2016江苏高考数学试题及答案
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2016江苏高考数学试题及答案
2013年江苏省高考数学试卷 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相印位置上． 分）（2013??江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为 分）（2013??江苏）双曲线的两条渐近线方程为 分）（2013??江苏）抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下： 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 8791 90 89 93 8990 91 88 92 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ，其中正整数m，n（m7，n9）可以任意选取，则m，n都取到 奇数的概率为 的中点，设三棱锥FADE 的体积为 ABC的体积为 2010-2014 内的任意一点，则x+2y的取值范围是 10．（5分）（2013??江苏）设D，E 分别是 ABC 的边AB，BC 上的点，AD= AB，BE= 11．（5分）（2013??江苏）已知f（x）是定义在R 上的奇函数．当x＞0 12．（5分）（2013??江苏）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF 的距离为d 13．（5分）（2013??江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设定点A（a，a），P 是函数y= 点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a 的所有值为 14．（5分）（2013??江苏）在正项等比数列{a 二、解答题：本大题共6小题，共计90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． 15．（14 分）（2013??江苏）已知 =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π． 16．（14分）（2013??江苏）如图，在三棱锥SABC 中，平面SAB平面SBC，ABBC，AS=AB，过 A作AFSB， 分别是棱SA，SC的中点．求证： （1）平面EFG平面ABC； （2）BCSA． 2010-2014 17．（14分）（2013??江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 的半径为1，圆心在l 上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a 的取值范围． 18．（16 分）（2013??江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C 处有两种路径．一种是从A沿直线步行 到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min 后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min 后，再从匀速步行到C．假 设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC 长为1260m，经测量，cosA= ，cosC= （1）求索道AB （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 19．（16 分）（2013??江苏）设{a 其中c为实数． }是等差数列，证明：c=0．20．（16 分）（2013??江苏）设函数f（x）=lnxax，g（x）=e ax，其中a为实数． （1）若f（x）在（1，+）上是单调减函数，且g（x）在（1，+）上有最小值，求a 的取值范围； （2）若g（x）在（1，+）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数
求证：AC=2AD。
B．[选修4 在平面直角坐标系xoy中，直线l 的参数方程为 为参数），曲线C的参数方程为 2tan2tan 为参数）。试求直线l和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。
D．[选修4 已知ab＞0，求证： 作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10 分）如图，在直三棱柱 ABCABC AA=4，点D是BC 的中点。
（1）求异面直线 ADC与平面 ABA所成二面角的正弦值。
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共2 页，均为非选择题（第21 题～第23 题）。本卷满分为40 分。考试时间为30 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置 作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
2010-2014 （k-1）k（k+1）k 中元素个数；(2)求集合2000 2010-2014 2013年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相印位置上． 分）（2013??江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为 考点：三角函数的周期性及其求法．4664233 专题： 计算题；三角函数的图像与性质． 分析： 将题中的函数表达式与函数y=Asin（ωx+φ）进行对照，可得ω=2，由此结合三角函数的周期公式加以计算， 即可得到函数的最小正周期． 解答： 解：函数表达式为y=3sin（2x+ 故答案为：π点评： 本题给出三角函数表达式，求函数的最小正周期，着重考查了函数y=Asin（ωx+φ）的周期公式的知识，属 于基础题． 考点：复数代数形式的混合运算．4664233 专题： 计算题． 分析： 把给出的复数展开化为a+bi（a，bR）的形式，然后直接利用莫得公式计算． 解答： =34i．所以，|z|= 故答案为5．点评： 本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数莫得求法，是基础题． 分）（2013??江苏）双曲线的两条渐近线方程为 考点：双曲线的简单性质．4664233 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程． 解答： 解：双曲线 的a=4，b=3，焦点在x 而双曲线的渐近线方程为y= 2010-2014 双曲线的渐近线方程为 故答案为： 点评： 本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位， 再定量的解题思想 个子集．考点： 子集与真子集．4664233 专题： 计算题． 分析： 集合P={1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集． 解答： 解：因为集合{1，0，1}， 所以集合{1，0，1}的子集有：{1}，{0}，{1}，{1，0}，{1，1}，{0，1}，{1，0，1}，，共8 故答案为：8．点评： 本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n 个元素，则集合M的子集 共有2 考点：程序框图．4664233 专题： 操作型． 分析： 由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a 值，并输出满足a20 的最小n 值，模拟程序的运 行过程可得答案． 解答： 时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=26，n=3；当n=3，a=26 时，不满足进行循环的条件，退出循环 故输出n 故答案为：3点评： 本题考查的知识点是程序框图，由于循环的次数不多，故可采用模拟程序运行的方法进行． 2010-2014 分）（2013??江苏）抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下： 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 8791 90 89 93 8990 91 88 92 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 考点：极差、方差与标准差．4664233 专题： 计算题；图表型． 分析： 直接由图表得出两组数据，求出它们的平均数，求出方差，则答案可求． 解答： 解：由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为： 甲：87，91，90，89，93； 乙：89，90，91，88，92； 所以乙运动员的成绩较稳定，方差为2．故答案为2． 点评： 本题考查了方差与标准差，对于一组数据，在平均数相差不大的情况下，方差越小越稳定，考查最基本的 知识点，是基础题． ，其中正整数m，n（m7，n9）可以任意选取，则m，n都取到 奇数的概率为 考点：古典概型及其概率计算公式．4664233 专题： 概率与统计． 分析： 求出m 取小于等于7 的正整数，n 取小于等于9 的正整数，m 取到奇数，n 取到奇数的方法种数，直接由古 典概型的概率计算公式求解． 解答： 取小于等于7的正整数，n 取小于等于9 的正整数，共有79=63 种取法． 种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9 所以m，n都取到奇数的概率为 点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键是做到对取法种数计算的补充不漏，是基础的计算题． 的中点，设三棱锥FADE 的体积为 ABC的体积为 2010-2014 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．4664233 专题： 计算题． 分析： 由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2 然后直接由体积公式可得比值．解答： 解：因为D，E，分别是AB，AC 的中点，所以S ABC=1：4， 到底面的距离H为F到底面距离h ABC的高是三棱锥FADE =1：24．故答案为1：24． 点评： 本题考查了棱柱和棱锥的体积公式，考查了相似多边形的面积的比等于相似比的平方，是基础的计算题． 内的任意一点，则x+2y的取值范围是 考点：简单线性规划；导数的运算．4664233 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 利用导数求出抛物线在x=1 处的切线方程，画出可行域，找出最优解，则x+2y 的取值范围可求． 解答： 处的切线方程为y=2x1．令z=x+2y，则 画出可行域如图，所以当直线 2010-2014 点评：本题考查了导数的运算，考查了简单的线性规划，解答的关键是把问题转化为线性规划知识解决，是基础 10．（5分）（2013??江苏）设D，E 分别是 ABC 的边AB，BC 上的点，AD= AB，BE= 考点：平面向量的基本定理及其意义．4664233 专题： 平面向量及应用． 分析： 由题意和向量的运算可得 的值，求和即可．解答： 解：由题意结合向量的运算可得 故答案为：点评： 本题考查平面向量基本定理及其意义，涉及向量的基本运算，属中档题． 11．（5 分）（2013??江苏）已知f（x）是定义在R 上的奇函数．当x＞0 解集用区间表示为（5，0）（5，） 考点：一元二次不等式的解法．4664233 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 作出x 大于0 小于0的图象，所求不等式即为函数y=f（x）图象在y=x 上方，利用图形即可求出解集． 解答： 解：作出f（x）=x 2010-2014 上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0 不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x 上方， 图象交于P（5，5），Q（5，5），则由图象可得不等式f（x）＞x 故答案为：（5，0）（5，+）点评： 此题考查了一元二次不等式的解法，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键． 12．（5 分）（2013??江苏）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF 的距离为d 考点：椭圆的简单性质．4664233 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 根据“d 的关系，可求得，从而求出离心率． 解答： 解：如图，准线l：x= 2010-2014 点评：本题主要考查椭圆的几何性质，即通过半焦距，短半轴，长半轴构成的直角三角形来考查其离心率，还涉 及了等面积法． 13．（5 分）（2013??江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设定点A（a，a），P 是函数y= 点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a 的所有值为 考点：两点间的距离公式．4664233 专题： 压轴题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 分析： 设点P ，利用两点间的距离公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得 解答：解：设点P 点评：本题综合考查了两点间的距离公式、基本不等式的性质、二次函数的单调性等基础知识和基本技能，考查了 分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力． 14．（5 分）（2013??江苏）在正项等比数列{a 考点：等比数列的前n 项和；一元二次不等式的解法；数列的函数特性；等差数列的前n 项和．4664233 专题： 压轴题；等差数列与等比数列． 分析： 设正项等比数列{a 的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n 的范围，取上限的整数部分即可得 答案． 解答： 解：设正项等比数列{a 2010-2014 由题意可得，解之可得得：a 由于n为正整数，因此n 最大为 的整数部分，也就是12． 故答案为：12 点评： 本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法，属中档题． 二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． 15．（14 分）（2013??江苏）已知 =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π． 考点：平面向量数量积的运算；向量的模；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；两角和与差的 正弦函数．4664233 专题： 平面向量及应用． 分析： （1）由给出的向量 的坐标，求出 的坐标，由模等于 列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0，由此得 到结论； （2）由向量坐标的加法运算求出 =（0，1）列式整理得到，结合给出的角的范 围即可求得α，β =（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）， 2010-2014 =22（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，得cosαcosβ+sinαsinβ=0． 所以 因为0＜β＜α＜π，所以0＜αβ＜π．所以 因为．所以 点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量的模，考查了同角三角函数的基本关系式和两角和与差的 三角函数，解答的关键是注意角的范围，是基础的运算题． 16．（14 分）（2013??江苏）如图，在三棱锥SABC 中，平面SAB平面SBC，ABBC，AS=AB，过 A作AFSB， 分别是棱SA，SC的中点．求证： （1）平面EFG平面ABC； （2）BCSA． 考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．4664233 专题： 证明题；空间位置关系与距离． 分析： （1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F 为SB的中点．从而得到 SAB和 SAC中，EFAB且EGAC， 利用线面平行的判定定理，证出EF平面ABC 且EG平面 ABC．因为EF、EG 是平面EFG 内的相交直 线，所以平面EFG平面ABC； （2）由面面垂直的性质定理证出AF平面SBC，从而得到 AFBC．结合AF、AB是平面SAB内的相交 直线且ABBC，可得 BC平面SAB，从而证出 BCSA． 解答： 解：（1）ASB中，SA=AB且AFSB，F 为SB的中点． 分别为SA、SC的中点， EF、EG 分别是 SAB、 SAC 的中位线，可得EFAB且EGAC． EF平面ABC，AB平面 ABC， EF平面ABC，同理可得EG平面 ABC 又EF、EG 是平面EFG 内的相交直线， 平面EFG平面ABC； 2010-2014 （2）平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBC=SB，AF平面 ASB，AFSB． AF平面SBC． 又BC平面SBC，AFBC． ABBC，AFAB=A，BC平面SAB． 又SA平面SAB，BCSA． 点评： 本题在三棱锥中证明面面平行和线线垂直，着重考查了直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，直 线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题． 17．（14 分）（2013??江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 的半径为1，圆心在l 上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a 的取值范围． 考点： 圆的切线方程；点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定．4664233 专题： 直线与圆． 分析： （1）联立直线l 与直线y=x1 解析式，求出方程组的解得到圆心C 坐标，根据A坐标设出切线的方程， 由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k 的方程，求出方程的解得到k 的值，确定出切线方程即可； （2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0， 1）为圆心，2 相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a 范围．解答： 解：（1）联立得： 2010-2014 的关系为相交或相切，1|CD|3，其中|CD|= 点评：此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线 的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题． 18．（16 分）（2013??江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C 处有两种路径．一种是从A沿直线步行 到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min 后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min 后，再从匀速步行到C．假 设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC 长为1260m，经测量，cosA= ，cosC= （1）求索道AB （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 考点： 余弦定理．4664233 专题： 解三角形． 分析： （1）作出相应的图形，根据cosC 的值，求出tanC 的值，设出BD 表示出DC，由cosA的值，求出tanA 的值，由BD 表示出AD，进而表示出AB，由CD+AD=AC，列出关于k 的方程，求出方程的解得到k （2）设乙出发xmin后到达点M，此时甲到达N 点，如图所示，表示出AM与AN，在三角形AMN 由余弦定理列出关系式，将表示出的AM，AN及cosA的值代入表示出MN ，利用二次函数的性质即可求出MN 取最小值时x （3）由（1）得到BC的长，由AC 的长及甲的速度求出甲到达C 的时间，分两种情况考虑：若甲等乙3 分钟，此时乙速度最小，求出此时的速度；若乙等甲3 分钟，此时乙速度最大，求出此时的速度，即可确 定出乙步行速度的范围． 解答： 解：（1）cosA= ，cosC= tanA=，tanC= 2010-2014 如图作BDCA于点D，设BD=20k，则DC=15k，AD=48k，AB=52k， 由AC=63k=1260m，解得：k=20， 则AB=52k=1040m； （2）设乙出发xmin 后到达点M，此时甲到达N 点，如图所示， 则AM=130xm，AN=50（x+2）m， 由余弦定理得：MN 14000x+10000，其中0x10，当x= min 时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短； （3）由（1）知：BC=500m，甲到C 用时为126050= （min）， 若甲等乙3 分钟，则乙到C 用时为 +3= （min），在 BC 上同时为 （min）， 此时乙的速度最小，且为500 29.07（m/min）；若乙等甲3 分钟，则乙到C 用时为 （min），在BC 上用时为 （min）， 此时乙的速度最大，且为500 35.21（m/min），则乙步行的速度控制在[29.07，35.21]范围内． 点评： 此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直 角三角形题型． 19．（16 分）（2013??江苏）设{a 其中c为实数． }是等差数列，证明：c=0．考点： 等比关系的确定；等差数列的前n 项和；等差数列的性质；等比数列的性质．4664233 专题： 压轴题；等差数列与等比数列． 分析： （1）写出等差数列的通项公式，前n 项和公式，由b ，在前n项和公式中取n=nk 可证结论； 代入中整理得到b =An+B的形式，说明，由此可得到c=0． 2010-2014 =2ad，又d0，故d=2a．因此： 观察式后一项，分子幂低于分母幂，故有： }是等差数列．点评： 本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，考查了学生的运算能力，解答此题 的关键是理解并掌握非常数等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，此题是中档题． 20．（16 分）（2013??江苏）设函数f（x）=lnxax，g（x）=e ax，其中a为实数． （1）若f（x）在（1，+）上是单调减函数，且g（x）在（1，+）上有最小值，求a 的取值范围； （2）若g（x）在（1，+）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论． 考点： 利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．4664233 专题： 压轴题；导数的综合应用． 分析： （1）求导数，利用f（x）在（1，+）上是单调减函数，转化为 在（1，+）上恒成立，利用g（x）在（1，+）上有最小值，结合导数知识，即可求得结论； （2）先确定a 的范围，再分类讨论，确定f（x）的单调性，从而可得f（x）的零点个数． 解答： 解：（1）求导数可得f′（x）= 2010-2014 在（1，+）上恒成立，此时，g（x）=e ax在（1，+）上是单调增函数，无最小值，不合； ax在（1，lna）上是单调减函数，在（lna，+）上是单调增函数，g min （x）=g（lna）， 满足． 在（0，+）上恒成立，即f（x）=lnxax在（0，+）上是单调增函数 个零点综上所述，当a= 个零点．点评： 此题考查的是可导函数的单调性与其导数的关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能 力，难度较大． 2010-2014 2010-2014
2016江苏高考数学试题及答案
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