2009年江苏高考数学卷

2009年江苏高考数学卷

绝密★启用前学科网 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）学科网 数学Ⅰ试题 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 参考公式： 学科网 样本数据1 2, , ,nx x x ?? 的方差2 21 11 1( ) ,n ni ii is x x x xn n?? ???? ?? ???? ??其中学科网 共 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．. 学科网 1.若复数1 24 29 , 6 9 , z i z i ?? ?? ?? ?? 其中 i 是虚数单位，则复数1 2( ) z z i ?? 的实部为 ▲ 。

[解析]考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念。

-20 2.已知向量 a??和向量 b??的夹角为 30 o ， | | 2,| | 3 a b ?? ???? ??，则向量 a??和向量 b??的数量积 a b ???? ??= ▲。

[解析] 考查数量积的运算。

32 3 32a b ?? ?? ?? ?? ???? ?? 3.函数3 2( ) 15 33 6 f x x x x ?? ?? ?? ?? 的单调减区间为 ▲ .学科网 [解析] 考查利用导数判断函数的单调性。

2( ) 3 30 33 3( 11)( 1) f x x x x x ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ， 由 ( 11)( 1) 0 x x ?? ?? ?? 得单调减区间为 ( 1,11) ?? 。亦可填写闭区间或半开半闭区间。

4. 函 数 sin( ) y A x ?? ?? ?? ?? （ , , A ?? ?? 为 常 数 ，0, 0 A ?? ?? ?? ）在闭区间 [ ,0] ?? ?? 上的图象如图所示，则 ?? = ▲ .学科网 [解析] 考查三角函数的周期知识。

32T ?? ?? ，23T ?? ?? ，所以 3 ?? ?? ， 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题 第 14 题）、解答题（第 15 题 第 20 题）。本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。

5.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

5.现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 ▲ .学科网 [解析] 考查等可能事件的概率知识。

从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10，它们的长度恰好相差 0.3m 的事件数为 2，分别是：2.5 和 2.8，2.6 和 2.9，所求概率为 0.2。

6.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，投中的次数如下表：学科网 学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为2s = ▲ .学科网 [解析] 考查统计中的平均值与方差的运算。

甲班的方差较小，数据的平均值为 7， 故方差2 2 2 2 22(6 7) 0 0 (8 7) 0 25 5s?? ?? ?? ?? ?? ???? ?? 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的 W ?? ▲ .学科网 [解析] 考查读懂算法的流程图的能力。

22 8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1：2，则它们的面积比为 1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为 1：2，则它们的体积比为 ▲ . [解析] 考查类比的方法。

体积比为 1：8 9.在平面直角坐标系 xoy 中，点 P 在曲线3: 10 3 C y x x ?? ?? ?? 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2，则点 P的坐标为 ▲ .学科网 [解析] 考查导数的几何意义和计算能力。

23 10 2 2 y x x?? ???? ?? ?? ?? ?? ，又点 P 在第二象限内， 2 x ?? ?? ?? 点 P 的坐标为（-2，15） 10.已知5 12a???? ，函数 ( )xf x a ?? ，若实数 m 、 n 满足( ) ( ) f m f n ?? ，则 m 、 n 的大小关系为 ▲ .学科网 [解析] 考查指数函数的单调性。

5 1(0,1)2a???? ?? ，函数 ( )xf x a ?? 在 R 上递减。由 ( ) ( ) f m f n ?? 得：m n 11.已知集合 ?? ??2log 2 , ( , ) A x x B a ?? ?? ?? ???? ，若 A B ?? 则实数 a 的取值范围是 ( , ) c ???? ，其中 c = ▲ .学科网 [解析] 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。

由2log 2 x ?? 得 0 4 x ?? ?? ， (0,4] A?? ；由 A B ?? 知 4 a ?? ，所以 c ?? 4。

12.设 ?? 和 ?? 为不重合的两个平面，给出下列命题：学科网 （1）若 ?? 内的两条相交直线分别平行于 ?? 内的两条直线，则 ?? 平行于 ?? ； （2）若 ?? 外一条直线 l 与 ?? 内的一条直线平行，则 l 和 ?? 平行； （3）设 ?? 和 ?? 相交于直线 l ，若 ?? 内有一条直线垂直于 l ，则 ?? 和 ?? 垂直； （4）直线 l 与 ?? 垂直的充分必要条件是 l 与 ?? 内的两条直线垂直。

上面命题中，真命题．．．的序号 ▲ （写出所有真命题的序号）.学科网 [解析] 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。

真命题．．．的序号是(1)(2) 13．如图，在平面直角坐标系 xoy 中，1 2 1 2, , , A A B B 为椭圆2 22 21( 0)x ya ba b?? ?? ?? ?? 的四个顶点， F 为其右焦点，直线1 2AB 与直线1B F 相交于点 T，线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ .学科网 学科网 学科网 [解析] 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。

直线1 2AB 的方程为： 1x ya b?? ????； 直 线1B F 的 方 程 为 ： 1x yc b?? ????。

二 者 联 立 解 得 ：2 ( )( , )ac b a cTa c a c???? ??， 则( )( , )2( )ac b a cMa c a c???? ??在椭圆2 22 21( 0)x ya ba b?? ?? ?? ?? 上， 2 22 2 22 2( )1, 10 3 0, 10 3 0( ) 4( )c a cc ac a e ea c a c???? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???? ??， 解得： 2 7 5 e ?? ?? 14．设 ?? ??na 是公比为 q 的等比数列， | | 1 q ?? ，令 1( 1,2, )n nb a n ?? ?? ?? ?? ，若数列 ?? ??nb 有连续四项在集合 ?? ?? 53, 23,19,37,82 ?? ?? 中，则 6q = ▲ .学科网 [解析] 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。

?? ??na 有连续四项在集合 ?? ?? 54, 24,18,36,81 ?? ?? ，四项 24,36, 54,81 ?? ?? 成等比数列，公比为32q ?? ?? ， 6q = -9 共 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 学科网 15．（本小题满分 14 分）学科网 设向量 (4cos ,sin ), (sin ,4cos ), (cos , 4sin ) a b c ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???? ?? ??学科网 （1）若 a??与 2 b c ???? ??垂直，求 tan( ) ?? ?? ?? 的值；学科网 （2）求 | | b c ???? ??的最大值;学科网 （3）若 tan tan 16 ?? ?? ?? ，求证： a??‖ b??..网 [解析] 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。

16．（本小题满分 14 分）学科网 如图，在直三棱柱1 1 1ABC ABC ?? 中， E、 F分别是1AB 、1AC 的中点，点 D 在1 1BC 上，1 1AD BC ??。学科网 求证：（1）EF‖平面 ABC； （2）平面1AFD ?? 平面1 1BBC C . [解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分 14 分。

17．（本小题满分 14 分）学科网 设 ?? ??na 是公差不为零的等差数列，nS 为其前 n 项和，满足2 2 2 22 3 4 5 7, 7 a a a a S ?? ?? ?? ?? 。

学 （1）求数列 ?? ??na 的通项公式及前 n 项和nS ；学科网 （2）试求所有的正整数 m ，使得12m mma aa????为数列 ?? ??na 中的项。

[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14 分。

（1）设公差为 d ，则2 2 2 22 5 4 3a a a a ?? ?? ?? ，由性质得4 3 4 33 ( ) ( ) d a a d a a ?? ?? ?? ?? ，因为 0 d ?? ，所以4 30 a a ?? ?? ，即12 5 0 a d ?? ?? ，又由77 S ?? 得17 67 72a d???? ?? ，解得15 a ?? ?? ， 2 d ?? , (2) （方法一）12m mma aa????=(2 7)(2 5)2 3m mm?? ????,设 2 3 m t ?? ?? ， 则12m mma aa????=( 4)( 2) 86t ttt t?? ???? ?? ?? , 所以 t 为 8 的约数 （方法二）因为1 2 222 2 2( 4)( 2) 86m m m mmm m ma a a aaa a a?? ?? ?????? ?? ???? ???? ?? ?? ?? 为数列 ?? ??na 中的项， 故m+28 a为整数，又由（1）知：2 ma??为奇数，所以22 3 1, 1,2ma m m???? ?? ?? ?? ?? 即 经检验，符合题意的正整数只有 2 m ?? 。

18．（本小题满分 16 分）学科网 在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆2 21 :(3) ( 1) 4 C x y ?? ?? ?? ?? 和圆2 22 :(4) ( 5) 4 C x y ?? ?? ?? ?? . （1）若直线 l 过点 (4,0) A ，且被圆1C 截得的弦长为 2 3 ，求直线 l 的方程； （2）设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 P 的坐标。

[解析] 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分 16 分。

(1)设直线 l 的方程为： ( 4) y k x ?? ?? ，即 4 0 kx y k ?? ?? ?? 由垂径定理，得：圆心1C 到直线 l 的距离2 22 34 ( ) 12d ?? ?? ?? ， 结合点到直线距离公式，得：2| 3 1 4 |1,1k kk?? ?? ?????? 化简得：2724 7 0, 0, ,24k k k or k ?? ?? ?? ?? ?? 求直线 l 的方程为： 0 y ?? 或7( 4)24y x ?? ?? ?? ，即 0 y ?? 或 7 24 28 0 x y ?? ?? ?? (2) 设点 P 坐标为 ( , ) m n ，直线1l 、2l 的方程分别为： 1( ), ( ) y n k x m y n x mk?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ，即：1 10, 0 kx y n km x y n mk k?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心1C 到直线1l 与2C 直线2l 的距离相等。

故有：224 1| 5 || 3 1 |111n mk n kmk kkk?? ?? ?? ???? ?? ?? ????????， 化简得： (2 ) 3, ( 8) 5 m n k m n m n k m n ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 或 关于 k 的方程有无穷多解，有：2 0 ,3 0m nm n?? ?? ?? ?? ???? ???? ?? ???? ??m-n+8=0或m+n-5=0 解之得：点 P 坐标为3 13( , )2 2??或5 1( , )2 2??。

19.(本小题满分 16 分)学科网 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 a 元，如果他卖出该产品的单价为 m 元，则他的满意度为mm a ??；如果他买进该产品的单价为 n 元，则他的满意度为nn a ??.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意度为1 2hh .学科网 现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、B 的单价分别为Am 元和Bm 元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h 甲 ，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h 乙学科.网 (1)求 h 甲 和 h 乙 关于Am 、Bm 的表达式；当35A Bm m ?? 时，求证： h 甲 = h 乙 ；学科网 (2)设35A Bm m ?? ，当Am 、Bm 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？学科网 (3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取Am 、Bm 的值，使得0h h ??甲和0h h ??乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。学科网 [解析] 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。满分 16 分。

(1) 当35A Bm m ?? 时，23535 ( 20)( 5)125BB BB B BBmm mhm m mm?? ?? ???? ?? ????甲, 235320 ( 5)( 20)35BB BB B BBmm mhm m mm?? ?? ???? ?? ????乙, h 甲 = h 乙 （2）当35A Bm m ?? 时， 221 1= ,20 5 1 1( 20)( 5)(1 )(1 ) 100( ) 25 1BB BB B B Bmhm mm m m m?? ???? ???? ?? ?? ??甲 由1 1 1[5,20] [ , ]20 5BBmm?? ?? 得 ， 故当1 120Bm?? 即 20, 12B Am m ?? ?? 时， 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为105。

（3）（方法一）由（2）知：0h =105 由010=12 5 5A BA Bm mh hm m?? ?? ???? ??甲得：12 5 52A BA Bm mm m?? ???? ?? ， 令3 5, ,A Bx ym m?? ?? 则1[ ,1]4x y?? 、 ，即：5(1 4 )(1 )2x y ?? ?? ?? 。

同理，由0105h h ?? ??乙得：5(1 )(1 4 )2x y ?? ?? ?? 另一方面，1[ ,1]4x y?? 、 1 4 1 x x ?? ?? ?? ??5、1+4y [2,5], 、1+y [ ,2],2 5 5(1 4 )(1 ) ,(1 )(1 4 ) ,2 2x y x y ?? ?? ?? ?? ?? ?? 当且仅当14x y ?? ?? ，即Am =Bm 时，取等号。

所以不能否适当选取Am 、Bm 的值，使得0h h ??甲和0h h ??乙同时成立，但等号不同时成立。

20．(本小题满分 16 分)学科网 设 a 为实数，函数2( ) 2 ( )| | f x x x a x a ?? ?? ?? ?? .学科网 (1)若 (0) 1 f ?? ，求 a 的取值范围；学科网 (2)求 ( ) f x 的最小值；学科网 (3)设函数 ( ) ( ), ( , ) h x f x x a ?? ?? ???? ，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式 ( ) 1 h x ?? 的解集. [解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分 （1）若 (0) 1 f ?? ，则20| | 1 11aa a aa?? ???? ?? ?? ?? ?? ???????? （2）当 x a ?? 时，2 2( ) 3 2 , f x x ax a ?? ?? ??22min( ), 0 2 , 0( )2( ), 0, 033f a a a af xaaf aa?? ?? ?????? ???? ???? ???????? ?????? 当 x a ?? 时，2 2( ) 2 , f x x ax a ?? ?? ??2min2( ), 0 2 , 0( )( ), 02 , 0f a a a af xf a aa a?? ?? ?? ?? ???? ???? ???? ?????? ?????? 综上22min2 , 0( )2, 03a af xaa?????????? ???????? （3） ( , ) x a ?? ???? 时， ( ) 1 h x ?? 得2 23 2 1 0 x ax a ?? ?? ?? ?? ，2 2 24 12( 1) 12 8 a a a ?? ?? ?? ?? ?? ?? 当6 62 2a a ?? ?? ?? 或 时， 0, ( , ) x a ?? ?? ?? ???? ； 当6 62 2a ?? ?? ?? 时，△ 0,得：2 23 2 3 2( )( ) 03 3a a a ax xx a???? ?? ?? ???? ?? ?? ?????????? 讨论得：当2 6( , )2 2a?? 时，解集为 ( , ) a ???? ; 当6 2( , )2 2a?? ?? ?? 时，解集为2 23 2 3 2( , ] [ , )3 3a a a aa?? ?? ?? ???? ???? ; 当2 2[ , ]2 2a?? ?? 时，解集为23 2[ , )3a a ?? ?????? . 数学Ⅱ（附加题） 参考公式：2 2 2 2( 1)(2 1)1 2 3 .6n n nn?? ???? ?? ?? ?? ?? ?? 21.[ 选做题]在 A、B、C、D 四小题中 只能选做两题．．．．．．，每小题 10 分，共计 20 分。请在 答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A.选修 4 - 1：几何证明选讲 如图，在四边形 ABCD 中，△ABC≌△BAD. 求证：AB‖CD. [解析] 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力。满分 10 分。

证明：由△ABC≌△BAD 得 ACB= BDA，故 A、B、C、D 四点共圆，从而 CBA= CDB。再由△ABC≌△BAD 得 CAB= DBA。因此 DBA= CDB，所以 AB‖CD。

B. 选修 4 - 2：矩阵与变换 求矩阵3 22 1A?? ?????? ???? ??的逆矩阵. [解析] 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。满分 10 分。

解：设矩阵 A 的逆矩阵为 ,x yz w?? ???? ???? ??则3 2 1 0,2 1 0 1x yz w?? ???? ?? ?? ?????? ???? ?? ?? ???? ???? ?? ?? ?? 即3 2 3 2 1 0,2 2 0 1x z y wx z y w?? ?? ?? ?? ?? ?????? ?? ?? ???? ???? ?? ?? ??故3 2 1, 3 2 0,2 0, 2 1,x z y wx z y w?? ?? ?? ?? ?? ???? ???? ?? ?? ???? ?? 解得： 1, 2, 2, 3 x z y w ?? ?? ?? ?? ?? ?? ， 从而 A 的逆矩阵为11 22 3A ???? ?? ???? ???????? ??. C. 选修 4 - 4：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为1,13( )x tty tt???? ???????????? ??????（ t 为参数， 0 t ?? ）. 求曲线 C 的普通方程。

[解析] 本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分 10 分。

解：因为212, x tt?? ?? ?? 所以212 ,3yx tt?? ?? ?? ?? 故曲线 C 的普通方程为：23 6 0 x y ?? ?? ?? . D. 选修 4 - 5：不等式选讲 设 a b ＞0,求证：3 33 2 a b ?? 2 23 2 a b ab ?? . [解析] 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分 10 分。

证明：3 3 2 2 2 2 2 23 2 (3 2 ) 3 ( ) 2 ( ) (3 2 )( ). a b a b ab a a b b b a a b a b ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 因为 a b ＞0,所以 a b ?? 0，2 23 2 a b ?? ＞0，从而2 2(3 2 )( ) a b a b ?? ?? 0， 即3 33 2 a b ?? 2 23 2 a b ab ?? . [ 必做题]第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分。请在 答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22.（本题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 C 的顶点在原点，经过点 A（2，2），其焦点 F 在 x 轴上。

（1）求抛物线 C 的标准方程； （2）求过点 F，且与直线 OA 垂直的直线的方程； （3）设过点 ( ,0)( 0) M m m ?? 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点，ME=2DM，记 D 和 E 两点间的距离为 ( ) f m ，求 ( ) f m 关于 m 的表达式。

[解析] [ 必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。满分 10 分。

23. （本题满分 10 分） 对于正整数 n 2，用nT 表示关于 x 的一元二次方程22 0 x ax b ?? ?? ?? 有实数根的有序数组( , ) a b 的组数，其中 ?? ?? , 1,2, , a b n ?? ?? （ a 和 b 可以相等）；对于随机选取的 ?? ?? , 1,2, , a b n ?? ??（ a 和 b 可以相等），记nP 为关于 x 的一元二次方程22 0 x ax b ?? ?? ?? 有实数根的概率。

（1）求2nT 和2nP ； （2）求证：对任意正整数 n 2，有11nPn?? ?? . [解析] [ 必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分 10 分。

2009年江苏高考数学卷

2009年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14 小题，每小题5 分，满分70 考点：复数代数形式的乘除运算。专题：计算题。

分析：把复数z ）i，化简，按多项式乘法法则，展开，化简为a+bi（a，bR）的形式，即可得到实部． 解答：解：z ）i=（2+20i）i=202i，复数（z 的实部为20．故答案为：20 点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题． 2、（2009??江苏）已知向量 和向量 的夹角为 30 和向量的数量积 考点：平面向量数量积的运算。分析：向量数量积公式的应用，条件中给出两个向量的模和向量的夹角，代入公式进行计算 即可． 解答：解：由题意知： 故答案为：3．点评：本题是向量数量积的运算，条件中给出两个向量的模和两向量的夹角，代入数量积的 公式运算即可，两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的 乘积． 3、（2009??江苏）函数f（x）=x 33x+6的单调减区间为 （1，11） 考点：利用导数研究函数的单调性。专题：计算题。

分析：要求函数的单调减区间可先求出 f′（x），并令其小于零得到关于x 的不等式求出解 集即可． 解答：解：f′（x）=3x 10x11）=3（x+1）（x11）＜0， 解得1＜x＜11，故减区间为（1，11）． 故答案为：（1，11） 点评：此题考查学生利用导数研究函数的单调性的能力． 4、（2009??江苏）函数 y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ 为常数，A＞0，ω＞0）在闭区间[π，0] 的图象如图所示，则ω= 考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式。专题：计算题。

分析：根据函数图象求出函数的周期T，然后求出ω． 解(本文来自：Www.dXF5.com 东星资源 网:2009年江苏高考数学卷)答：解：由图中可以看出： 故答案为：3点评：本题考查由 y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查逻辑思维能力，是基础 5、（2009??江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9， 若从中一次随机抽取2 根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 0.2 考点：古典概型及其概率计算公式。专题：计算题。

分析：由题目中共有5 根竹竿，我们先计算从中一次随机抽取2 根竹竿的基本事件总数，及 满足条件的基本事件个数，然后代入古典概型计算公式，即可求出满足条件的概率． 解答：解：从5 根竹竿中一次随机抽取2 根的可能的事件总数为10， 它们的长度恰好相差0.3m 的事件数有 2.5 和2.8，2.6 和2.9，共2 所求概率为0.2．故答案为：0.2． 点评：本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，计算出满足条件的基本事件总数及 其满足条件的基本事件个数是解答此类题型的关键． 6、（2009??江苏）某校甲、乙两个班级各有5 名编号为1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习， 每人投10 次，投中的次数如表： 学生 考点：极差、方差与标准差。专题：计算题。

分析：根据表中所给的两组数据，先写出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，把方 差进行比较，方差小的一个是甲班，得到结果． 解答：解：由题意知甲班的投中次数是6，7，7，8，7， 这组数据的平均数是7， 甲班投中次数的方差是 乙班的投中次数是6，7，6，7，9，这组数据的平均数是7， 这组数据的方差是 两组数据的方差中较小的一个为0.4， 故答案为：0.4 点评：本题考查方差，比较两组数据的方差的大小，是一个基础题，这种问题一旦出现是一 个必得分题目，注意运算过程中不要出错． 7、（2009??江苏）如图是一个算法的流程图，最后输出的W= 22 考点：循环结构。专题：阅读型。

分析：根据流程图可知，计算出S，判定是否满足S10，不满足则循环，直到满足就跳出循 环，最后求出W值即可． 解答：解：由流程图知，第一次循环：T=1，S=1；不满足S10 第二次循环：T=3，S=3 1=8；不满足S10第三次循环：T=5，S=5 8=17，满足S10此时跳出循环，W=5+17=22． 故答案为22 点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环 结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题． 8、（2009??江苏）为了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级学生进行跳绳测试，将所 得数据整理后，画出如图所示的频数分布直方图，已知图中从左到右前三个小组的频率分别 0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为5．则第四小组的频率是 0.2 ，参加这次测试的学 考点：频率分布直方图。专题：计算题；图表型。

分析：每个小组的频率等于1 减去其余小组的频率计算第四小组的频率，再由数据总和=频 数频率计算参加这次测试的学生的总数． 解答：解：已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4， 则第四小组的频率是1（0.1+0.3+0.4）=0.2； 第一组的频数为5，频率为0.1，故参加这次测试的学生是 =50． 故答案为：0.2；50． 点评：本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频 率之和等于1． 9、（2009??江苏）在平面直角坐标系xOy 10x+3上，且在第二象限 内，已知曲线C 处的切线斜率为2，则点P的坐标为 （2，15） 考点：导数的几何意义。专题：计算题。

分析：先设切点P（x 处的导数，从而求出切线的斜率，建立方程，解之即可． 解答：解：设P（x 点的坐标为（2，15）．故答案为：（2，15） 点评：本题考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标，本 题属于基础题． 10、（2009??江苏）已知 ，函数 f（x）=log 考点：对数函数的单调性与特殊点。专题：计算题。

分析：因为已知条件中对数函数的底数 0＜a＜1，故函数f（x）=log （0，+）上为减函数，根据函数的单调性，结合足f（m）＞f（n），不难判断出 大小关系．解答：解： 故答案为：m＜n点评：函数y=a x，在底数a＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为增 函数，当底数0＜a＜1 时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，而f（x）与f 时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，当底数0＜a＜1时，指数函数和对数 函数在其定义域上均为增函数． 11、（2009??江苏）已知集合A={x|log 则实数a的取值范围是（c 考点：集合的包含关系判断及应用。专题：计算题。

分析：先化简集合A，然后根据子集的定义求出集合B 的取值范围，总而求出所求． 解答：解：A={x|log 即实数a的取值范围是（4，+）， 故答案为：4 点评：本题属于以对数不等式为依托，考查集合子集的基础题，也是高考常会考的题型． 12、（2009??江苏）设α 内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α 平行于β； 相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α 垂直；（4）直线l 内的两条直线垂直．上面命题，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）考点：空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用。

分析：从线面平行、垂直的判定定理，判断选项即可． 解答：解：由面面平行的判定定理可知，（1）正确．由线面平行的判定定理可知，（2）正确． 对于（3）来说，α 内直线只垂直于α 的交线l，得不到其是β的垂线，故也得不出αβ． 对于（4）来说，l 只有和α 内的两条相交直线垂直，才能得到lα． 也就是说当l 垂直于α 内的两条平行直线的话，l 不一定垂直于α． 点评：本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，理解定理是判断的前提，是中档题． 13 、（2009?? 江苏）如图，在平面直角坐标系 xoy 为椭圆的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 相交于点T，线段OT 与椭圆的交点M恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 考点：椭圆的简单性质。专题：计算题。

分析：对椭圆进行压缩变换， 轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．解答：解：对椭圆进行压缩变换， ，y′=x′+1，由割线定理：TB 横坐标即原椭圆的离心率e= 点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．14、（2009??江苏）设{a 考点：等比数列的性质；数列的应用。专题：计算题。

分析：根据B +1可知 1，依据{Bn}有连续四项在{53，23，19，37，82}中，则可推知则{A }有连续四项在{54，24，18，36，81}中，按绝对值的顺序排列上述数值，相邻相邻两项相除发现24，36，54，81 }中连续的四项，求得q，进而求得6q．解答：解：{Bn}有连续四项在{53，23，19，37，82}中 }是等比数列，等比数列中有负数项则q＜0，且负数项为相隔两项等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值 18，24，36，54，81 相邻两项相除 6q=9故答案为：9 点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题． 二、解答题（共6 小题，满分90 的最大值；（3）若tanαtanβ=16，求证： 考点：平面向量数量积坐标表示的应用；平行向量与共线向量；两向量的和或差的模的最值。专题：综合题。

分析：（1）先根据向量的线性运算求出 ，再由 的数量积等于0可求出α+β 的正余弦之间的关系，最后可求正切值． （2）先根据线性运算求出 ，然后根据向量的求模运算得到| |的关系，最后 根据正弦函数的性质可确定答案． （3）将tanαtanβ=16 化成弦的关系整理即可得到（4cosα）??（4cosβ）=sinαsinβ，正是 的充要条件，从而得证．解答：解：（1） =（sinβ2cosβ，4cosβ+8sinβ）， 垂直，4cosα（sinβ2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0， 即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβsinαsinβ）， sin（α+β）=2cos（α+β），tan（α+β）=2． （3）tanαtanβ=16，，即sinαsinβ=16cosαcosβ， （4cosα）??（4cosβ）=sinαsinβ， =（4cosα，sinα）与=（sinβ，4cosβ）共线， 点评：本题主要考查向量的线性运算、求模运算、向量垂直和数量积之间的关系．向量和三角函数的综合题是高考的热点，要强化复习． 16、（2009??江苏）如图，在直三棱柱ABCA 求证：（1）EF平面ABC；（2）平面A 考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定。专题：证明题。

分析：（1）要证明EF平面ABC，证明EFBC 即可； （2）证明平面A 即可．解答：证明：（1）因为E，F 分别是A 的中点，所以EFBC，又EF面ABC，BC面ABC，所以EF平面ABC； （2）因为直三棱柱ABCA 点评：本题考查直线与平面平行和垂直的判断，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题． 17、（2009??江苏）设a （2）试求所有的正整数m，使得为数列a 考点：数列的求和；等差数列的性质。专题：计算题。

分析：（1）先把已知条件用 项和公式可求．（2）先把已知化简可得 ，然后结合数列 的通项公式可寻求m 满足的条件． 必需为整数，且m为正整数 点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及前n项和的公式，解题的重点是要熟练掌握基 本公式，并能运用公式，还要具备一定的运算能力． 18、（2009??江苏）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C ，求直线l的方程； （II）设P（a，b）为平面上的点，满足：存在过点P 的两条互相垂的直线l 的斜率为1，它们分别与圆C 弦长相等，试求满足条件的a，b的关系式． 考点：直线的一般式方程；直线和圆的方程的应用。

专题：计算题。

分析：（I ）因为直线l 过点A（4，0），故可以设出直线l 的点斜式方程，又由直线被圆 ，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k 的方程，解方程求出k 值，代入即得直线l 方程．（II）与（I）相同，我们可以设出过P 点的直线l 的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l 截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k 的方程，解方程求出k 值，代入即得直线l 的方程．解答：解：（）若直线l 的的斜率不存在，则直线x=4 不相交，故直线l 的斜率存在，不妨设为k，则直线l 故所求直线l方程为y=0 点评：在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出， 即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y 后得到一个关于x 的一元二次方程再利用弦长公 式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题， 一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法． 19、（2009??江苏）调查某农村30 户居民月人均收入情况，制成如下的频数分布直方图，收 入在1200～1240 元的频数是 14 考点：频率分布直方图。专题：图表型。

分析：从图中得出1200 以下和1400 以上的频数，则收入在1200～1240 元的频数=301200 以下的频数1400 以上的频数． 解答：解：根据题意可得： 共30 户接受调查， 其中1200 以下的有3+7=10 户，1400 以上的有4+1+1=6 那么收入在1200～1240元的频数是30610=14． 故答案为：14． 点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信 息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 20、（2009??江苏）设a 为实数，函数f（x）=2x 的取值范围；（2）求f（x）的最小值； （3）设函数h（x）=f（x），x（a，+），求不等式h（x）1 考点：二次函数的性质；一元二次不等式的解法。专题：综合题；分类讨论。

再去绝对值求a的取值范围， 10，因为不等式的解集由对应方程的根决定，所以再对其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可． 综上f（x）min 下分类讨论a的范围，比较不等式解集端点的大小，以确定此不等式组的解集，得： 点评：本题考查了分段函数的最值问题．分段函数的最值的求法是先对每一段分别求最值，最后综合最大的为整个函数的最大值，最小的为整个函数的最小值．