2010江苏高考数学卷解析

2 0 1 0 年江苏省高考数学试卷一、填空题共 14 小题每小题 5 分满分 70 分 1、 2010 江苏设集合 A={113}B={a+2a2+4}A B={3}则实数 a= 1  考点交集及其运算。

专题计算题。

分析根据交集的概念知道元素 3 在集合 B 中进而求 a 即可 解答解∵A B={3} 3 B又∵a2+4 3 a+2=3 即 a=1 故答案为 1 点评本题属于以集合的交集为载体考查集合的运算推理求集合中元素的基础题也是高考常会考的题型 2、 2010 江苏设复数 z 满足 z23i=6+4i其中 i 为虚数单位 则 z 的模为 2  考点复数代数形式的乘除运算复数求模。

专题计算题。

分析直接对复数方程两边求模利用|23i|=|3+2i|求出 z 的模 解答解z23i=23+2i  |z||23i|=2|3+2i| |23i|=|3+2i|z 的模为 2 故答案为2 点评本题考查复数运算、模的性质是基础题 3、 2010 江苏盒子中有大小相同的 3 只白球1 只黑球若从中随机地摸出两只球两只球颜色不同的概率是考点古典概型及其概率计算公式。

专题计算题。

分析算出基本事件的总个数 n=C42=6再算出事件 A 中包含的基本事件的个数 m=C31=3算出事件 A 的概率即 PA=即可 解答解考查古典概型知识 ∵总个数 n=C42=6 ∵事件 A 中包含的基本事件的个数 m=C31=3 故填  点评本题考查古典概型及其概率计算公式其算法是 1算出基本事件的总个数 n 2算出事件 A 中包含的基本事件的个数 m 3算出事件 A 的概率即 PA= 4、 2010 江苏某棉纺厂为了了解一批棉花的质量从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标 所得数据都在区间[540]中其频率分布直方图如图所示则其抽样的 100 根中有 30 根在棉花纤维的长度小于 20mm 考点频率分布直方图。

专题计算题。

分析由图分析可得易得棉花纤维的长度小于 20mm 段的频率根据频率与频数的关系可得频数 解答解由图可知棉花纤维的长度小于 20mm 段的频率为 0.001+0.001+0.004 则频数为 100 0.001+0.001+0.004 5=30 故填30 点评本题考查频率分布直方图的知识考查读图的能力读图时要全面细致同时解题方法要灵活多样 切忌死记硬背 要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题 5、 2010 江苏设函数 fx=xex+ae考点函数奇偶性的性质。

分析由函数是偶函数直接用特殊值求解即可解答解gx=ex+ae由 g0=0得 a=1 故答案是1 点评考查函数的奇偶性的应用及填空题的解法 x x R是偶函数则实数 a= 1 x为奇函数 6、 2010 江苏在平面直角坐标系 xOy 中双曲线上一点 M点 M 的横坐标是 3则 M 到双曲线右焦点的距离是 4 考点双曲线的定义。

专题计算题。

分析d 为点 M 到右准线 x=1 的距离根据题意可求得 d进而先根据双曲线的第二定义可知=e求得 MF答案可得 解答解=e=2 d 为点 M 到右准线 x=1 的距离则 d=2 MF=4 故答案为 4 点评本题主要考查双曲线的定义属基础题 7、 2010 江苏如图是一个算法的流程图则输出 S 的值是 63 考点设计程序框图解决实际问题。

专题操作型。

分析分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序可知该程序的作用是利用循环求满足条件 S=1+2+22+ +2n 33 的最小的 S 值并输出 解答解分析程序中各变量、各语句的作用 再根据流程图所示的顺序可知 该程序的作用是利用循环求满足条件 S=1+2+22+ +2n 33 的最小的 S 值 ∵S=1+2+22+23+24=3133不满足条件 S=1+2+22+23+24+25=63 33满足条件故输出的 S 值为63 故答案为63 点评根据流程图或伪代码写程序的运行结果是算法这一模块最重要的题型其处理方法是 ①分析流程图或伪代码 从流程图或伪代码中即要分析出计算的类型又要分析出参与计算的数据 如果参与运算的

2010江苏高考数学卷解析

数据比较多 也可使用表格对数据进行分析管理 ②建立数学模型根据第一步分析的结果选择恰当的数学模型③解模 8、 2010 江苏函数 y=x2x0的图象在点akak2处的切线与 x 轴交点的横坐标为ak+1k 为正整数a1=16则 a1+a3+a5= 21 考点抛物线的简单性质。

专题计算题。

分析先求出函数 y=x2在点akak2处的切线方程然后令 y=0 代入求出 x 的值再结合 a1的值得到数列的通项公式再得到 a1+a3+a5的值 解答解在点akak2处的切线方程为yak2=2akxak  当 y=0 时解得 所以 故答案为21 点评考查函数的切线方程、数列的通项 9、 2010 江苏在平面直角坐标系 xOy 中已知圆 x2+y2=4 上有且仅有四个点到直线 12x5y+c=0 的距离为 1则实数 c 的取值范围是 1313 考点直线与圆的位置关系。

分析求出圆心求出半径圆心到直线的距离小于半径和 1 的差即可 解答解圆半径为 2 圆心00到直线 12x5y+c=0 的距离小于 1c 的取值范围是1313  点评考查圆与直线的位置关系 圆心到直线的距离小于半径和 1 的差此时 4 个等于3 个大于这个差小于半径和 1 的和是 2 个 是有难度的基础题 10、 2010 江苏定义在区间上的函数 y=6cosx 的图象与 y=5tanx 的图象的交点为 P过点 P 作 PP1 x 轴于点 P1直线 PP1与 y=sinx 的图象交于点 P2则线段 P1P2的长为  考点余弦函数的图象正切函数的图象。

专题计算题。

分析先将求 P1P2的长转化为求 sinx 的值再由 x 满足 6cosx=5tanx 可求出 sinx 的值从而得到答案 解答解线段 P1P2的长即为 sinx 的值 且其中的 x 满足 6cosx=5tanx解得 sinx= 线段 P1P2的长为故答案为  点评考查三角函数的图象、数形结合思想 11、 2010 江苏 已知函数 则满足不等式 f 1x2f2x的 x 的范围是 11  考点分段函数的解析式求法及其图象的作法其他不等式的解法。

分析由题意 fx在[0+ 上是增函数而 x0 时fx=1故满足不等式 f1x2f2x的 x 需满足解出 x 即可 解答解由题意可得故答案为 点评本题考查分段函数的单调性利用单调性解不等式考查利用所学知识分析问题解决问题的能力 12、 2010 江苏设实数 xy 满足 3 xy2 84 9则的最大值是 27  考点基本不等式在最值问题中的应用。

专题计算题转化思想。

分析首先分析题目由实数 xy 满足条件 3 xy2 84 9求的最大值的问题根据不等式的等价转换思想可得到代入求解最大值即可得到答案 解答解因为实数 xy 满足 3 xy2 84 9 则有 又 即的最大值是 27 故答案为 27 点评 此题主要考查不等式的基本性质和等价转化思想 等价转换思想在考试中应用不是很广泛但是对于特殊题目能使解答更简便也需要注意 13、 2010 江苏在锐角三角形 ABCA、B、C 的对边分别为 a、b、c则= 4  考点正弦定理同角三角函数基本关系的运用余弦定理。

分析已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有对称性可以选用特殊的角或边来求解结果当 a=b 时满足题意根据可以成立的这个条件写出 cosC 的值根据这个结果令 A=B做出 tanA 和 tanB 的值得到结果 解答解已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有轮换性 当 A=B 或 a=b 时满足题意 ∵    =4 故答案为4 点评本题是一个比较特殊的题目根据等式把几个量特殊化这是一般题目见不到的地方注意本题的解法这是一种只能用于选择和填空的方法 14、 2010 江苏将边长为 1m 正三角形薄片沿一条平行于底边的直线剪成两块其中一块是梯形记则 S 的最小值是 考点利用导数求闭区间上函数的最值。

专题综合题。

分析先设剪成的小正三角形的边长为 x 表示出 S 的解析式然后求 S 的最小值 方法一对函数 S 进行求导令导函数等于 0 求出 x 的值根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值 方法二令 3x=t代入整理根据一元二次函数的性质得到最小值 解答  解  设剪成的小正三角形的边长为x  则  方法一利用导数求函数最小值 =  当时S x0递减当时S x0递增 故当时S 的最小值是 方法二利用函数的方法求最小值 令 则 故当时S 的最小值是 点评考查函数中的建模应用等价转化思想一题多解 二、解答题共 9 小题满分 110 分 15、 2010 江苏在平面直角坐标系 xOy 中点 A12 、B23 、C21  1求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 2设实数 t 满足考点平面向量数量积的运算向量在几何中的应用。

专题计算题。

 =0求 t 的值 分析 1 方法一由题设知则从而得 方法二设该平行四边形的第四个顶点为 D两条对角线的交点为 E则 由 E 是 ACBD 的中点易得 D14 从而得BC=、AD= 2由题设知=21  由 =0得 3+2t5+t 21=0 从而得 或者由得 解答解 1 方法一由题设知则所以故所求的两条对角线的长分别为、 方法二设该平行四边形的第四个顶点为 D两条对角线的交点为 E则 E 为 B、C 的中点E01 又 E01为 A、D 的中点所以 D14 故所求的两条对角线的长分别为 BC=、AD= 2由题设知=21  由 =0得 3+2t5+t 21=0 从而 5t=11所以 或者 点评本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积考查向量的坐标运算和基本的求解能力 16、 2010 江苏 如图 在四棱锥 PABCD 中 PD 平面 ABCD PD=DC=BC=1 AB=2 AB‖DC BCD=90  1求证PC BC 2求点 A 到平面 PBC 的距离 考点点、线、面间的距离计算空间中直线与平面之间的位置关系。

专题计算题证明题。

分析 1  要证明 PC BC 可以转化为证明 BC 垂直于 PC 所在的平面 由 PD 平面 ABCDPD=DC=BC=1AB=2AB‖DC BCD=90 容易证明 BC 平面 PCD从而得证 2 有两种方法可以求点 A 到平面 PBC 的距离 方法一注意到第一问证明的结论取 AB 的中点 E容易证明 DE‖平面 PBC点 D、E 到平面 PBC 的距离相等而 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍由第一问证明的结论知平面 PBC 平面 PCD交线是 PC所以只求 D 到 PC 的距离即可在等腰直角三角形 PDC 中易求 方法二等体积法连接 AC则三棱锥 PACB 与三棱锥 APBC 体积相等而三棱锥 PACB 体积易求三棱锥 APBC 的地面 PBC 的面积易求其高即为点 A 到平面 PBC 的距离设为 h则利用体积相等即求 解答解 1证明因为 PD 平面 ABCDBC 平面 ABCD所以 PD BC 由 BCD=90 得 CD BC 又 PD DC=DPD、DC 平面 PCD 所以 BC 平面 PCD 因为 PC 平面 PCD故 PC BC 2 方法一分别取 AB、PC 的中点 E、F连 DE、DF则 易证 DE‖CBDE‖平面 PBC点 D、E 到平面 PBC 的距离相等 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍 由1知BC 平面 PCD所以平面 PBC 平面 PCD 于 PC 因为 PD=DCPF=FC所以 DF PC所以 DF 平面 PBC 于 F 易知 DF=故点 A 到平面 PBC 的距离等于 方法二等体积法连接 AC设点 A 到平面 PBC 的距离为 h 因为 AB‖DC BCD=90 所以 ABC=90  从而 AB=2BC=1得△ ABC 的面积 S△ ABC=1 由 PD 平面 ABCD 及 PD=1得三棱锥 PABC 的体积 因为 PD 平面 ABCDDC 平面 ABCD所以 PD DC 又 PD=DC=1所以 由 PC BCBC=1得△ PBC 的面积 由 VAPBC=VPABC得 故点 A 到平面 PBC 的距离等于 点评本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系考查几何体的体积考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力 17、 2010 江苏某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H单位m 如示意图垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m仰角 ABE=  ADE=  1该小组已经测得一组、的值tan =1.24tan =1.20请据此算出 H 的值 2该小组分析若干测得的数据后认为适当调整标杆到电视塔的距离 d单位m 使与之差较大可以提高测量精确度若电视塔的实际高度为 125m试问 d 为多少时  最大 考点解三角形的实际应用。

专题综合题。

分析 1在 Rt△ ABE 中可得 AD=ADAB=DB 即可得到 H 2 先用 d 分别表示出 tan 和 tan  再根据两角和公式 求得 tan    =在 Rt△ ADE 中可得 AB=BD=再根据再根据均值不等式可知当 d===55时tan  有最大值即  有最大值得到答案 解答解 1=tan AD=同理AB=BD= ADAB=DB故得= 得H===124 因此算出的电视塔的高度 H 是 124m 2由题设知 d=AB得 tan = tan === tan  ==== d+ 2当且仅当d===55时取等号 故当 d=55时tan  最大 因为 0   则 0   所以当 d=55时  最大 故所求的 d 是 55m 点评本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用当涉及最值问题时可考虑用不等式的性质来解决 18、 2010 江苏在平面直角坐标系 xoy 中如图已知椭圆的左、右顶点为 A、B右焦点为 F设过点 Ttm的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 Mx1y1 、Nx2y2 其中 m0y10y20 1设动点 P 满足 PF2PB2=4求点 P 的轨迹 2设求点 T 的坐标 3设 t=9求证直线 MN 必过 x 轴上的一定点其坐标与 m 无关  考点轨迹方程直线与圆锥曲线的综合问题。

专题计算题。

分析 1设点 Pxy 由两点距离公式将 PF2PB2=4变成坐标表示式整理即得点 P的轨迹方程 2将分别代入椭圆方程解出点 M 与点 N 的坐标由两点式写出直线 AM 与直线 BN 的方程联立解出交点 T 的坐标 3方法一求出直线方程的参数表达式然后求出其与 x 的交点的坐标得到其横坐标为一个常数从而说明直线过 x 轴上的定点 方法二根据特殊情况即直线与 x 轴垂直时的情况求出定点然后证明不垂直于 x 轴时两线DM 与 DN 斜率相等说明直线 MN 过该定点 解答解 1设点 Pxy 则F20 、B30 、A30  由 PF2PB2=4得x22+y2[x32+y2]=4化简得 故所求点 P 的轨迹为直线 2将分别代入椭圆方程以及 y10y20 得 M2  、N  直线 MTA 方程为即 直线 NTB 方程为即 联立方程组解得 所以点 T 的坐标为 3点 T 的坐标为9m 直线 MTA 方程为即 直线 NTB 方程为即 分别与椭圆联立方程组同时考虑到 x1 3x2 3 解得、 方法一当 x1 x2时 直线 MN 方程为 令 y=0解得x=1此时必过点 D10  当 x1=x2时直线 MN 方程为x=1与 x 轴交点为 D10  所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D10  方法二若 x1=x2则由及 m0得 此时直线 MN 的方程为 x=1过点 D10  若 x1 x2则直线 MD 的斜率 直线 ND 的斜率得 kMD=kND所以直线 MN 过 D 点 因此直线 MN 必过 x 轴上的点10  点评本小题主要考查求简单曲线的方程考查方直线与椭圆的方程等基础知识考查运算求解能力和探究问题的能力 19、 2010 江苏 设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn 已知 2a2=a1+a3 数列是公差为 d 的等差数列 1求数列{an}的通项公式用 nd 表示  2设 c 为实数对满足 m+n=3k 且 m n 的任意正整数 mnk不等式 Sm+SncSk都成立求证c 的最大值为  考点等差数列的性质归纳推理。

分析 1根据等差数列的通项公式结合已知列出关于 a1、d 的方程求出 a1进而推出 sn再利用 an与 sn的关系求出 an 2利用1的结论对 Sm+SncSk进行化简转化为基本不等式问题求解或求出 c的最大值的范围利用夹逼法求出 a 的值 解答解 1由题意知d0 2a2=a1+a3 3a2=S3即 3S2S1=S3 =+n1d=+n1d  化简得 当 n 2 时an=SnSn1=n2d2n12d2=2n1d2适合 n=1 情形 故所求 an=2n1d2 2 方法一Sm+SncSk m2d2+n2d2c k2d2 m2+n2c k2m+n=3k恒成立 又且m n 故即 c 的最大值为  方法二由及得 d0Sn=n2d2 于是对满足题设的mnkm n有 所以 c 的最大值 另一方面任取实数设 k 为偶数令则 mnk符合条件且 于是只要 9k2+42ak2即当时 所以满足条件的从而 因此 c 的最大值为  点评本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识考查探索、分析及论证的能力 20、 2010 江苏设 fx是定义在区间1+ 上的函数其导函数为 f x 如果存在实数 a 和函数 hx 其中 hx对任意的 x 1+ 都有 hx0使得 f x=h xx2ax+1  则称函数 f x 具有性质 P a  设函数 f x =其中 b 为实数 1求证函数 fx具有性质 Pb  2求函数 fx的单调区间 考点利用导数研究函数的单调性。

专题计算题证明题。

分析 1先求出函数 fx的导函数 f x 然后将其配凑成 f x=hx x2bx+1这种形式再说明 hx对任意的 x 1+ 都有 hx0即可证明函数 fx具有性质 Pb  2根据第一问令 x=x2bx+1讨论对称轴与 2 的大小当 b 2 时对于 x1 x0所以 f x0可得 fx在区间1+ 上单调性当 b2 时 x图象开口向上对称轴可求出方程 x=0 的两根判定两根的范围从而确定 x的符号得到 f x的符号最终求出单调区间 解答解 1f x= ∵x1 时恒成立 函数 fx具有性质 Pb  2当 b 2 时对于 x1 x=x2bx+1 x22x+1=x120 所以 f x0故此时 fx在区间1+ 上递增 当 b2 时 x图象开口向上对称轴 方程 x=0的两根为而当时 x0f x0 故此时 fx在区间上递减 同理得fx在区间综上所述当 b 2 时fx在区间1+ 上递增 上递增 当 b2 时fx在上递增 点评本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力 21、 2010 江苏本题包括 A、B、C、D 四小题请选定其中两题并在相应的答题区域内作答若多做则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A AB 是圆 O 的直径D 为圆 O 上一点 过 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 C 若 DA=DC求证AB=2BC B在平面直角坐标系 xOy 中已知点 A00 B20 C21 设 k 为非零实上递减fx在数矩阵 M=N=点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1、B1、C1△ A1B1C1的面积是△ ABC 面积的 2 倍求 k 的值 C在极坐标系中已知圆 =2cos 与直线 3 cos +4 sin +a=0 相切求实数 a 的值 D设 a、b 是非负实数求证 考点参数方程化成普通方程基本不等式直线和圆的方程的应用。

专题计算题证明题综合题。

分析A、连接 OD则 OD DC又 OA=ODDA=DC所以 DAO= ODA= DCO再证明OB=BC=OD=OA即可求解 B、由题设得根据矩阵的运算法则进行求解 C、在极坐标系中已知圆 =2cos 与直线 3 cos +4 sin +a=0 相切由题意将圆和直线先化为一般方程坐标然后再计算 a 值 D、利用不等式的性质进行放缩证明然后再进行讨论求证 解答解A 方法一证明连接 OD则OD DC 又 OA=ODDA=DC所以 DAO= ODA= DCO DOC= DAO+ ODA=2 DCO 所以 DCO=30  DOC=60  所以 OC=2OD即 OB=BC=OD=OA所以 AB=2BC 方法二证明连接 OD、BD 因为 AB 是圆 O 的直径所以 ADB=90 AB=2OB 因为 DC 是圆 O 的切线所以 CDO=90  又因为 DA=DC所以 DAC= DCA 于是△ ADB≌△CDO从而 AB=CO 即 2OB=OB+BC得 OB=BC 故 AB=2BC B 满分10 分 由题设得由可知 A100 、B102 、C1k2  计算得△ ABC 面积的面积是 1△ A1B1C1的面积是|k|则由题设知|k|=2 1=2 所以 k 的值为 2 或2 C 解 2=2 cos 圆 =2cos 的普通方程为x2+y2=2x x12+y2=1 直线 3 cos +4 sin +a=0 的普通方程为3x+4y+a=0 又圆与直线相切所以 解得a=2或 a=8 D方法一证明== 因为实数a、b 0 所以上式 0即有 方法二证明由a、b是非负实数作差得= 当a b时从而得 当ab时从而得 所以 点评本题主要考查三角形、圆的有关知识考查推理论证能力及图形在矩阵对应的变换下的变化特点 考查运算求解能力还考查曲线的极坐标方程等基本知识 考查转化问题的能力另外此题也考查参数方程与普通方程的区别和联系两者要会互相转化根据实际情况选择不同的方程进行求解这也是每年高考必考的热点问题 22、 2010 江苏某工厂生产甲、乙两种产品甲产品的一等品率为 80%二等品率为 20%乙产品的一等品率为 90%二等品率为 10%生产 1 件甲产品若是一等品则获得利润 4万元若是二等品则亏损 1 万元生产 1 件乙产品若是一等品则获得利润 6 万元若是二等品则亏损 2 万元设生产各种产品相互独立 1记 X单位万元为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润求 X 的分布列 2求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率 考点离散型随机变量及其分布列相互独立事件的概率乘法公式。

专题计算题应用题。

分析 1根据题意做出变量的可能取值是 10523结合变量对应的事件和相互独立事件同时发生的概率写出变量的概率和分布列 2设出生产的 4 件甲产品中一等品有 n 件则二等品有 4n 件根据生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元列出关于 n 的不等式解不等式根据这个数字属于整数得到结果根据独立重复试验写出概率 解答解 1由题设知X 的可能取值为 10523且 PX=10=0.8 0.9=0.72PX=5=0.2 0.9=0.18 PX=2=0.8 0.1=0.08PX=3=0.2 0.1=0.02 X 的分布列为 2设生产的 4 件甲产品中一等品有 n 件则二等品有 4n 件 由题设知 4n4n 10 解得 又 n N得 n=3或 n=4 所求概率为 P=C43 0.83 0.2+0.84=0.8192 答生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8192 点评本题考查离散型随机变量的分布列和期望考查相互独立事件同时发生的概率考查独立重复试验的概率公式考查互斥事件的概率是一个基础题这种题目可以作为高考题的解答题目出现 23、 2010 江苏已知△ ABC 的三边长都是有理数 1求证 cosA 是有理数 2求证对任意正整数 ncosnA 是有理数 考点余弦定理的应用数学归纳法。

专题计算题证明题。

分析 1设出三边为 abc根据三者为有理数可推断出 b2+c2a2是有理数b2+c2a2是有理数进而根据有理数集对于除法的具有封闭性推断出也为有理数根据余弦定理可知=cosA进而可知 cosA 是有理数 2先看当 n=1 时根据1中的结论可知 cosA 是有理数当 n=2 时根据余弦的二倍角推断出 cos2A 也是有理数再假设 n kk 2时结论成立进而可知 coskA、cosk1A 均是有理数用余弦的两角和公式分别求得 cosk+1A根据 cosAcoskAcosk1A 均是有理数推断出 cosAcoskAcosk1A即 n=k+1 时成立最后综合原式得证 解答解 1证明设三边长分别为 abc∵abc 是有理数b2+c2a2是有理数分母 2bc 为正有理数又有理数集对于除法的具有封闭性  必为有理数 cosA 是有理数 2①当 n=1 时显然 cosA 是有理数 当 n=2 时∵cos2A=2cos2A1因为 cosA 是有理数 cos2A 也是有理数 ②假设当 n kk 2时结论成立即 coskA、cosk1A 均是有理数 当n=k+1时cosk+1A=coskAcosAsinkAsinA 解得cosk+1A=2coskAcosAcosk1A ∵cosAcoskAcosk1A 均是有理数 2coskAcosAcosk1A 是有理数 cosAcoskAcosk1A 均是有理数 即当 n=k+1 时结论成立 综上所述对于任意正整数 ncosnA 是有理数 点评本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力

2010江苏高考数学卷解析

2010年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14 小题，每小题5 分，满分70 考点：交集及其运算。专题：计算题。

分析：根据交集的概念，知道元素3 在集合B 中，进而求a 即可．解答：解：AB={3} +43a+2=3 故答案为1点评：本题属于以集合的交集为载体，考查集合的运算推理，求集合中元素的基础题，也是高考常会考的题型． 2、（2010??江苏）设复数z 满足z（23i）=6+4i（其中i 为虚数单位），则z 考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模。专题：计算题。

分析：直接对复数方程两边求模，利用|23i|=|3+2i|，求出z 解答：解：z（23i）=2（3+2i），|z||（23i）|=2|（3+2i）|， |23i|=|3+2i|，z 故答案为：2点评：本题考查复数运算、模的性质，是基础题． 3、（2010??江苏）盒子中有大小相同的只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是考点：古典概型及其概率计算公式。

专题：计算题。

分析：算出基本事件的总个数n=C 算出事件A中包含的基本事件的个数m=C 算出事件A的概率，即P（A）= 即可．解答：解：考查古典概型知识．总个数n=C 事件A中包含的基本事件的个数m=C 点评：本题考查古典概型及其概率计算公式，其算法是：（1）算出基本事件的总个数n；（2）算出事件A 中包含的基本事件的个数m；（3）算出事件A 的概率，即P（A）= 4、（2010??江苏）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100 30根在棉花纤维的长度小于20mm．考点：频率分布直方图。

专题：计算题。

分析：由图分析可得：易得棉花纤维的长度小于 20mm 段的频率，根据频率与频数的关系可得频数．解答：解：由图可知，棉花纤维的长度小于20mm 段的频率为0.001+0.001+0.004，则频数为100（0.001+0.001+0.004）5=30．故填：30．点评：本题考查频率分布直方图的知识．考查读图的能力，读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题． 5、（2010??江苏）设函数f（x）=x（e 考点：函数奇偶性的性质。分析：由函数是偶函数，直接用特殊值求解即可解答：解：g（x）=e 故答案是1点评：考查函数的奇偶性的应用及填空题的解法． 6、（2010??江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线考点：双曲线的定义。专题：计算题。

分析：d =e，求得MF．答案可得．解答：解：的距离，则d=2，MF=4．故答案为4 点评：本题主要考查双曲线的定义．属基础题． 7、（2010??江苏）如图是一个算法的流程图，则输出S 63考点：设计程序框图解决实际问题。

专题：操作型。

分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求满足条件S=1+2+2 33的最小的S 值，并输出．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求满足条件S=1+2+2 33的最小的S =31＜33，不满足条件．S=1+2+2 =6333，满足条件故输出的S 值为：63．故答案为：63 点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模． 8、（2010??江苏）函数y=x ）处的切线与x轴交点的横坐标为 21考点：抛物线的简单性质。

专题：计算题。

分析：先求出函数故答案为：21．点评：考查函数的切线方程、数列的通项． 9、（2010??江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x 5y+c=0 的距离为1，则实数c 的取值范围是（13，13）考点：直线与圆的位置关系。

分析：求出圆心，求出半径，圆心到直线的距离小于半径和1 的差即可．解答：解：圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x5y+c=0 的距离小于1，的取值范围是（13，13）．点评：考查圆与直线的位置关系．（圆心到直线的距离小于半径和1 的差，此时4 个，等于个．）是有难度的基础题．10、（2010??江苏）定义在区间上的函数 y=6cosx 考点：余弦函数的图象；正切函数的图象。专题：计算题。

分析：先将求P 的长转化为求sinx的值，再由x 满足6cosx=5tanx 可求出sinx 的值，从而得到答案．解答：解：线段P 且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx= ．线段P 点评：考查三角函数的图象、数形结合思想．11、（2010??江苏）已知函数，则满足不等式f（1x 考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法。分析：由题意f（x）在[0，+）上是增函数，而x＜0 时，f（x）=1，故满足不等式需满足，解出x 即可．解答：解：由题意，可得故答案为：点评：本题考查分段函数的单调性，利用单调性解不等式，考查利用所学知识分析问题解决问题的能力． 12、（2010??江苏）设实数x，y 满足3xy 的最大值是27 考点：基本不等式在最值问题中的应用。专题：计算题；转化思想。

分析：首先分析题目由实数满足条件3xy 的最大值的问题．根据不等式的等价转换思想可得到：，代入求解最大值即可得到答案．解答：解：因为实数x，y 满足3xy 的最大值是27．故答案为27．点评：此题主要考查不等式的基本性质和等价转化思想，等价转换思想在考试中应用不是很广泛，但是对于特殊题目能使解答更简便，也需要注意． 13、（2010??江苏）在锐角三角形ABC，A、B、C 的对边分别为a、b、c，考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用；余弦定理。分析：已知条件和所求结论对于角具有对称性，可以选用特殊的角或边来求解结果，当a=b 时满足题意，根据可以成立的这个条件写出cosC 的值，根据这个结果，令A=B，做出tanA 和tanB 的值，得到结果．解答：解：已知条件和所求结论对于角A、B 故答案为：4．点评：本题是一个比较特殊的题目，根据等式，把几个量特殊化，这是一般题目见不到的地方，注意本题的解法，这是一种只能用于选择和填空的方法． 14、（2010??江苏）将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记考点：利用导数求闭区间上函数的最值。专题：综合题。

分析：先设剪成的小正三角形的边长为x 表示出S 的解析式，然后求S 的最小值，方法一：对函数S 进行求导，令导函数等于0 求出x 的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值；方法二：令3x=t，代入整理根据一元二次函数的性质得到最小值．点评：考查函数中的建模应用，等价转化思想．一题多解．二、解答题（共9 小题，满分110 （1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t 满足（考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用。专题：计算题。

分析：（1）（方法一）由题设知从而得：（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：是AC，BD的中点，易得D（1，4）从而得：BC= 、AD= 所以故所求的两条对角线的长分别为的中点，所以D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC= 、AD= 点评：本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查向量的坐标运算和基本的求解能力． 16、（2010??江苏）如图，在四棱锥PABCD 中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC， BCD=90．（1）求证：PCBC；到平面PBC的距离．考点：点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系。

专题：计算题；证明题。

分析：（1），要证明PCBC，可以转化为证明BC 垂直于PC 所在的平面，由PD平面ABCD， PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90，容易证明BC平面PCD，从而得证；（2），有两种方法可以求点A 到平面PBC 的距离：方法一，注意到第一问证明的结论，取 AB 的中点E，容易证明DE平面PBC，点D、E 平面PBC的距离相等，而A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2 倍，由第一问证明的结论知平面PBC平面PCD，交线是PC，所以只求D 到PC 的距离即可，在等腰直角三角形PDC 方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥PACB与三棱锥APBC 体积相等，而三棱锥P ACB 体积易求，三棱锥APBC 的地面PBC 的面积易求，其高即为点A 到平面PBC 的距离，设为h，则利用体积相等即求．解答：解：（1）证明：因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC．由BCD=90，得CDBC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC平面PCD．因为PC平面PCD，故PCBC．（2）（方法一）分别取AB、PC 的中点E、F，连DE、DF，则：易证DECB，DE平面PBC，点D、E 到平面PBC 的距离相等．到平面PBC的距离等于E 到平面PBC 的距离的2 由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC 到平面PBC的距离等于（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC 的距离为h．因为ABDC，BCD=90，所以ABC=90．从而AB=2，BC=1，得 ABC 的面积S 由PD平面ABCD及PD=1，得三棱锥PABC 的体积因为PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC．又PD=DC=1，所以由PCBC，BC=1，得PBC 的面积到平面PBC的距离等于点评：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力． 17、（2010??江苏）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m，仰角ABE=α，ADE=β．（1）该小组已经测得一组α、β 的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H 之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α 最大？考点：解三角形的实际应用。

专题：综合题。

分析：（1）在Rt ABE 中可得AD= ，在Rt ADE 中可得AB= ，BD= ，再根据 ADAB=DB 即可得到H．（2）先用d 分别表示出tanα 和tanβ，再根据两角和公式，求得tan（αβ）= =55时，tan（αβ）有最大值即αβ 有最大值，得到答案．解答：解：（1） =tanβAD= ，同理：AB= ，BD= =124．因此，算出的电视塔的高度H 是124m．（2）由题设知d=AB，得tanα= ，tanβ= =55时，取等号）故当d=55 时，tan（αβ）最大．因为0＜β＜α＜最大．故所求的d 是55 点评：本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用．当涉及最值问题时，可考虑用不等式的性质来解决． 18、（2010??江苏）在平面直角坐标系 xoy 中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA、TB 与椭圆分别交于点M（x 的坐标；（3）设t=9，求证：直线MN 轴上的一定点（其坐标与m无关）．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题。

专题：计算题。

分析：（1）设点P（x，y），由两点距离公式将PF =4，变成坐标表示式，整理即得点P的轨迹方程．的坐标由两点式写出直线AM 与直线BN 的方程联立解出交点T 的坐标．（3）方法一求出直线方程的参数表达式，然后求出其与x 的交点的坐标，得到其横坐标为一个常数，从而说明直线过x 轴上的定点．方法二根据特殊情况即直线与 DM与DN 斜率相等，说明直线MN 过该定点．解答：解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（3，0）．由PF 故所求点P的轨迹为直线直线MTA方程为：直线NTB方程为：所以点T的坐标为的坐标为（9，m）直线MTA 方程为：直线NTB方程为：分别与椭圆联立方程组，同时考虑到x 直线MN方程为：轴交点为D（1，0）．所以直线MN 轴上的一定点D（1，0）．（方法二）若x ，直线MD的斜率直线ND的斜率 ND，所以直线MN 点评：本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识．考查运算求解能力和探究问题的能力 19、（2010??江苏）设各项均为正数的数列{a ，数列是公差为d 的等差数列．（1）求数列{a 立．求证：c的最大值为考点：等差数列的性质；归纳推理。分析：（1）根据等差数列的通项公式，结合已知，列出关于a ，适合n=1情形．故所求a 所以c的最大值所以满足条件的，从而因此c的最大值为点评：本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力． 20、（2010??江苏）设 f（x）是定义在区间（1，+）上的函数，其导函数为 f′（x）．如果存在实数a 和函数h（x），其中h（x）对任意的x（1，+）都有h（x）＞0，使得f′（x） ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a），设函数f 其中b为实数．（1）求证：函数f（x）具有性质P（b）；（2）求函数f（x）的单调区间．考点：利用导数研究函数的单调性。

专题：计算题；证明题。

分析：（1）先求出函数f（x）的导函数f′（x），然后将其配凑成f′（x）=h（x）（x bx+1）这种形式，再说明h（x）对任意的x（1，+）都有h（x）＞0，即可证明函数f（x）具有性质P（b）；（2）根据第一问令图象开口向上，对称轴，可求出方程φ（x）=0 的两根，判定两根的范围，从而确定φ（x）的符号，得到f′（x）的符号，最终求出单调区间．解答：解：（1）f′（x）= 恒成立，函数f（x）具有性质P（b）；故此时f（x）在区间上递减；同理得：f（x）在区间上递增．综上所述，当b2 时，f（x）在区间（1，+）上递增；上递减；f（x）在上递增．点评：本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力． 21、（2010??江苏）本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A：AB 的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC． B：在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（0，0），B（2，0），C（2，1）．设k 在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A 的面积是ABC 面积的2 C：在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 相切，求实数a 考点：参数方程化成普通方程；基本不等式；直线和圆的方程的应用。专题：计算题；证明题；综合题。

分析：A、连接 OD，则 ODDC，又OA=OD，DA=DC，所以DAO=ODA=DCO，再证明 OB=BC=OD=OA，即可求解． B、由题设得，根据矩阵的运算法则进行求解． C、在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ 与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 相切，由题意将圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算a 然后再进行讨论求证．解答：解：A：（方法一）证明：连接OD，则：ODDC，又OA=OD，DA=DC，所以DAO=ODA=DCO， DOC=DAO+ODA=2DCO，所以DCO=30，DOC=60，所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC．（方法二）证明：连接OD、BD．因为AB 的直径，所以ADB=90，AB=2OB．因为DC 的切线，所以CDO=90．又因为DA=DC，所以DAC=DCA，于是 ADBCDO，从而AB=CO．即2OB=OB+BC，得OB=BC．故AB=2BC．满分（10分）．由题设得计算得ABC 面积的面积是1， =2ρcosθ，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x 直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x+4y+a=0，又圆与直线相切，所以点评：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力，及图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力还考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力．另外此题也考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题． 22、（2010??江苏）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为 90%，二等品率为 10%．生产万元，若是二等品则亏损1万元；生产1 件乙产品，若是一等品则获得利润6 万元，若是二等品则亏损2 万元．设生产各种产品相互独立．（1）记X（单位：万元）为生产1 件甲产品和1 件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列；（2）求生产4 件甲产品所获得的利润不少于10 万元的概率．考点：离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式。

专题：计算题；应用题。

分析：（1）根据题意做出变量的可能取值是10，5，2，3，结合变量对应的事件和相互独立事件同时发生的概率，写出变量的概率和分布列．（2）设出生产的件甲产品中一等品有n件，则二等品有件甲产品所获得的利润不少于10 万元，列出关于n 的不等式，解不等式，根据这个数字属于整数，得到结果，根据独立重复试验写出概率．的可能取值为10，5，2，3，且P（X=10）=0.80.9=0.72，P（X=5）=0.20.9=0.18， P（X=2）=0.80.1=0.08，P（X=3）=0.20.1=0.02．的分布列为：（2）设生产的4 件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n =0.8192答：生产4 件甲产品所获得的利润不少于10 万元的概率为0.8192．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，考查独立重复试验的概率公式，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目可以作为高考题的解答题目出现． 23、（2010??江苏）已知 ABC 的三边长都是有理数．（1）求证cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA 是有理数．考点：余弦定理的应用；数学归纳法。

专题：计算题；证明题。

分析：（1）设出三边为 a，b，c，根据三者为有理数可推断出是有理数，进而根据有理数集对于除法的具有封闭性推断出也为有理数，根据余弦定理可知 =cosA，进而可知cosA 是有理数．（2）先看当n=1 时，根据（1）中的结论可知cosA 是有理数，当n=2 时，根据余弦的二倍角推断出cos2A 也是有理数，再假设nk（k2）时，结论成立，进而可知coskA、cos（k1）均是有理数推断出cosA，coskA，cos（k1）A，即n=k+1时成立．最后综合原式得证．解答：解：（1）证明：设三边长分别为a，b，c，是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，必为有理数，cosA 是有理数．时，显然cosA是有理数； A1，因为cosA是有理数，cos2A 也是有理数；假设当nk（k2）时，结论成立，即coskA、cos（k1）A 均是有理数．解得：cos（k+1）A=2coskAcosAcos（k1）AcosA，coskA，cos（k1）A 均是有理数，2coskAcosAcos（k1）A 是有理数， cosA，coskA，cos（k1）A 均是有理数．时，结论成立．综上所述，对于任意正整数n，cosnA 是有理数．点评：本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力．