江苏高考数学解析几何

酾备考指南２０１４年２月从近五年江苏卷看解析几何的复习江苏省靖江市第一高级中学展国培解析几何是高中数学的主干知识，也是高考必考内容，约占总分值（１６０分）的１６％左右．但在每年的高考中学生的答题情况却不理想．怎样提高解析几何的教学效果，使之成为高考中的得分点？笔者结合教学实践和近五年江苏卷的解析几何试题谈一些个人看法，供参考．一、课程标准、考试说明及考点归类时间（年）知识点考试说明课程标准小题：了解水平：空问直直线斜率空间直角坐标角坐标系、抛物线、求直线方程系、双曲线、抛双曲线的定义、几２００８椭圆离心率物线的标准方何图形和标准方大题：求三点的程与几何性质．程、圆锥曲线的简圆，圆过定点单应用．小题：直线的倾斜角理解水平：直线的椭圆离心率与斜率、两直倾斜角和斜率的２００９大题：线的位置关概念，掌握直线斜直线与圆位置率的计算公式；两关系距离、点到直直线位置关系；手０小题：线的距离、直圆的位置关系；能直线与圆位置圆的位置关关系系、椭圆的标程解决一些简单２０１０大题：准方程与几何的问题；掌握椭圆求轨迹、两直线性质．的定义、标准方程交点及椭圆与直及简单几何陛质．线的交点直线方程、圆迁移水平：探索并小题：的标准方程与掌握直线方程的两点之间距离一般方程．几种形式（点斜式、直线与圆的位两点式及一般式），置关系说明：２０１１大题：两直线的对知识的考查次函数的关系；探位置关系、点到要求依次分了索并掌握两点问直线的距离、直解、理解、掌握的距离公式、点到线与椭圆的交点三个层次（分直线的距离公式；小题：探索并掌握圆的双曲线的离心方程．两圆的位置关２０１２大题：椭圆方程、直线与椭圆相交、两点之间距离二、教学建议１．必须重视概念复习高三数学的概念复习方式主要有两种：一是采用“导学案”的形式，教师提前一天将概念罗列好并以讲义的形黔鹚ｊ！。中。？善幺－？高中版式印发下去，学生对照书本完成（特别是文科生）；二是有些辅导资料上有现成的知识点，师生课堂上一问一答，共同完成．笔者认为这两种方式都有问题简单的罗列对优等生来讲无新鲜感，没有刺激，因此是无效的；对学困生来讲，高一、高二时就稀里糊涂，这样的复习方式对他毫无帮助，仍是浆糊一瓶“一问一答”的形式，学生的参与度不够，没有被叫答的学生无所事事、心不在焉．笔者近几年遵循 “问题驱动”的原则，将概念内容以“问题链”的形式让学生思考，从而促使学生主动建构知识网络，收到了一定效果．例Ｉ直线的斜率与方程．问题：已知直线Ｚ过点Ｐ（１，２），且与两坐标轴的正半轴分别交于Ａ，日两点．请你添加一个条件，使这条直线确定．（至少三个不同条件）设计意图：直线是最简单、最基本的图形，也是第一次比较全面地运用解析几何的基本思想和方法研究的基本图形．直线的倾斜角和斜率又是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示．直线的斜率是对直线的位置进行定量研究的基础，也是研究直线与其他曲线位置关系的关键．因此，在高三复习时要帮助学生很好地理解这两个概念．该问题可以从直线的几何特征与代数特征出发，添加等量关系列方程，或不等关系求最值．比如，等量关系可以是给出直线的斜率、另外一点的坐标、线段ＡＢ的长度、点到直线的距离、ＡＯＢ的面积、周长等；不等关系可以是线段Ａ曰最短、ＡＡＯＢ的面积、周长的最值、蔚大等．既涉及直线的斜率、两点间的距离、点到直线的距离、直线方程的几种形式、基本不等式等基础知识，又涉及数与形、等与不等的转化，函数与方程思想等基本技能的应用，该问题具有一定的开放性和探究性，同时可以培养学生提出问题的能力．在此基础上，教师留十分钟的时间让学生思考如下问题：问题１：平面内，过一点可以作几条直线？问题２：添加什么条件可以使直线唯一确定？问题３：用什么来描述直线的方向？怎样描述？万方数据备考指南问题４：你能叙述直线倾斜角的概念吗？与ｘ轴平行的直线倾斜角是多少？与确由垂直的直线倾斜角呢？直线的倾斜角有范围吗？问题５：直线的斜率与倾斜角有什么关系？问题６：已知直线ｆ过点Ａ（戈Ｙ。），Ｂ（ｘ：，ｙ２）（ｚ．ｚ：），则它的斜率是———，问题７：直线的倾斜角越大，斜率越大吗？你能说出倾斜角与斜率之间的变化规律吗？问题８：已知直线ｆ过点Ｐ（ｘ。，ｙｏ），且斜率为ｋ，你能写出直线Ｚ的方程吗？若斜率不存在呢？注意：直线的点斜式方程的适用条件．问题９：一次ｉ张ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图像是什么？其中字母ｋ和６的几何意义是什么？它的单调性与字母ｋ有怎样的联系？问题１０：我们知道两点确定一条直线．若直线Ｚ过点Ａ（并Ｙ。），Ｂ（ｘ：，ｙ２）（ｘ。ｘ：），则它的方程是什么？若戈。：呢？若ｙ。：，，２呢？方程ｙ－Ｙ：．ｙ２－ｙｌ和方程上二堕＝！堕表示ｘｒｘ、同一图形吗？注意：直线的两点式方程的适用条件．问题１１：我们把三＋＿Ｙ＝ｌ称为直线的截距式方程．它在ｎｂ两轴上的坐标分别是什么？你认为它的适用条件是什么？问题１２：前面四种特殊形式的直线方程都是关于戈，Ｙ的二元一次方程．那么，关于ｘ，拍勺二元一次方程Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（Ａ，Ｂ不全为０）都表示直线吗？注意：求直线方程时，结果要写成一般式．设计意图：直线方程是我省数学科《考试说明》中八个Ｃ级考点之一，是高考必考内容．直线的斜率又是核心概念之一．对于核心概念的复习教师必须舍得花时间．学生的预习往往是将课本上的相关概念抄到学案上，毫无效果．以问题链的形式促使学生去思考，确保每一位学生都能参与，都能得到不同程度的发展．问题链设置的落脚点都是学生易错处．建议：学生的很多错误主要是概念不清导致的．虽然新课程一再强调要让学生经历知识的产生、发展过程，然而在高一、高二新授课时“一个定义、三项注意、大量例习题训练”的概念教学模式仍充斥我们的课堂如果我们在高三复习时不注意到这一点，那么怎能让学生将“模糊的清晰起来、杂乱的连结起来”呢？少讲一、两道题，多留点时间给学生思考、感悟、体验、运用．“把时间留给学生”不只是我们在写论文时的口号，而是我们必须践行的教学理念２．抓好三基训练高考中的解析几何小题都是围绕“基础知识、基本方试究法、基本技能”设计的，一般是基础题和中档题，应当是学生的得分点．近五年江苏卷关于直线的考查主要体现在线性规划、直线与其他曲线的位置关系等方面．如：１例２（２００８年）设直线是ｙ＝｛－ｘ＋ｂ曲线ｙ＝ｌｎｘ（ｘ＞０）的Ｚ一条切线，则实数ｂ的值是——－．例３（２０１１年）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，过坐标原点的一条直线与函数厂【戈）＝三的图象交于Ｐ、Ｑ两点，则线羔段加长的最小值是——一例４（２０１１年）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，已知点ＰＭＮ的中点的纵坐标为ｔ，则￡的最大值是将直线与其他函数曲线结合在一起，考查学生对导数、求函数最值等知识的掌握情况是江苏卷的一个特点，也体现知识交汇处命题的原则．从２０１０年起解析几何把直线与圆位置关系的考查从大题迁至小题中．如：例５（２０１０年第９题）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，已知圆戈２＋仁：４上有且仅有四个点到直线１２ｘ一５ｙ＋ｃ＝０的距离为１，则实数Ｃ的取值范围是严ｍ２，ｚ，ＹＲ｝，日＝｛（戈，ｙ）１２ｍｘ呵２ｍ＋１，ｚ，ＹＲ），若ＡｆｑＢ＝，则实数ｍ的取值范围是ｇｌＪ７（２０１２年第１２题）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，圆ｃ的方程为戈２＋广一８ｘ＋１５＝０，若直线ｙ＝ｋｘ一２上至少存在一点，使得以该点为圆心，１为半径的圆与圆Ｃ有公共点，则七的最大值为建议：这些题要求学生能在动与静的两元素（点和线）之间进行转化，考查学生对直线与圆位置关系的掌握，思维层次高，解题策略需要不断的优化，具有较高的区分度．因此在高三一轮复习时要做到“细、实”，对知识点的复习要细化，训练要实在．如圆的方程，直线与圆的各种位置关系，特别是直线与圆相交时的弦长问题，切线方程、切线长、切点弦问题、过圆外一点的两切线的夹角，与向量结合的问题等都要训练到位．立足于一节课解决一类问题，勿贪多．由于江苏对直线与圆锥曲线的位置有诸多限制，因此小题考查主要围绕圆锥曲线的定义、基本量之间的关系展开．考查定义的有：例８（２０１０年第６题）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，双曲高中版中。？毒ｉ：－？。：德蠡一龋万方数据圈备考指南２０１４年２月线等一薏＝ｌ上一点Ｍ的横坐标是３，则Ｍ到双曲线右焦点的距离是例９（２０１２年第８题）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，若双曲线兰一—鲁：１的离心率为、／’丁，则ｍ的值为——．ｍ，ｎ‘＋４考查基本量（主要涉及离心率）的有：例１０（２００８年第１２题）如图ｌ在平面直角坐标系戈Ｄｙ／垂直，则椭圆的离心率为一ＪＬ，例１１（２００９年第１３题）如图２，在平面直角坐标系ｚＤｙ中，Ａ。，Ａ：，Ｂ。，Ｂ：为椭圆冬＋善＝１（ｎ＞６＞ｏ）的四个顶点，助其右焦点，直线Ａ．Ｂ：与直线Ｂ．嘲交于点ｒ，线段ＯＴ与椭圆的交点肝恰为线段ＯＴ的中点，则该椭圆的离心率为建议：在高三一轮复习时，处理好圆锥曲线的定义、基本量ａ，ｂ，Ｃ，ｅ与准线之间的关系、过焦点的弦长问题、焦点三角形，特别要重视关于离心率的范围问题（江苏还没考），如何建立不等关系是学生的难点，也是易错点．要让学生自己思考、多积累解题经验．教材中关于圆锥曲线中的一些常见关系式或结论要求学生必须掌握，有助于缩短思维长度、提高解题速度，节约解题时间．由于初中对平面几何的要求降低了，不少学生缺乏从几何特征分析问题的能力，在高三复习时要引起注意．（ａ＞ｂ＞Ｏ）上的一点Ａ为圆心的圆与ｘ轴相切于椭圆的一个焦点，与Ｙ轴相交于Ｂ、ｃ两点，若ＡＡＢＣ是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是这是我校２０１２届高三考前模拟题，学生得分率几乎是０．本题综合性较强，涉及椭圆的基本量之间的关系、点到直线的距离、直线与圆的位置关系等知识点，考查了基本运算能力和推理论证能力．学生的思维障碍主要在：７高中版（１）“ＡＡＢＣ是锐角三角形”这一条件不会用，不少学生用余弦定理或向量的数量积，增大了计算量；（２）忽略“圆与ｙ轴相交于Ｂ、Ｃ两点”这个条件，从而导致错解；（３）少数文科生不会求。ｈａ的坐标．高三复习中一要关注基础，二要研究一些经典的解析几何题面（如阿波罗，双定点等）．三要训练与线性规划的综合题，锻炼好学生处理多元变量的能力和意志．３．将计算能力的培养落到实处解析几何历来让学生“爱恨交织”．说“爱”主要是思维没有函数和数列复杂，说“恨”主要是计算量太大．如何切实培养学生的计算能力是我们一线教师不能回避的问题．当学生遭遇到不可回避的繁杂运算时，教师千万不要为了多讲一道题就包办代替，课堂上必须留时间给学生算，而且教育学生一定要有将计算进行到底的决心和勇气．同时要培养学生的求简意识，通过合理设元、整体代换、直觉猜想、合情推理等手段，分析图形的几何特征，从而达到简化运算的目的．例１３（２０１１年江苏卷第１８题）如图３，在平面直角坐标系ｚＤｙ中，Ｍ，分别是椭圆１４＋等＝１的顶点，过坐标原点的直线交椭圆ＪＩｋｍｒ于Ｐ，Ａ两点，其中点尸在第一象限．过尸作石轴的垂线，垂足为Ｃ．连结ＡＣ并延长交椭圆于点Ｂ．设直线ＰＡ的斜率为七．（１）若直线ＰＡ平分线段ＭＮ，求ｋ的值；（２）当ｋ＝２时，求点Ｐ至Ｕ直线Ａ口的距离；（３）对任意的后＞０，求证：ＰＡ上ＰＢ．从学生的解答情况看，本题１６分，满分率不到１０％，全省均分在７—８分之间，但前面两小题有２０％的学生能得全分．令人诧异的是第（３）问没有预期的好，错误的原因是学生的计算能力不强，在计算的过程中缺乏简化(本文来自：WWw.DXF5.com 东星资源网:江苏高考数学解析几何)意识，导致越算越繁．… 直线Ａｃ的方程为：），＝告（ｚ—ｚｔ），将直线ＡＧ的方程代入椭圆兰４＋￡２＝１并整理得：（２柑舻么‰舶１２＿８＝ｏ’所以粕慨庐等，将之代入直线Ａｃ的方程得舻丢ｉ铂，所以万方数据２０１４年２月备考指南一叫。概一斋－后萨罴Ｉ’－ＸＢ由Ａ、Ｂ、ｃ二－－烈六瓴１哥ｉ＿１＝＿ＩＩｊ｝Ａｃ：ｂＢ，即也＝矗，所以戈Ｉ＋Ｘ２Ｚｋｅａ”ｋｅｓ＝ｋ．—ｙｌ－－—ｙ２：型出立．止丝：２—ｙ１２－－一ｙ２２；（｝）ｘ１－－茗２ｘＩ＋Ｘ２ｘＩ－－Ｘ２ｘｆ—ｘ！又点Ｐ，Ｂ在椭圆１４＋等＝ｌ上，将其分别代人椭圆得：ｘｔ‘＋ｙｄ：ｌ：４２竿＋譬：１．４２。两式相减整理得：岂２弓２：一ｉ１，将之代入（木）得南用．教师可以引导学生作如下反思：两种解法的特点分别是什么？解法１通过具体的解方程求出点日的坐标，是常规思路，但计算量大，这也是许多考生没能得分的主要原因．解法２采用“设而不求”的技巧，巧妙地运用“三点共线”的性质．该问题的数学本质是“已知四个变量ｘ．，Ｙ。，ｚ：，弛分别满足式和式，求笔的值．”这种“用整体的、戈Ｉ－－－Ｘ２．－居高临下的视角，宏观地看待问题，把握方程思想的能力”正是学生在高三复习时要达成的学习目标．两种解法都运用了方程思想，但反映出不同的思维层次．例１４（２０１２年第１９题）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，椭圆三＋丢：１（口＞６＞ｏ）的左、右焦点分别为Ｅ（一ｃ，０），Ｆ２（。，ｏ）．已知点（１，ｅ）和（。，！）都在椭圆上，其中ｅ为椭圆的离心率．（１）求椭圆的方程．（２）谢，Ｂ是椭圆上位于髫轴上方的两点，且直线Ａ一与直线ＢＲ平行，Ａ疋与ＢＧ交与点Ｐ．（ｉ）若ＡＲ一日辟！兰，求直缴Ｅ的斜率；（ｉｉ）求证：ＰＦＩ＋ＰＦｚ是定值．这里仅对第（２）问的第（ｉ）题给出一种解法．试究由椭圆的对称性可知，ＢＦ２＝ＣＦ，．设直线Ａ一的倾斜角为０，则直线ＡＥ的方程可表示为｛筘－ｌ＋ｔｃ０８秽’（￡为参数），将直线方程代入椭圆得：ｔｙ＝ｔｓｉｎＯ（ｃｏｓ＝０＋２ｓｉｎ２０）ｔ２－２ｃｏｓ０所以僻陟Ｉｔ，＋ｔ２Ｊ＝蒜ＣＯＳＳＩ＝半，Ｚ解得ｃｏｓ钿＝，因此直线Ａ一的斜率是』．显然借助直线的参数方程可以简化运算．为什么考场上理科学生想不到呢？建议：“参数方程与极坐标”是选修内容，我省放在附加模块考查．笔者认为，在高三复习时不能将它孤立起来，而应有机地嵌入解析几何的必修模块．解析几何的本质是用代数方法研究几何问题，其核心思想是坐标法思想．因此教学中要始终关注学生对坐标法思想的体验、感受与运用．由于圆中问题的几何味要重于解析味，江苏省从２０１０年起将考查“直线与圆”变为考查“直线与椭圆”，内容无外乎求轨迹方程与标准方程、直线与椭圆关系（解二次方程组），且涉及探究内容（定点，定值，共线等）．虽然刻意回避韦达定理、弦长公式等知识点，但在试卷上我们或隐或现地能看到它们的影子，这也是引起争议之处．是否会融合圆与椭圆甚至抛物线，以此为载体出现创新型解几题，可以存疑，不排除明年考圆的可能性．但是理科类不能忽视附加模块中的抛物线是Ｂ级要求．４．回归课本是正道目前，高考复习资料泛滥，良莠不齐．笔者认为最好的复习资料就是教材．课本是教师的上课之本，是学生的学习之本，更是高考命题之本．课本是经过资深专家们千锤百炼而成，经过了数年来的教学实践的证明．因此在高三复习时千万不要舍本求末．回归课本不是简单阅读课本或将课本上的例习题重做一遍，而是要认真研读课本，读出思想方法、读出拓展创新、读出对数学的欣赏、读出知识网络交接处的闪光点等，充分挖掘课本中例习题的潜在功能，比如：习题的一题多解与多提一解；类比探究与逆向探究；强化、弱化条件；一般化的结论等．每年大量出现的源于课本的高考试题还不足以让我们清醒吗？参考文献：１．何晓敏．顾丹丹．２０１１年高考数学江苏卷解析几何试题剖析〔Ｊ〕．数学通报，２０１１（１Ｉ）．高中版十。７毒ｉ：－７霾嗣＿幽驴一撇一碱一撕万方数据从近五年江苏卷看解析几何的复习作者：作者单位：江苏省靖江市第一高级中学刊名：中学数学英文刊名： Middle School Mathematics 2014(3)参考文献(1条) 2011年高考数学江苏卷解析几何试题剖析2011(11) 引用本文格式：展国培从近五年江苏卷看解析几何的复习[期刊论文]-中学数学 2014(3)

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李程远;王标;;[A];中国电子学会第十五届信息论学术年会暨第一届全国网络编码学术年会论文集（上册）[C];2008年