篇一：历年高考数学试题(数列)
在每小题给出的四个选择项只有一项是符合题目要求的。 1．数列{}的前n项和为，若an?A．1B.1
，则S5等于（ ）
n(n?1)
511C. D. 6630
2．已知?an?是等差数列，a10?10，其前10项和S10?70，则其公差d?（ ） Ａ．?
2112 Ｂ．?Ｃ．Ｄ． 3333
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3?9，S6?36，则a7?a8?a9?（ ） A．63B．45C．36D．27
4.已知数|an|的前n项和Sn?n?9n，第k项满足5?ak?8,则k?（ ） A.9 B.8 C.7 D.6
5．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且数n的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．设等差数列?an?的公差d不为0，a1?9d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k?（ ） Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8
7．若等差数列{an}的前3项和S3?9且a1?1，则a2等于（ ） A、3B、4 C、5 D、6 8．若a是1?2b与1?2b的等比中项，则
2
An7n?45a
?，则使得n为整数的正整Bnn?3bn
2ab
的最大值为（ ）
|a|?2|b|
A、
2252
B、 C、 D、
45215
9．等比数列{an}中，a4?4，则a2?a6等于（ ） A．4B．8 C．16 D．32
1
，则该数列的前10项和为（ ） ?1,a?14
8
1111
A．2?8 B.2?9 C.2?10D.2?11
2222
10．在等比数列?an?n?N
?
?
?中，若a
3
的无穷等比数列，且{an}各项的和为a，则a的值是（ ） 215
A．1B．2C．D．
241
12．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝（ ）
n
11．若数列{an}是首项为1，公比为a?
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
1
，则a1a2?a2a3???anan?1=（） 4
3232
（A）16（1?4?n） （B）16（1?2?n） （C）（1?4?n）（D）（1?2?n）
33
1
14．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1?，S4?20，则S6?（ ）
2
13．已知?an?是等比数列，a2?2，a5?
A．16 B．24 C．36D．48
*
15．已知数列?an?对任意的p，q?N满足ap?q?ap?aq，且a2??6，那么a10等于（ ）
A．?165B．?33C．?30D．?21 16．设等比数列{an}的公比q?2，前n项和为Sn，则
S4
?（ ） a2
A.2B.4C.
1517D. 22
17．已知等差数列?an?满足a2?a4?4，a3?a5?10，则它的前10项的和S10?（ ） A．138B．135C．95D．23
18．已知{an}是等差数列，a1?a2?4，a7?a8?28，则该数列前10项和S10等于（ ） A．64B．100C．110D．120
3
的无穷等比数列，且{an}各项的和为a，则a值是（） 2
15
（A）1. (B)2. (C). (D).
24
19．若数列{an}是首项为1，公比为a?
20．已知等比数列{an}中a2?1，则其前3项的和S3的取值范围是( )
（Ａ）???,?1? （Ｂ）???,0???1,??? （Ｃ）?3,??? （Ｄ）???,?1???3,??? 21．已知等比数列{an}满足a1?a2?3，a2?a3?6，则a7?（ ） A．64B．81C．128D．243
22．已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（ ） (A)4 (B)5 (C)6 (D)7
23．已知等差数列｛an｝中，a2=6,a5=15.若bn=a2n,则数列｛bn｝的前5项和等于（ ）
(A)30 （B）45(C)90 (D)186
24．设{an}是等差数列，若a2?3,a7?13，则数列{an}前8项和为（ ） Ａ．128Ｂ．80Ｃ．64Ｄ．56
25．记等差数列的前n项和为Sn，若S2?4,S4?20，则该数列的公差d?（ ） A、2 B、3 C、6D、7
26．若等差数列?an?的前5项和S5?25，且a2?3，则a7?（ ） A．12B．13C．14 D．15
1
,则公比q=（ ） 4
11(A)?(B)-2 (C)2 (D)
22
27．已知{an}是等比数列，a1=2,a4=
28．已知?an?为等差数列，a1+a3+a5=105，a2?a4?a6=99.以Sn表示?an?的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（）
（A）21（B）20 （C）19 （D） 18
29．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a1=4， 则公差d等于( ) A．1 B.
5
C.-2 D.3 3
2n
30.已知等比数列{an}满足an?0,n?1,2,?，且a5?a2n?5?2(n?3)，则当n?1时，
log2a1?log2a3???log2a2n?1?
（ ）
2
A.n(2n?1)B.(n?1) C.n D.(n?1) 31．设等比数列{an}的前n 项和为Sn，若
22
S6S
=3，则9=（ ） S3S6
（A）2 （B）
78
（C） （D）3 33
32.已知?an?为等差数列，a1?a3?a5?105,a2?a4?a6?99，则a20等于（ ） A.-1 B.1 C.3D.7
33.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9=2a5，a2=1，则a1=（ ） A.
2
21
B.C.2 D.2
22
?1?1?1
}，[],（ ） 222
34.设x?R,记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x]，则{
A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 35．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，?，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16，?这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是（ ）
A.289B.1024C.1225 D.1378 36．设sn是等差数列｛an｝的前n项和，已知a1=3，a5=11，则s7等于（ ） A．13 B.35 C.49 D.63
37．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项,S8?32,则S10等于（ ） A.18B.24 C.60 D.90
38．已知?an?为等差数列，且a7-2a4=-1, a3=0,则公差d=（ ） （A）-2 （B）-
11
（C） （D）2 22
2
39．等差数列?an?的前n项和为Sn，已知am?1?am?1?am?0，S2m?1?38,则m?（ ） （A）38 （B）20（C）10 （D）9
40．设?an?是公差不为0的等差数列，a1?2且a1,a3,a6成等比数列，则?an?的前n项和Sn=（ ）
n27nn25nn23n
? C．?D．n2?n ?A． B．332444
41．如果等差数列?an?中，a3?a4?a5?12，那么a1?a2?...?a7?（ ） （A）14 （B）21（C）28 （D）35 42．已知各项均为正数的等比数列?an?，a1a2a3?5,a7a8a9?10,则a4a5a6=（ ）
(A)
43.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和。若a2·a3=2a1,且a4与2a7等差中项为A.35 B.33C.31 D.29
5
，则S5＝（ ） 4
44．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是（ ）
（A）X?Z?2Y（B）Y(Y?X)?Z(Z?X) （C）Y2?XZ（D）Y(Y?X)?X(Z?X) 45．在等比数列?an?中，a1?1，公比q?1.若am?a1a2a3a4a5，则m=（ ） （A）9 （B）10 （C）11（D）12
46.设等差数列｛an｝前n项和为Sn .若a1= -11,a4+a6=-6,则当Sn 取最小值时，n等于（ ） A.6B. 7C.8 D.9
47.等比数列?an?中，a1?2，a8=4，函数f?x??x(x?a1)(x?a2)?(x?a8)，则fA．26B.29 C.212D.215
48．设{an}是有正数组成的等比数列，Sn为其前n项和。已知a2a4=1,S3?7,则S5?（ ） （A）
'
?0??（ ）
17153133
(B)(C) (D)
2244
49．设{an}是等比数列，则“a1?a2?a3”是“数列{an}是递增数列”的（ ）
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 50．已知数列?an?的首项a1?0，其前n项的和为Sn，且Sn?1?2Sn?a1，则lim
an
?（ ）
n??Sn
（A）0 （B）
1
（C） 1（D）2 2
?1?
（ ） ?的前5项和为
?an?
sn是?an?的前n项和，51．已知?an?是首项为1的等比数列，且9s3?s6，则数列?
（A）
15313115
或5 （B）或5（C） （D） 816168
S5
?（ ） S2
52．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2?a5?0，则（A）11 （B）5 （C）-8 （D）-11
53．一给定函数y?f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1?(0,1)，由关系式an?1?f(an)得到的数列
{an}满足an?1?an(n?N*)，则该函数的图象是（ ）
篇二：2014全国高考数学试题分类汇编 数列
D1 数列的概念与简单表示法 17．、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.
a(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；
bn(2)若bn＝3n1，求数列{an}的前n项和Sn.
－
an＋1a17．解：(1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，所以2，即cn＋1－
bn＋1bn
cn＝2，
所以数列{cn}是以c1＝1为首项，d＝2为公差的等差数列，故cn＝2n－1.
－－
(2)由bn＝3n1，知an＝(2n－1)3n1，于是数列{an}的前n项和Sn＝1×30＋3×31＋5×32
－－
＋…＋(2n－1)×3n1，3Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n1＋(2n－1)×3n，将两式相减得－
－
2Sn＝1＋2×(31＋32＋…＋3n1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)×3n，
所以Sn＝(n－1)3n＋1. 17．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn
－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ.
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
17．解：(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1， 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. 因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得 a2＝λ－1， 由(1)知，a3＝λ＋1.
若{an}为等差数列，则2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4. 由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列， a2n－1＝4n－3；
{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列． 17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
1??
(1)证明?an＋2?是等比数列，并求{an}的通项公式；
??1113
(2)证明＋＋…＋＜.
a1a2an2
11
an＋. 17．解：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3?2?2
1?13?313n
又a1，所以?an＋2?是首项为3的等比数列，所以an＝，因此数列
22222??
3n－1
{an}的通项公式为an＝212
(2)证明：由(1)知.
an3－1
－
因为当n≥1时，3n－1≥2×3n1，
11121所以≤≤. ＝an3－133－12×3
13111113
1－<. 于是≤1＋－?a1a2an32?323
1113所以a1a2an2
*
22．，，[2014·重庆卷] 设a1＝1，an＋1an－2an＋2＋b(n∈N)． (1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．
(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论． 22．解：(1)方法一：a2＝2，a32＋1. 再由题设条件知
(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1.
从而{(an－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(an－1)2＝n－1，即ann－1＋1(n∈N*)． 方法二：a2＝2，a3＝2＋1.
可写为a11－1＋1，a2＝2－1＋1，a33－1＋1.因此猜想an＝n－1＋1. 下面用数学归纳法证明上式． 当n＝1时，结论显然成立．
假设n＝k时结论成立，即ak＝k－1＋1，则
ak＋1（ak－1）＋1＋1＝
(2)方法一：设f(x)＝（x－1）＋1－1，则an＋1＝f(an)．
1
令c＝f(c)，即c＝（c－1）＋1－1，解得c4
下面用数学归纳法证明命题 a2n<c<a2n＋1<1.
1
当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)2－1，所以a2<<a3<1，结论成立．
4
假设n＝k时结论成立，即a2k<c<a2k＋1<1. 易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而 c＝f(c)>f(a2k＋1)>f(1)＝a2，即 1>c>a2k＋2>a2.
再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得c＝f(c)<f(a2k＋2)<f(a2)＝a3<1，
故c<a2k＋3<1，因此a2(k＋1)<c<a2(k＋1)＋1<1，这就是说，当n＝k＋1时结论成立．
1
综上，存在 c＝a2n<C<a2a＋1对所有n∈N*成立．
4
方法二：设f(x)＝（x－1）＋1－1，则an＋1＝f(an)． 先证：0≤an≤1(n∈N*)． ① 当n＝1时，结论明显成立．
假设n＝k时结论成立，即0≤ak≤1. 易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f(1)≤f(ak)≤f(0)2－1<1.
即0≤ak＋1≤1.这就是说，当n＝k＋1时结论成立．故①成立． 再证：a2n<a2n＋1(n∈N*)． ②
当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(a2)＝f(0)2－1，所以a2<a3，即n＝1时②成立． 假设n＝k时，结论成立，即a2k<a2k＋1. 由①及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得 a2k＋1＝f(a2k)>f(a2k＋1)＝a2k＋2， a2(k＋1)＝f(a2k＋1)<f(a2k＋2)＝a2(k＋1)＋1.
这就是说，当n＝k＋1时②成立．所以②对一切n∈N*成立． 由②得a2n<a2n－2a2n＋2－1，
2
即(a2n＋1)2<a2n－2a2n＋2，
1
因此a2n< ③
4
又由①②及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得f(a2n)>f(a2n＋1)，即a2n＋1>a2n＋2.
1
所以a2n＋1>a－2a＋2－1，解得a>. ④ ＋＋＋2n12n12n1
4
1
综上，由②③④知存在c＝使a2n<c<a2n＋1对一切n∈N*成立．
4
D2 等差数列及等差数列前n项和 12．、[2014·安徽卷] 数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.
12．1
12．[2014·北京卷] 若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
12．8 3．[2014·福建卷] 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( ) A．8 B．10 C．12 D．14 3．C 18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式．
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
18．解：(1)设数列{an}的公差为d，
依题意得，2，2＋d，2＋4d成等比数列， 故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，
化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4. 当d＝0时，an＝2；
当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2.
从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2. (2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n<60n＋800， 此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立．
n[2＋（4n－2）]
当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2.
2
22
令2n>60n＋800，即n－30n－400>0， 解得n>40或n<－10(舍去)，
此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41. 综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；
当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41. 20．、[2014·湖南卷] 已知数列{an}满足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*. (1)若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；
1
(2)若p＝{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．
2
20．解：(1)因为{an}是递增数列，所以an＋1－an＝|an＋1－an|＝pn.而a1＝1，因此 a2＝p＋1，a3＝p2＋p＋1.又a1，2a2，3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3，因而3p2－p＝0，
1
解得p＝或p＝0.
3
1
当p＝0时，an＋1＝an，这与{an}是递增数列矛盾，故p＝.
3
(2)由于{a2n－1}是递增数列，因而a2n＋1－a2n－1>0，于是(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)>0.①
11
因为<|a2n＋1－a2n|<|a2n－a2n－1|.②
22
1?2n－1（－1）2n?由①②知，a2n－a2n－1>0，因此a2n－a2n－1＝?2?＝.③ －
22n＋12n
1（－1）?因为{a2n}是递减数列，同理可得，a2n＋1－a2n<0，故a2n＋1－a2n＝－?④ ?2?＝2＋
（－1）n1
由③④可知，an＋1－an2（－1）n11
于是an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋－＋…＋＝1＋－
2221n－1?1－?－2n
141（－1）·＝＋. －213321＋
2
n
41（－1）
故数列{an}的通项公式为an＝·－
3328．[2014·辽宁卷] 设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则( ) A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0 8．C 18．、[2014·全国卷] 等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式；
1
(2)设bn＝{bn}的前n项和Tn.
anan＋1
18．解：(1)由a1＝10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数． 又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0， 于是10＋3d≥0，10＋4d≤0， 105解得－≤d≤－，
32
因此d＝－3.
故数列{an}的通项公式为an＝13－3n.
1111111－(2)bn＝＝10－3n－13－3n.于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn?3?710?（13－3n）（10－3n）3?11?11111n
－－＝－＋…＋?＋?＝?47?10－3n13－3n?3?10－3n10?10（10－3n）17．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn
－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ.
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
17．解：(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1， 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. 因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得 a2＝λ－1， 由(1)知，a3＝λ＋1.
若{an}为等差数列，则2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.
由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列， a2n－1＝4n－3；
{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列． 19．，，[2014·山东卷] 已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(－1)n
－1
4n
{bn}的前n项和Tn. anan＋1
2×1
19．解： (1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋2＝2a1＋2，
24×3
S4＝4a1＋2＝4a1＋12，
2
由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1， 所以an＝2n－1. (2)由题意可知， bn＝(－1)n＝(－1)n
－4n
anan＋1
－1
4n
（2n－1）（2n＋1）
11－
＝(－1)n1?2n－1＋2n＋1?.
??当n为偶数时，
11??11?1?11??＋1＋＋Tn＝?3－?35＋…＋?2n－32n－1?－?2n－12n＋1? 1
＝1－2n＋1＝2n
. 2n＋1
当n为奇数时，
11?11?111
＋1＋－?＋＋…－?Tn＝?＋2n－32n－12n－12n＋1 ?3?35????
1
＝1＋2n＋1＝2n＋2
2n＋1
n－1
2n＋2??2n＋1，n为奇数，?2n＋1＋（－1）
或T＝所以T＝??2n＋1?2n
n为偶数.??2n＋1
n
n
?
??
16．，，[2014·陕西卷] △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)； (2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．
篇三：2015年高考理科数学试题汇编(含答案)：数列 大题
问8分）在数列?an?中，a1?3,an?1an??an?1??an?0?n?N??
2
（1）若??0,???2,求数列?an?的通项公式； （2）若??
111
证明： k?N,k?2,???1,2??a?2??0?0?k0?1
k03k0?12k0?1
【答案】（1）an?3?2n?1；（2）证明见解析
.
试题分析：(1)由??0，???2,有an?1an?2an2,(n?N?)
若存在某个n0?N?，使得an0=0，则由上述递推公式易得an0+1=0，重复上述过程可得
a1=0，此与a1=3矛盾，所以对任意n?N?,an?0.
从而an+1=2an?n?N??，即{an}是一个公比q=2的等比数列. 故an=a1qn-1=3 2n-1. (2)由??
1
，???1，数列{an}的递推关系式变为 k0
an+1an+
?1?1
an+1-an2=0,变形为an?1?an???an2?n?N??.
k0?k0?
由上式及a1=3，归纳可得
3=a1>a2>>an>an+1>an2
an2-=
>0
因为an+1=
1
an+
k0
11+k02k02111
，所以对n=1,2=an-+
1kkka+1000nan+k0
k0
求和得ak0+1=a1+a2-a1+
()
+ak0+1-ak0
()
?11?111
?a1?k0????????
?k0k0?k0a1?1k0a2?1k0ak0?1??
1?111?1?2???????2??
k0?3k0?13k0?13k0?1?3k0?1
另一方面，由上已证的不等式知a1>a2>
>ak0>ak0+1>2得
11?11
ak0?1?a1?k0??????
?k0k0?k0a1?1k0a2?1?
?? k0ak0?1??
1
?2?
1
1?11
????k0?2k0?12k0?1
<ak0+1<2+
12k0+1
?
?1
??2?
2k0?1?2k0?11
综上：2+
3k0+1
考点：等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.
（江苏）20.（本小题满分16分）
设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d?0)的等差数列 （1）证明：21,22,23,24依次成等比数列；
（2）是否存在a1,d，使得a1,a22,a33,a44依次成等比数列，并说明理由； （3）是否存在a1,d及正整数n,k，使得a1,a2理由.
【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在
n
n?k
n?2kn?3k
,a3,a4依次成等比数列，并说明
a
a
a
a
（2）令a1?d?a，则a1，a2，a3，a4分别为a?d，a，a?d，a?2d（a?d，
a??2d，d?0）．
假设存在a1，d，使得a1，a2，a3，a4依次构成等比数列，
2
3
4
则a4??a?d??a?d?，且?a?d??a2?a?2d?． 令t?
364
d1364
，则1??1?t??1?t?，且?1?t???1?2t?（??t?1，t?0）， a2
化简得t3?2t2?2?0（?），且t2?t?1．将t2?t?1代入（?）式，
t?t?1??2?t?1??2?t2?3t?t?1?3t?4t?1?0，则t??
显然t??
1
． 4
1
不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立， 4
2
3
4
因此不存在a1，d，使得a1，a2，a3，a4依次构成等比数列． （3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1，a2列， 则a1n?a1?2d?
n?2k
n
n?k
，a3
n?2k
，a4
n?3k
依次构成等比数
??a1?d?
2?n?k?
，且?a1?d?及a1
n?k2?n?2k?
n?k
?a1?3d?
n?3k
??a1?2d?
2?n?2k?
．
分别在两个等式的两边同除以a1则?1?2t?
n?2k
2?n?k?
，并令t?
n?3k
d1
（t??，t?0）， a13
2?n?2k?
??1?t?
2?n?k?
，且?1?t??1?3t???1?2t?
．
将上述两个等式两边取对数，得?n?2k?ln?1?2t??2?n?k?ln?1?t?， 且?n?k?ln?1?t???n?3k?ln?1?3t??2?n?2k?ln?1?2t?． 化简得2k??ln?1?2t??ln?1?t????n??2ln?1?t??ln?1?2t???， 且3k??ln?1?3t??ln?1?t????n??3ln?1?t??ln?1?3t???．
再将这两式相除，化简得ln?1?3t?ln?1?2t??3ln?1?2t?ln?1?t??4ln?1?3t?ln?1?t?（??）．
令g?t??4ln?1?3t?ln?1?t??ln?1?3t?ln?1?2t??3ln?1?2t?ln?1?t?，
222
2??1?3t?ln?1?3t??3?1?2t?ln?1?2t??3?1?t?ln?1?t??
?． 则g??t???
1?t1?2t1?3t
令??t???1?3t?ln?1?3t??3?1?2t?ln?1?2t??3?1?t?ln?1?t?， 则???t??6???1?3t?ln?1?3t??2?1?2t?ln?1?2t???1?t?ln?1?t???．
222
??t??6?令?1?t?????t?，则?1?3ln?1?3t??4ln?1?2t??ln?1?t???．
??t????t?，则?2令?2?t???1
12
?0．
1?t1?2t1?3t??t??0， 由g?0????0???1?0???2?0??0，?2
知?2?t?，?1?t?，??t?，g?t?在??,0?和?0,???上均单调．
故g?t?只有唯一零点t?0，即方程（??）只有唯一解t?0，故假设不成立． 所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1，a2
n
n?k
?1?3??
，a3
n?2k
，a4
n?3k
依次构成等比数列．
考点：等差、等比数列的定义及性质，函数与方程 （安徽）（18）（本小题满分12分）设n?N*，xn是曲线y?x
2n?2
?1在点(1，2)处的切线与x轴交点的横坐标.
（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
2 （Ⅱ）记Tn?x12x3
2x2n?1，证明Tn?
1
. 4n
【答案】（1）xn?【解析】
n1
；（2）Tn?. n?14n
试题分析：（Ⅰ）对题中所给曲线进行求导，得出曲线y?x
2n?2
?1在点(1，2)处的切线斜
率为2n?2.从而可以写成切线方程为y?2?(2n?2)(x?1).令y?0.解得切线与x轴交点的横坐标xn?1?（Ⅱ）要证Tn?
1n
. ?
n?1n?1
1
，需考虑通项x2n?12，通过适当放缩能够使得每项相消.先表示出 4n