篇一：“ 数列的基本问题 ” 的教与学的策略
class="txt">发布者：杨小红 发布时间： 2012-8-17 10:54:23（一） 学生在学习数列概念时的障碍及对策
数列概念是学习数列的起始课，在学习中学生会遇到如下障碍：
1．对数列定义中的关键词“按一定次序”的理解有些模糊．
2．对数列与函数的关系认识不清．
3．对数列的表示，特别是通项公式
一个觉得不可思议．
4．由数列的前几项写不出数列的通项公式．
教学策略： 感到困惑．对数列的通项公式可以不只
1．为激发学生学习数列的兴趣，体会数列知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中抽象出数列要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子等。
2．数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系．在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列．函数表示法有列表法、图象法、解析式法，类似地，数列就有列举法、图示法、通项公式法。
数列的概念
定义：像这样按照一定次序排列起来的一列数称为数列 .
从三个层次来理解“次序”
（ 1 ）语言描述
把位置编上号码，这些号码是所有的非零自然数按从小到大顺序排列，每一个有序号的位置都有一个确定的值，由所有这样的数值组成一个数列；
数列的一般形式可以写成 a1 ， a2 ， a3 ， ? ， an ， ? ，
这种有序性是对数列本质的刻画
（ 2 ）映射角度
“次序”用数学语言来表示，就是一种特殊的对应，即映射：
（ 3 ）函数角度
数列可以看成以正整数集 N * （或它的有限子集 {1 ， 2 ， ? ， n} ）为定义域的函数 an= f ( n ) ，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．
数列——初等函数
对于任意的函数 y = f ( x ) （ x ≥0 ） ，我们可以得到一个数列
3．由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法，对程度差的学生，可多举几个例子，让学生观察归纳通项公式与各项的结构关系，尽量为写通项公式提供帮助．
归纳数列的通项
教学的目的：归纳法的运用，数列概念的理解。
教学中，分几个层次：
可以先给一些特殊的数列：
再给和特殊数列有关的数列：
4．由数列的前几项写出数列的一个通项公式是学生学习中的一个难点，要帮助学生分析各项中的结构特征，让学生依据前几项的规律，猜想该数列的下一项或下几项的值，以便寻求项与项数的关系。最后老师可以和学生共同归纳一些规律性的结论：
（ 1 ）并非所有数列都能写出它的通项公式，如： 0 ， -1 ， 3 ， 7 ， 11 ?； （ 2 ）有些数列的通项公式在形式上不一定是唯一的，如：数列 1 ， -1 ， 1 ， -1 ， 1 ， -1 ，?的通项可写成
（ 3 ）当一个数列出现“ + ”、“ - ”相间时，应先把符号分离出来，用
等来控制，然后再寻找数量间关系；
（ 4 ）有些数列的通项公式可以用分段的形式来表示；
（ 5 ） 熟悉常见数列的通项：
例如，全体正偶数按从小到大的顺序构成数列
2 ， 4 ， 6 ， ? ， 2 n ， ? ，
这个数列还可以用列表和图象分别表示为
总之：数列概念的要求比过去高，用图形的变化描述数列，把图形的几何结构量化。
（二）用函数的观点进行等差数列的教学
关于等差数列定义的教学
给出一些等差数列的例子，让学生从项与项关系的角度去观察、归纳、概括得等差数列的定义 .
在这一段的教学中，一定要重视归纳的过程，这是学生能理解等差数列的所必须的，不要一笔带过！
研究数列的一个很重要的方法是：从整体上看数列，研究数列中的项与项之间的关系 引入：（ 2004 北京卷）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和 . 已知数列
是等和数列，且a1=2，公和为 5 ，那么 a18的值为
从定义的数学表达式：
得：
表明从第二项起，等差数列的任意项都可以表示为它的前一项与公
差的和 , 因此，等差数列的任意项也就应该可以用首项和公差来表示
.
2．等差数列通项与一次函数
得到结论：
是等差数列
这样，由于公差不为零的等差数列的每一项an是关于项数 n 的一次函数式 于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列
篇二：数列学习方法
“矿泉水”数列是高中数学十分重要的内容，数列和其它知识（如函数、不等式、解析几何）的联
系非常密切。就数列本身而言，无论从解题方法还是题型的规律，应当说都是有所遵循的，
下面我们做一些简单的总结。
一、基本知识
1．定义：
(1) .数列：按一定次序排序的一列数
(2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一
个常数，则这个数列叫做等差数列
(3) 等比数列：(本文来自：WwW.dXf5.coM 东星 资源网:高中数列学习方法)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一
个常数，则这个数列叫做等比数列
2． 通项公式与前n项和公式
（1） {an}为等差数列： an?a1?(n?1)d sn?na1?( 2) n(a1?an)n(n?1)d? 22 {bn}为等比数列： bn?b1qn?1(q?1) a1(1?qn)a1?anq（q?1) sn??1?q1?q
3． 常用性质
1．{an}为等差数列，则有
an?（1） 从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，
（2） an?am?(n?m)dan?1?an?1n>1） 2(m,n?n*)
（3） 若m+n = p+q , 则：am?an?ap?aq，特殊的：若m+n=2r ,则有： am?an?2ar
（4） 若am?n,an?m,则有：am?n?0
（5） 若sm?n,sn?m,则有：sm?n??(m?n)
（6） {an}为等差数列?an?pn?q(p,q为常 数)?sn?pn2?qn(p,q?r)
（7）sm,s2m?sm,s3m?s2m┅┅仍成等差数列
（8）{an},{bn}为等差数列，则{pan?qbn}为等差数列（p，q为常数）
（9）若项数为偶数2n，s偶－s奇＝nd，s奇s偶＝an an?1
s奇
s偶＝n n?1若项数为偶数2n－1，s奇－s偶?an，
（10）??an?sn?sn?1(n?2 ?)a1?s1
2．{an}为等比数列，则有
（1） 只有同号的两数才存在等比中项
（2） an?amqn?m(m,n?n*)
（3） 若m+n = p+q , 则：am?an?ap?aq，特殊的：若m+n=2r ,则有： am?an?ar
（4） {an},{bn}为等比数列，则{an?bn}，{2an{can}为等比数列（c?0） } ，bn
（5） 等比数列中连续n项之积构成的新数列仍是等比数列，当q?1时，连续 项之和仍为等比数列
（6） an?cqn(c?0,q?0)sn?kqn?k(q?0,q?1)
二、基本方法
1．基本量法：这是数列解题中最常用也是最有效的方法，所谓“基本量法”，就
是把条件中的所有量都化成a1,d（等差数列）或a1,q的形式，最终转化为解方程组的
问题。
2．常用方法：这里是指特定题型的特定方法，如：裂项法、错项相减法、倒序相加法等，
这些方法只有知道它们适用的题型就比较容易掌握，如有困难，可能难在它们的变形上，但
变形训练是一个系统过程，这里我们无法具体说明，好在本站的“本站推荐”栏目中的“试
学内容2”恰好是数列求和问题，你可以参考。
三、常见题型
1． 求通项
如：“{an}满足a1?1,an?3an?1?2(n?2)，求通项公式 这是递推数列问题，可以计算出a1,a2,a3，猜出an，然后再证明，也可以转化为
an?1?3(an?1?1)，利用｛an?1｝是公比为3的等比数列，先求出an?1，然后再求an．
2． 求和
如：“(1?2),(1?2?2),(1?2???22n?1),?,其前n项和是________” 先把每一项的和计算
出来，概率自然就找到了。
3. 求最值
如：“{an}为等差数列，a1?40,d??6,求sn，并求n为何值时，sn最大 这类问题的解法
比较多，但下面的方法最容易操作也最具有普遍性： ?an?an?1设sn最大，则?，求出相应的n问题也就解决了。 a?an?1?n
4．an与sn关系
如：“设数列{an}的前n项和为sna1?1,sn?1?4an?2(n?n*), 设bn?an?1?2an，求证：{bn}
为等比数列
公式an?sn?sn?1(n?2)是解题的工具。
5．与其它综合
（1）：与函数综合（如三角函数，指对数函数等） 如：“已知函数f(x)?1x?42(x??2)，设
a1?1,an?1??1
f?1(an)(n?n)，求an
数列的知识要求倒不高，关键是通过函数知识，用相关方法最终转化为数列问题。
（2）：与方程综合
如：“已知关于x的二次方程：anx2?an?2x?1?0(n?n*)的两根?,?满足， 26??2???6??3，则{an?是否为等比数列 3
（3）：与极限综合
如：“设等比数列{an}的公比为q??18，且lim(a1???a2n?1)?，则n??23a1的值？”
（4）：与二项式定理综合
012如：“已知等比数列{an}，求和a1c2 ?a2c2?a3c2
（5）：与实际问题综合如：“某县位于沙漠边缘地带，人与自然进行顽强的斗争，到1998年底全县的绿化率已
达到30％，从1998年开始，每年将出现这样的局面：原有沙漠面积16％被栽上树，改造成
绿洲，而同时原有绿洲面积的4％又被侵蚀，变为沙漠①设全县面积为1，1998年底绿洲面
积为a1?
经过n年绿洲面积为an?1，求证:an?1?3，经过一年绿洲面积为a2，1044②问：经过多
少年的努力，才an?525
能使全县绿洲的面积超过60％（年取整数）？”
以上题目我们不可能一一进行详细的说明，相信对每一个具体问题你知道如何解决，重
要的是通过总结使自己头脑中对数列的知识、方法有一个清晰的轮廓，心中有数，这样就不
至于无所适从。
另外，方法和规律都是死的，要想真正融会贯通，必须提高对数学的认识层次，至少对
数学方法的应用、数学问题的实质能够在短时间内作出迅速的反应，哪怕反应不那么正确，
要达到这一点，只靠总结就不管用了，还要用心去体会。篇二：数列的求和方法知识归纳、
学习要点、例题解析
【高三复习教案】
数列的求和方法
知识归纳、学习要点、例题解析
（一）知识归纳：
1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等
等），然后分别求和.
2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且
更容易求和的数列.
3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下
首尾若干项.
4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位
置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n项和公式的方法.
5．反序求和法：将一个数列的倒数第k项（k=1，2，3，?，n）变为顺数第k项，然后
将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前n项和公式的
方法.
（二）学习要：
1．“数列求和”是数列中的重要内容，在中学高考范围内，学习数列求和不需要学习任
何理信纸，上面所述求和方法只是将一些常用的数式变换技巧运用于数列求和之中. 在上面
提到的方法中，“拆项”、“并项”、“裂项”方法使用率比较高，“拆项”的典型例子是数列
“sn?1?2?2?3???n(n?1)”的求和；“裂项”的典型例子是数列“sn?111????”的求和；“并项”
的典型例子是数列1?22?3n(n?1)“sn?1?2?3?4?5?6???(?1)n?1?n”的求和.
2．“错位”与“反序”求和方法是比较特殊的方法，使用率不高，其中“错位”求和方
法一般只要求解决下述数列的求和问题：若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则数列{an?bn}
的求和运用错位求和方法.
[例1]解答下述问题：(2n)2
（i）已知数列{an}的通项公式an?，求它的前n项和. (2n?1)(2n?1) nn?, 2n?12n?1
122n?1n?1nn?sn?(1?)?(?)???(?)?(?), 3352n?32n?12n?12n?1 1223n?1nnn?)??n?=1?(?)?(?)???( 33552n?12n?12n?12n?1 2n(n?1)= 2n?1[解析]?an? （ii）已知数列{an}的通项公式an?2n?1,求它的前n项和. [n(n?1)]2(n?1)2?n211[解析]?an?2??, n?(n?1)2n2(n?1)2 ?sn?(1?
1111111)?(?)???(?)?(?)2222222223(n?1)nn(n?1) 1?1?.2(n?1)
（iii）求和：sn?1?n?2?(n?1)?3?(n?2)???n?1;
[解析]注意：数列的第n项“n·1”不是数列的通项公式，记这个数列为{an}，∴其通项公式是
ak?k?[n?(k?1)]?kn?k2?k(k?1,2,3,?,n), ?sn?(1?2?3???n)?n?(12?22?32???n2)?(1?2?3???n)
n2(n?1)n(n?1)(2n?1)n(n?1)n(n?1)(n?2)????.2626 9n（ⅳ）已知数列an?(n?1)?(),求{an}的前n项和sn. 10 9n[解析]?an?n?1为等差数列,bn?()为等比数列，∴应运用错位求和方法： 10 999?3?()2???(n?1)?()n;1010109999?sn?2?()2?3?()3???(n?1)?()n?1,10101010 199999两式相减得:sn??[()2?()3???()n]?(n?1)?()n?1 10510101010 98199999???[1?()n]?(n?1)?()n?1??()n?1(n?10),510101010109?sn?99?9(n?10)?()n.10?sn?2?0123n（ⅴ）求和w?cn ?4cn?7cn?10cn???(3n?1)cn
[解析]?an?3n?1为等差数列,?a0?an?a1?an?1??, 而cn?cnkn?k,?运用反序求和方法是比较好的想法， 012n?1n①， ?w?cn?4cn?7cn???(3n?2)cn?(3n?1)cn nn?1n?210 ?(3n?1)cn ?(3n?2)cn?(3n?5)cn???4cn?cn 01n?210②， ?w?(3n?1)cn?(3n?2)cn?(3n?5)cn???4cn?cn 012n①+②得2w?(3n?2)(cn?cn?cn???cn)?(3n?2)?2n,?w?(3n?2)?2n?1.
[评析]例1讨论了数列求和的各种方法，关键是准确抓住数列通项公式呈现的规律，然
后选定一
种求和方法，并作出相应的变换.
[例2]解答下列问题：（i）设f(x)?x2?9(x??3),?1（1）求f(x)的反函数f
（2）若u1?1,un??f
（3）若ak?(x); ?1(un?1),(n?2),求un; 1,k?1,2,3,?,求数列{an}的前n项和sn;
uk?uk?1
?1[解析]（1）f
（2）??(x)??x2?9 2?{un}是公差为9的等差数列， ?u1?1 ?u?u2
n2n?1?9(n?2),
2?un?9n?8,?un?0,
1?un?9k?8, （3）ak?1?(9k?1?k?8), k?8?9k?19 1?sn?[(?1)?(?)???(n?1?9n?8)]9 1?(9n?1?1);9 （ii）设函数f(x)?2x?31,作数列{bn}:b1?1,bn?f()(n?2), 3xbn?1n?1求和：wn?b1b2?b2b3?b3b4???(?1)?bnbn?1. 22n?11?bn?1,?bn?,?bnbn?1?(4n2?8n?3), 3394222222①当n为偶数时wn?{(1?2)?(3?4)???[(n?1)?n]} 9[解析]?bn?8?{(1?2)?(3?4)???[(n?1)?n]}9 48n??[3?7?11???(2n?1)]??992 41n41??[(2n?2)]?n??(2n2?6n); 92299422222②当n为奇数时wn?{(1?2)???[(n?2)?(n?1)]?n} 9=?
81?{(1?2)?(3?4)???[(n?2)?(n?1)]?n}?9348n?11 ?{?[3?7?11?(2n?3)]?n2}?[??n]?992341n?18n?111?[???2n?n2]????(2n2?6n?7).9229239
[解析]例2中的（i）、（ii）两题是以数列求和为主要内容的数列综合试题，需要熟练运
用求和方
法，问题（i）中运用了“裂项”求和方法，而问题（ii）中灵活运用了拆项与并项的求
和方法.
[例3]已知数列{an}的各项为正数，其前n项和sn满足sn?(an?12)， 2 （i）求an与an?1(n?2)之间的关系式，并求{an}的通项公式；（ii）求证111?????2. s1s2sn
[解析]（i）?4sn?(an?1)2①，而4sn?1?(an?1?1)2②， 22①—②得an?an?1?2(an?an?1)?0?(an?an?1)(an?an?1?2)?0, ?an?0,?an?an?1?2(n?2),?{an}是公差d?2的等差数列，而4a1?(a1?1)2?a1?1,
（ii）?sn?n,?2?an?2n?1; 111111?????2?2???2 s1s2sn12n1111???(n?2),2n(n?1)n?1nn11111111??????1?(1?)?(?)???(?) s1s2sn223n?1n? ?2?1?2.n
[评析]例3是十分常见的数列型的不等式证明问题，由于运用了数列求和的思想，∴作
出了一个
巧妙的放缩变换，然后与数列求和挂上了钩. 《训练题》
一、选择题
1．在数列{an}中，an?1
n?n?1,若其前n项和sn?9，则项数n为a．9 b．10 c．99 d．100
2．数列1，（1+2），（1+2+22），?，（1+2+22+?+2n－1），?的前n项和等于 a．2n?1?n b．2n?1?n?2 c．2n?n?1 d．2n?n?2
3．设sn?1?2?3?4???(?1)n?1?n,则s17?s33?s50=a．－1 b．0 c．1 d．2
4．数列1，111
1?2,1?2?3,?,1?2?3???n的前n项和为 ） ） ） ） （（ （（篇三：学习奥数基本方法十二：找简单数列的规律 第12讲 找简单数列的规律 12345 篇四：数列学习小结数列学习小结
学习要求：制卷：代勇
1．系统掌握数列的有关概念和公式
2．了解数列的通项公式an与前n项和公式sn的关系． 3．能通过前n项和公式sn求