.93=1.83，预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量为1.83 亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心． 19．（12 分）如图，四棱锥PABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3， PA=BC=4，M为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为PC 的中点．（1）证明：MN平面PAB；（2）求直线AN 与平面PMN 【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．菁优网版权所有【专题】综合题；转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NGBC，且NG= ，再由已知得AMBC，且 AM= BC，得到NGAM，且NG=AM，说明四边形AMNG 为平行四边形，可得NMAG，由线面平行的判定得到MN平面PAB；第18 页（共24 法二、证明MN平面PAB，转化为证明平面NEM平面PAB，在PAC中，过N作NEAC，垂足为E，连接ME，由已知PA底面ABCD，可得PANE，通过求解直角三角形得到 MEAB，由面面平行的判定可得平面NEM平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CMAD，进一步得到平面PNM平面PAD，在平面PAD 作AFPM，交PM于F，连接NF，则ANF为直线AN 与平面PMN 所成角．然后求解直角三角形可得直线AN 与平面PMN 为PC的中点， NGBC，且NG= 又AM=，BC=4，且ADBC， AMBC，且 AM= BC，则NGAM，且NG=AM，四边形AMNG 为平行四边形，则NMAG， AG平面PAB，NM平面PAB， MN平面PAB； ABC中，由已知 AB=AC=3，BC=4，得cosACB= ADBC，cos ，则sinEAM= EAM中，AM= ，AE= 而在ABC 中，cosBAC= cosAEM=cosBAC，即AEM=BAC，ABEM，则 EM平面PAB．由PA底面ABCD，得PAAC，又NEAC， NEPA，则NE平面PAB． NEEM=E，平面NEM平面PAB，则MN平面PAB；第19 页（共24 AMC中，由AM=2，AC=3，cosMAC= ，得CM ，则AMMC，PA底面ABCD，PA平面PAD，平面ABCD平面PAD，且平面ABCD平面PAD=AD， CM平面PAD，则平面PNM平面PAD．在平面PAD 内，过A作AFPM，交PM于F，连接NF，则ANF 为直线AN 与平面PMN 在RtPAC 是PC的中点，得AN= 在RtPAM中，由PA??AM=PM??AF，得 AF= 直线AN与平面PMN 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题． 20．（12 分）已知抛物线C：y =2x的焦点为F，平行于x 轴的两条直线l 的准线于P，Q两点．在线段AB上，R是PQ 的中点，证明ARFQ； PQF的面积是 ABF 的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程．菁优网版权所有【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明PRA=PRF，即可证明 ARFQ；（）利用 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求出N 的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF 及APBQ，得AFP+BFQ=180， PFQ=90，第20 页（共24 是PQ的中点， RF=RP=RQ， PARFAR， PAR=FAR，PRA=FRA， BQF+BFQ=180QBF=PAF=2PAR， FQB=PAR， PRA=PRF， ARFQ．设直线AB与x轴交点为N， PQF的面积是 ABF 的面积的两倍， 2|FN|=1，x 【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12 分）设函数f（x）=acos2x+（a1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（）证明：|f′（x）|2A．【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有【专题】分类讨论；转化思想；换元法；函数的性质及应用；导数的综合应用；三角函数的求值．第21 页（共24 【分析】（）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；（）讨论a 的取值，利用分类讨论的数学，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|2A．【解答】（I）解：f′（x）=2asin2x（a1）sinx．（II）当a1 时，|f（x）|=|acos2x+（a1）（cosx+1）|a+2（a1）=3a2=f（0），因此 A=3a x+（a1）cosx1，令g（t）=2at ．因此A=3a2g（1）=a，g（1）=3a+2，a＜3a+2，t=1 时，g（t）取得最大值，g（1）=3a+2，即f（x）的最大值为3a+2．综上可得：t=1 时，g（t）取得最大值，g（1）=3a+2，即f（x）的最大值为3a+2． A=3a+2．时，|f′（x）|3a16a4=2A，综上：|f′（x）|2A．第22 页（共24 【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，利用函数单调性和导数的关系，以及换元法，转化法转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．请考生在第 22-24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10 分）如图，O 的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F 两点．（1）若PFB=2PCD，求PCD 的大小；（2）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G，证明：OGCD．【考点】与圆有关的比例线段．菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（1）连接PA，PB，BC，设PEB=1，PCB=2，ABC=3，PBA=4， PAB=5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F 共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求PCD 的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F 共圆，可得G 为圆心，G在CD 的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PA，PB，BC，设PEB=1，PCB=2，ABC=3， PBA=4，PAB=5，共圆，可得EFD+PCD=180，由PFB=EFD=2PCD，即有3PCD=180，可得PCD=60；共圆，由EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G 可得G 为圆心，即有GC=GD，在CD的中垂线，又CD 则OGCD．第23 页（共24 【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题． [选修4-4：坐标系与参数方程] 23．在直角坐标系xOy 中，曲线C 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．菁优网版权所有【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C 的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C 的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y4=0 的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y 平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P 的直角坐标．【解答】解：（1）曲线C 为参数），移项后两边平方可得即有ρ（sinθ+ cosθ）=2 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y4=0，即有C 的直角坐标方程为直线x+y4=0；（2）由题意可得当直线x+y4=0 的平行线与椭圆相切时， |PQ|取得最值．平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x 由直线与椭圆相切，可得=36t 第24页（共24 显然t=2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|= 【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题． [选修4-5：不等式选讲] 24．已知函数f（x）=|2xa|+a．的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】（1）当a=2 时，由已知得|2x2|+26，由此能求出不等式f（x）6 ，由此能求出a的取值范围．时，f（x）=|2x2|+2，f（x）6，|2x2|+26，的取值范围是[2，+）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．