山东东营数学中考
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2014年山东省东营市中考数学
一、（共10小题，每小题只有一个选项正确，每小题选对得3分，错选不选或选出的答案超过一个均记零分）
1．（3分）(2014年山东东营) 的平方根是（ ）
A． ±3 B． 3 C． ±9 D． 9
考点： 平方根；算术平方根．
分析： 根据平方运算，可得平方根、算术平方根．
解答： 解：∵ ，
9的平方根是±3，
故答案选A．
点评： 本题考查了算术平方根，平方运算是求平方根的关键．
2．（3分）(2014年山东东营)下列计算错误的是（ ）
A． 3 － =2 B． x2 x3=x6 C． －2+|－2|=0 D． （－3）－2=
考点： 二次根式的加减法；有理数的加法；同底数幂的乘法；负整数指数幂．
分析： 四个选项中分别根据二次根式的加减法求解，同底数幂的乘法法则求解，绝对值的加减法用负整数指数幂的法则求解．
解答： 解：A，3 － =2 正确，
B，x2 x3=x6 同底数的数相乘，底数不变指数相加，故错，
C，－2+|－2|=0，－2+2=0，正确，
D，（－3）－2= = 正确．
故选：B．
点评： 本题主要考查了二次根式的加减法，同底数幂的乘法，绝对值的加减法，负整数指数幂，解题的关键是根据它们各自和法则认真运算．
3．（3分）(2014年山东东营)直线y=－x+1经过的象限是（ ）
A． 第一、二、三象限 B． 第一、二、四象限 C． 第二、三、四象限 D． 第一、三、四象限
考点： 一次函数图象与系数的关系．
分析： 根据一 次函数的性质解答即可．
解答： 解：由于－1＜0，1＞0，
故函数过一、二、四象限，
故选B．
点评： 本题考查了一次函数的性质，要知道，对于y=kx+b（k≠0）来说，k、b的符号决定函数所过的象限．
4．（3分）(2014年山东东营)下列命题中是真命题的是（ ）
A． 如果a2=b2，那么a=b
B． 对角线互相垂直的四边形是菱形
C． 旋转前后的两个图形，对应点所连线段相等
D． 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
考点： 命题与定理．
分析： 利用菱形的判定、旋转的性质及垂直平分线的性质对每个选项进行判断后即可得到正确的选项．
解答： 解：A、错误，如3与－3；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；
C、旋转前后的两个图形，对应点所连线段不一定相等，故错误，是假命题；
D、正确，是真命题，
故选D．
点评： 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是理解菱形的判定、旋转的性质及垂直平分线的性质．
5．（3分）(2014年山东东营)如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为 ，则图中弓形的面积为（ ）
A． B． C． D．
考点： 扇形面积的计算．
分析： 过A作AD⊥CB，首先计算出BC上的高AD长，再计算出三角形ABC的面积和扇形面积，然后再利用扇形面积减去三角形的面积可得弓形面积．
解答： 解：过A作AD⊥CB，
∵∠CAB=60°，AC=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∵AC= ，
∴AD=AC sin60°= × = ，
∴△ABC面积： = ，
∵扇形面积： = ，
∴弓形的面积为： － = ，
故选：C．
点评： 此题主要考查了扇形面积的计算，关键是掌握扇形的面积公式：S= ．
6．（3分）(2014年山东东营)下图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．
分析： 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解答： 解：从俯视图可以看出直观图的各部分的个数，
可得出左视图前面有2个，中间有3个，后面有1个，
即可得出左视图的形状．
故选B．
点评： 此题主要考查了三视图的概念．根据俯视图得出每一组小正方体的个数是解决问题的关键．
7．（3分）(2014年山东东营)下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（ ）
A． ②③ B． ①② C． ③④ D． ②③④
考点： 位似变换；命题与定理．
分析： 利用位似图形的定义与性质分别判断得出即可．
解答： 解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故此选项错误；
②位似图形一定有位似中心，此选项正确；
③ 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，此选项正确；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比，此选项错误．
正确的选项为②③．
故选：A．
点评： 此题主要考查了位似图形的性质与定义，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
8．（3分）(2014年山东东营)小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点： 几何概率；平行四边形的性质．
分析： 先根据平行四边形的性质求出平行四边形对角线所分的四个三角形面积相等，再求出S1=S2即可．
解答： 解：根据平行四边形的性质可得：平行四边形的对角线把平行四边形分成的四个面积相等的三角形，
根据平行线的性质可得S1=S2，则阴影部分的面积占 ，
故飞镖落在阴影区域的概率为： ；
故选C．
点评： 此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，关键是根据平行线的性质求出阴影部分的面积与总面积的比．
9．（3分）(2014年山东东营)若函数y=mx2+（m+2）x+ m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）
A． 0 B． 0或2 C． 2或－2 D． 0，2或－2
考点： 抛物线与x轴的交点．
分析： 分为两种情况：函数是二次函数，函数是一次函数，求出即可．
解答： 解：分为两种情况：①当函数是二次函数时，
∵函数y=mx2+（m+2）x+ m+1的图象与x轴只有一个交点，
∴△=（m+2）2－4m（ m+1）=0且m≠0，
解得：m=±2，
②当函数时一次函数时，m=0，
此时函数 解析式是y=2x+1，和x轴只有一个交点，
故选D．
点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是也比较容易出错．
10．（3分）(2014年山东东营)如图，四边形ABCD为菱形，AB=BD，点B、C、D、G四个点在同一个圆⊙ O上，连接BG并延长交AD于点F，连接DG并延长交AB于点E，BD与CG交于 点H，连接FH，下列结论：
①AE=DF；②FH‖AB；③△DGH∽△BGE；④当CG为⊙O的直径时，DF=AF．
其中正确结论的个数是（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 圆的综合题．
分析： ①由四边形ABCD是菱形，AB=BD，得出△ABD和△BCD是等边三角形，再由B、C、D、G四个点在同一个圆上，得出∠ADE=∠DBF，由△ADE≌△DBF，得出AE=DF，
②利用内错角相等∠FBA=∠HFB，求证FH‖AB，
③利用∠DGH=∠EGB和∠EDB=∠FBA，求证△DGH∽△BGE，
④利用CG为⊙O的直径及B、C、D、G四个点共圆，求出∠ABF=120°－90°=30°，在RT△AFB中求出AF= AB，
在RT△DFB中求出FD= BD，再求得DF=AF．
解答： 解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=DC=AD，
又∵AB=BD，
∴△ABD和△BCD是等边三角形，
∴∠A=∠ABD=∠DBC=∠BCD=∠CDB=∠BDA=60°，
又∵B、C、D、G四个点在同一个圆上，
∴∠DCH=∠DBF，∠GDH=∠BCH，
∴∠ADE=∠ADB－∠GDH=60°－∠EDB，∠DCH=∠BCD－∠BCH=60°－∠BCH，
∴∠ADE=∠DCH，
∴∠ADE=∠DBF，
在△ADE和△DBF中，
∴△ADE≌△DBF（ASA）
∴AE=DF
故①正确，
②由①中证得∠ADE=∠DBF，
∴∠EDB=∠FBA，
∵B、C、D、G四个点在同一个圆上，∠BDC=60°，∠DBC=60°，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，
∴∠BGE=180°－∠BGC－∠DGC=180°－60°－60°=60°，
∴FGD=60°，
∴FGH=120°，
又∵∠ADB=60°，
∴F、G、H、D四个点在同一个圆上，
∴∠EDB=∠HFB，
∴∠FBA=∠HFB，
∴FH‖AB，
故②正确，
③∵B、C、D、G四个点在同一个圆上，∠DBC=60°，
∴∠DGH=∠DBC=60°，
∵∠EGB=60°，
∴∠DGH=∠EGB，
由①中证得∠ADE=∠DBF，
∴∠EDB=∠FBA，
∴△DGH∽△BGE，
故③正确，
④如下图
∵CG为⊙O的直径，点B、C、D、G四个点在同一个圆⊙O上，
∴∠GBC=∠GDC=90°，
∴∠ABF=120°－90°=30°，
∵∠A=60°，
∴∠AFB=90°，
∴AF= AB，
又∵∠DBF=60°－30°=30°，∠ADB=60°，
∴∠DFB=90°，
∴FD= BD，
∵AB=BD，
∴DF=AF，
故④正确，
故选：D．
点评： 此题综合考查了圆及菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，运用四点共圆找出相等的角是解题的关键．解题时注意各知识点的融会贯通．
二、（共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分）
11．（3分）(2014年山东东营)2013年东营市围绕“转方式，调结构，扩总量，增实力，上水平”的工作大局，经济平稳较快增长，全年GDP达到3250亿元，3250亿元用科学记数法表示为 3.25×1011 ．
考点： 科学记数法—表示较大的数．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：将3250亿用科学记数法表示为：3.25×1011．
故答案为：3.25×1011．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）(2014年山东东营)3x2y－27y= 3y（x+3）（x－3） ．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 首先提取公因式3y，再利用平方差进行二次分解即可．
解答： 解：原式=3y（x2－9）=3y（x+3）（x－3），
故答案为：3y（x+3）（x－3）．
点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13．（3分）(2014年山东东营)市运会举行射击比赛，某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛，在选拔赛中，每人射击10次，计算他们10发的平均数（环）及方差如下表，请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是 丙 ．
甲 乙 丙 丁
平均数 8.2 8.0 8.2 8.0
方差 2.0 1.8 1.5 1.6
考点： 方差；算术平均数．
分析： 根据甲，乙，丙，丁四个人中甲和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的最稳定，得到丙最合适的人选．
解答： 解：∵甲，乙，丙，丁四个人中甲和丙的平均数最大且相等，
甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，
说明丙的成绩最稳定，
∴综合平均数和方差两个方面说明丙成绩既高又稳定，
∴最合适的人选是丙．
故答案为：丙．
点评： 本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．（3分）(2014年山东东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行 10 米．
考点： 勾股定理的应用．
分析： 根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解答： 解：如图，设大树高为AB=12m，
小树高为CD=6m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=6m，EC=8m，AE=AB－EB=12－6=6（m），
在Rt△AEC中，AC= =10（m）．
故小鸟至少飞行10m．
故答案为：10．
点评： 本题考查了勾股定理的应用，根据实际得出直角三角形，培养学生解决实际问题的能力．
15．（4分）(2014年山东东营)如果实数x，y满足方程组 ，那么代数式（ +2）÷ 的值为 1 ．
考点： 分式的化简求值；解二元一次方程组．
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程组的解得到x与y的值，代入计算即可求出值．
解答： 解：原式= （x+y）=xy+2x+2y，
方程组 ，解得： ，
当x=3，y=－1时，原式=－3+6－2=1．
故答案为：1
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（4分）(2014年山东东营)在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm， = = ，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是 8 cm．
考点： 轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．
分析： 作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得 = ，然后求出C′D为直径，从而得解．
解答： 解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D 与AB相交于点M，
此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，
由垂径定理， = ，
∴ = ，
∵ = = ，AB为直径，
∴C′D为直径，
∴CM+DM的最小值是8cm．
故答案为：8．
点评： 本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键．
17．（4分）(2014年山东东营)如图，函数y= 和y=－ 的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C， 交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为 8 ．
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考点： 反比例函数系数k的几何意义．
分析： 设P的坐标是（a， ），推出A的坐标和B的坐标，求出∠APB=90°，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可．
解答： 解：∵点P在y= 上，
∴|xp|×|yp|=|k|=1，
∴设P的坐标是（a， ）（a为正数），
∵PA⊥x轴，
∴A的横坐标是a，
∵A在y=－ 上，
∴A的坐标是（a，－ ），
∵PB⊥y轴，
∴B的纵坐标是 ，
∵B在y=－ 上，
∴代入得： =－ ，
解得：x=－3a，
∴B的坐标是（－3a， ），
∴PA=| －（－ ）|= ，PB=|a－（－3a）|=4a，
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴PA⊥PB，
∴△PAB的面积是： PA×PB= × ×4a=8．
故答案为：8．
点评： 本题考查了反比例函数和三角形面积公式的应用，关键是能根据P点的坐标得出A、B的坐标，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
18．（4分）(2014年山东东营)将自然数按以下规律排列：
表中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1）对应，数5与（1，3）对应，数14与（3，4）对应，根据这一规律，数2014对应的有序数对为 （45，12） ．
考点： 规律型：数字的变化类．
分析： 根据已知数据可得出第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，同理可得出第一行的偶数列的数的规律，从而得出2014所在的位置．
解答： 解：由已知可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，
第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同；
∵45×45=2025，2014在第45行，向右依次减小，
∴2014所在的位置是第45行，第12列，其坐标为（45，12）．
故答案为：（45，12）．
点评： 此题主要考查了数字的规律知识，得出第一列的奇数行的数的规律与第一行的偶数列的数的规律是解决问题的关键．
三、解答题（共7小题，共62分）
19．（7分）(2014年山东东营)（1）计算：（－1）2014+（sin30°）－1+（ ）0－|3－ |+83×（－0.125）3
（2）解不等式组： 把解集在数轴上表示出来，并将解集中的整数解写出来．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等 式组的整数解；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： （1）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用零指数幂法则计算，第四项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用积的乘方逆运算法则变形，计算即可得到可结果；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
解答： 解：（1）原式=1+2+1－3 +3－1=6－3 ；
（2） ，
由①得：x＜1；由②得：x≥－ ，
∴不等式组的解集为－ ≤x＜1，
，
则不等式组的整数解为－1，0．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（8分）(2014年山东东营)东营市某中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动，通过对学生的随机抽样调查得到一组数据，如图是根据这组数据绘制成的不完整统计图．
（1）求出被调查的学生人数；
（2）把折线统计图补充完整；
（3）求出扇形统计图中，部分对应的圆心角的度数；
（4）若从被调查的学生中任意抽取一名，求抽取的这名学生最喜欢的职业是“教师”的概率．
考点： 折线统计图；扇形统计图；概率公式．
分析： （1）根据军人的人数与所占的百分比求解即可；
（2）分别求出教师、医生的人数，补全统计图即可；
（3）根据的人数占总人数的比例即可得出结论；
（4）根据教师的人数占总人数的比例即可得出结论．
解答： 解：（1）∵军人”的人数为20，百分比为10%，
∴学生总人数为20÷10%=200（人）；
（2）∵医生的人数占15%，
∴医生的人数为200×15%=30（人），
∴教师的人数=200－30－40－20－70=40（人），
∴折线统计图如图所示：
（3）∵由扇形统计图可知，公务员占20%，
∴20%×360°=72°；
（4）∵最喜欢的职业是“教师”的人数是40人，
∴从被调查的学生中任意抽取一名，求抽取的这名学生最喜欢的职业是“教师”的概率= =
点评： 本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．
21．（8分）(2014年山东东营)如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=BFD．
（1）求证：FD是⊙O的一条切线；
（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．
考点： 切线的判定；垂径定理．
分析： （1）利用圆周角定理以及平行线的判定得 出∠FDO=90°，进而得出答案；
（ 2）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长．
解答： （1）证明：∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，
∴∠CAB=∠BFD，
∴FD‖AC，
∵∠AEO=90°，
∴∠FDO=90°，
∴FD是⊙O的一条切线；
（2）解：∵AB=10，AC=8，DO⊥AC，
∴AE=EC=4，AO=5，
∴EO=3，
∵AE‖FD，
∴△AEO∽△FDO，
∴ = ，
∴ = ，
解得：FD= ．
点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定等知识，得出△AEO∽△FDO是解题关键．
22．（8分）(2014年山东东营)热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（ ≈1.732，结果保留小数点后一位）？
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： 过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数即可求得BD和CD，即可求解．
解答： 解：过A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，
∵∠BAD=30°，AD=120m，
∴BD=AD tan30°=120× =40 m，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD=60°，AD=120m，
∴CD=AD tan60°=120× =120 m，
BC=40 =277.12≈277.1m．
答：这栋楼高约为277.1m．
点评： 本题主要考查了仰角与俯角的计算，一般三角形的计算，常用的方 法是利用作高线转化为直角三角形的计算．
23．（8分）(2014年山东东营)为顺利通过“国家文明城市”验收，东营市政府拟对称取部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在40天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成．
（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
（2）若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种，既能按时完工，又能使工程费用最少．
考点： 一次函数的应用；分式方程的应用．
分析： （1）如果设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题；
（2）首先根据（1）中的结果，从而可知符合要求的施工方案有三种：方案一：由甲工程队单独完成；方案 二：由乙工程队单独完成；方案三：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用．
解答： 解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天，由题意得
=
解得：x=15，
经检验，x=15是原分式方程的解，
2x=30
答：甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天．
（2）方案一：由甲工程队单独完成需要4.5×15=67.5万元；
方案二 ：由乙工程队单独完成需要2.5×30=75万元；
方案三：由甲乙两队合作完成4.5×10+2.5×10=70万元．
所以选择甲工程队，既能按时完工，又能使工程费用最少．
点评： 本题考查分式方程在工程问题中的应用．意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
24．（11分）(2014年山东东营)【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；
【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：
当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．
假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E时线段BC延长线上的任意一点”；“点E时线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF．
【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在图3中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC：S△AEF的值．
考点： 相似形综合题．
分析： 根据等边三角形的性质，可得AB=BC，∠B=∠ACB=60°，根据三角形外角的性质，可得∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE，根据ASA，可得△AGE≌△ECF（，根据全等三角形的性质，可得结论；
根据等边三角形的判定，可得△AEF是等边三角形，根据根据等边三角形像似，可得△ABC与△AEF的关系，根据等腰三角形的性质，可得AC与AH的关系，AC与AE的关系，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得答案．
解答： 证明：如图一，在B上截取AG，使AG=EC，连接EG，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．
∵AG=EC，
∴BG=BE，
∴△BEG是等边三角形，∠BGE=60°，
∴∠AGE=120°．
∵FC是外角的平分线，
∠ECF=120°=∠AGE．
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE．
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC，
∴∠GAE=∠FEC．
在△AGE和△ECF中 ，
∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
拓展应用：
如图二：作CH⊥AE于H点，
∴∠AHC=90°．
由数学思考得AE=EF，
又∵∠AEF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴△ABC∽△AEF．
∵CE=BC=AC，△ABC是等边三角形，
∴∠CAH=30°，AH=EH．
∴CH= AC，AH= AC，AE= AC，
∴ ．
∴ = = ．
点评： 本题考查了相似形综合题，利用了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题关键，题目稍有难度．
25．（12分）(2014年山东东营)如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=－x2+bx+c与直线BC交于点D（3，－4）．
（1）求直线BD和抛物线的解析式；
（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在疑点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）由直线y=2x+2可以求出A，B的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式和直线BD的解析式；
（2）如图1，2，由（1）的解析式设M（a，－a2+a+2），当△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM时，由相似三角形的性质就可以求出结论；
（3）设P（b，－b2+b+2），H（b，－2b+2）．由平行四边形的性质建立方程求出b的值就可以求出结论．
解答： 解：（1）∵y=2x+2，
∴当x=0时，y=2，
∴B（0，2）．
当y=0时，x=－1，
∴A（－1，0）．
∵抛物线y=－x2+bx+c过点B（0，2），D（3，－4），
∴
解得： ，
∴y=－x2+x+2；
设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得
，
解得： ，
∴直线BD的解析式为：y=－2x+2；
（2）存在．
如图1，设M（a，－a2+a+2）．
∵MN垂直于x轴，
∴MN=－a2+a+2，ON=a．
∵y=－2x+2，
∴y=0时，x=1，
∴C（1，0），
∴OC=1．
∵B（0，2），
∴OB=2．
当△BOC∽△MON时，
∴ ，
∴ ，
解得：a1=1，a2=－2
M（1，2）或（－2，－4）；
如图2，当△BOC∽△ONM时，
，
∴ ，
∴a= 或 ，
∴M（ ， ）或（ ， ）．
∵M在第一象限，
∴符合条件的点M的坐标为（1，2），（ ， ）；
（3）设P（b，－b2+b+2），H（b，－2b+2）．
如图3，∵四边形BOHP是平行四边形，
∴BO=PH=2．
∵PH=－b2+b+2+2b－2=－b2+3b．
∴2=－b2+3b
∴b1=1，b2=2．
当b=1时，P（1，2），
当b=2时，P（2，0）
∴P点的坐标为（1，2）或（2，0）．
点评： 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，平行四边形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
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山东东营数学中考
2015年山东省东营市中考数学试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题3 2015年东营市初中学生学业考试数 学试题 分）（2015??东营）||的相反数是（ 分）（2015??东营）东营市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3 元车费），超过3千米以后，每增加1 千米，加收1.5 元（不足1 千米按1 千米 计）．某人从甲地到乙地经过的路程是x 千米，出租车费为15.5 元，那么x 的最大值是（ 分）（2015??东营）如图，有一个质地均匀的正四面体，其四个面上分别画着圆、等边三角形、菱形、正五边形，投掷该正四面体一次，向下的一面的图形既是轴对称图形又是中 心对称图形的概率是（ 分）（2015??东营）如图，在ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点， 点F在BC边上，连接DE、DF、EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判断 FCE与 EDF 全等（ C=EDF10．（3 分）（2015??东营）如图，在Rt ABC中，ABC=90．AB=AC．点D 是线段AB 上的一点，连结CD．过点B作BGCD，分别交CD、CA 且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论： 是AB的中点，则AF= ABC=9S BDF，其中正确的结论序号是（ 二、填空题：本大题共8小题，11～14 每小题3 分，15～18 每小题3 分，共28 11．（3分）（2015??东营）东营市2014 年城镇居民人均可支配收入是37000 元，比2013 提高了8.9%．37000元用科学记数法表示是 12．（3分）（2015??东营）分解因式：4+12（xy）+9（xy） 13．（3分）（2015??东营）在一次数学测验中，随机抽取了10 份试卷，其成绩如下：85，81， 89，81，72，82，77，81，79，83，则这组数据的中位数为 14．（3分）（2015??东营）4月26 日，2015 黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央 电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大 处的俯角为30，B处的俯角为45．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200 15．（4分）（2015??东营）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的 宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为 16．（4分）（2015??东营）若分式方程 17．（4分）（2015??东营）如图，一只蚂蚁沿着边长为2 的正方体表面从点A 出发，经过3 个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为 18．（4分）（2015??东营）如图放置的 OAB 2015的坐标是 三、解答题：本大题共7小题，共62 19．（7分）（2015??东营）（1）计算：（1） 2015 20．（8分）（2015??东营）东营市为进一步加强和改进学校体育工作，切实提高学生体质健 康水平，决定推进“一校一球队、一级一专项、一人一技能”活动计划，某校决定对学生感兴 趣的球类项目（A：足球，B：篮球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球）进行问卷调查， 学生可根据自己的喜好选修一门，李老师对某班全班同学的选课情况进行统计后，制成了两 幅不完整的统计图（如图） （1）将统计图补充完整； （2）求出该班学生人数； （3）若该校共用学生3500 名，请估计有多少人选修足球？ （4）该班班委5 人中，1 人选修篮球，3 人选修足球，1 人选修排球，李老师要从这5 人中 任选2 人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2 人恰好 人选修篮球，1人选修足球的概率． 21．（8 分）（2015??东营）已知在 ABC中，B=90，以AB上的一点O为圆心，以OA 为半径的圆交AC于点D，交AB于点E． （1）求证：AC??AD=AB??AE； （2）如果BD 是O的切线，D 是切点，E是OB的中点，当BC=2 时，求AC的长． 22．（8 分）（2015??东营）如图是函数y= 与函数y= （1）求证：D是BP的中点； （2）求四边形ODPC的面积． 23．（8 分）（2015??东营）2013 年，东营市某楼盘以每平方米6500 元的均价对外销售，因为 楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015 年的均价为每平方米5265 （1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2016 年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100 平方米的住房，他 持有现金20 万元，可以在银行贷款30 万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均 价计算） 24．（10 分）（2015??东营）如图，两个全等的 ABC和 DFE重叠在一起，固定 ABC， DEF进行如下变换： （1）如图1， DEF 沿直线CB向右平移（即点F 在线段CB上移动），连接AF、AD、BD．请 直接写出S ABC与S四边形AFBD 的关系； 平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么 ABC应 满足什么条件？请给出证明； （3）在（2）的条件下，将 DEF 沿DF 折叠，点E落在FA 的延长线上的点G处，连接 CG，请你在图3 的位置画出图形，并求出sinCGF 25．（13分）（2015??东营）如图，抛物线经过A（2，0），B（ ，0），C（0，2）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得 DCA 的面积最大，求点D 的坐标； （3）设点M 是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足AMH=90？若存在， 请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 2015 年山东省东营市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题3 2015年东营市初中学生学业考试数 学试题 分）（2015??东营）||的相反数是（ 考点：绝对值；相反数．菁优网版权所有 专题： 常规题型． 分析： 一个负数的绝对值是它的相反数，求一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号． 解答： 点评：本题考查了相反数的意义，求一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，不要把 相反数的意义与倒数的意义混淆． 同时考查了绝对值的性质：一个负数的绝对值是它的相反数． 2a+3b=5ab考点： 二次根式的加减法；合并同类项；同底数幂的除法；完全平方公式．菁优网版权所有 分析： 分别利用二次根式的性质化简以及利用同底数幂的除法运算法则和完全平方公式化 简求出即可． 解答： +2ab，故此选项错误；D、2a+3b 无法计算，故此选项错误； 点评：此题主要考查了二次根式的性质化简以及利用同底数幂的除法运算法则和完全平方 公式等知识，正确化简各式是解题关键． 考点：简单组合体的三视图．菁优网版权所有 分析： 找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 解答： 解：从正面看易得第一层有3 个正方形，第二层最左边有一个正方形． 点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 15考点： 平行线的性质；三角形的外角性质．菁优网版权所有 分析： 如图，首先运用平行线的性质求出4，然后借助三角形的外角性质求出3，即可解 决问题． 解答： 解：由题意得：4=2=40； 由外角定理得：4=1+3， 3=41=4020=20， 点评：该题主要考查了三角形外角的性质、平行线的性质等几何知识点及其应用问题；解题 的关键是牢固掌握三角形外角的性质、平行线的性质等几何知识点，这也是灵活运用、 解题的基础． 分）（2015??东营）东营市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3 元车费），超过3千米以后，每增加1 千米，加收1.5 元（不足1 千米按1 千米 计）．某人从甲地到乙地经过的路程是x 千米，出租车费为15.5 元，那么x 的最大值是（ 考点：一元一次不等式的应用．菁优网版权所有 分析： 已知从甲地到乙地共需支付车费15.5 元，从甲地到乙地经过的路程为x 千米，首先去 千米的费用，从而根据题意列出不等式，从而得出答案．解答： 解：设他乘此出租车从甲地到乙地行驶的路程是x 千米，依题意： 8+1.5（x3）15.5， 即：他乘此出租车从甲地到乙地行驶路程不超过8千米． 点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意明确其收费标准分两部分是完成本 题的关键． 考点：比例的性质．菁优网版权所有 专题： 计算题． 分析： 根据合分比性质求解． 解答： 点评：考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质； 合分比性质；等比性质． 分）（2015??东营）如图，有一个质地均匀的正四面体，其四个面上分别画着圆、等边三角形、菱形、正五边形，投掷该正四面体一次，向下的一面的图形既是轴对称图形又是中 心对称图形的概率是（ 考点：概率公式；轴对称图形；中心对称图形．菁优网版权所有 专题： 计算题． 分析： 先根据轴对称图形和中心对称图形的定义得到圆和菱形既是轴对称图形又是中心对 称图形，然后根据概率公式求解． 解答： 解：投掷该正四面体一次，向下的一面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概 点评：本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P（A）=事件A 可能出现的结果数除以所 有可能出现的结果数．也考查了轴对称图形和中心对称图形． 两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等考点： 命题与定理．菁优网版权所有 分析： 根据概率的求法、垂径定理、轴对称图形的概念和三角形确定的判定定理进行判断即 解答：解：确定性事件发生的概率为1 错误；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故B错误； 正多边形都是轴对称图形，故C正确； 两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故D 错误， 点评：本题考查的是命题的真假判断，掌握概率的求法、垂径定理、轴对称图形的概念和三 角形确定的判定定理是解题的关键． 分）（2015??东营）如图，在ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点， 点F在BC边上，连接DE、DF、EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判断 FCE与 EDF 全等（ C=EDF考点： 全等三角形的判定；三角形中位线定理．菁优网版权所有 分析： 根据三角形中位线的性质，可得CEF=DFE，CFE=DEF，根据SAS，可判断 B、C；根据三角形中位线的性质，可得CFE=DEF，根据AAS，可判断D． 解答： CFE没关系，故A错误； B、BF=CF，F 是BC中点，点D、E分别是边AB、AC的中点， DFAC，DEBC， CEF=DFE，CFE=DEF， CEFDFE（ASA），故B正确； C、点D、E分别是边AB、AC的中点， DEBC， CFE=DEF， DFAC， CEF=DFE CEFDFE（ASA），故C正确； D、点D、E分别是边AB、AC的中点， DEBC， CFE=DEF， CEFDFE（AAS），故D 正确； 点评：本题考查了全等三角形的判定，利用了三角形中位线的性质，全等三角形的判定，利 用三角形中位线的性质得出三角形全等的条件是解题关键． 10．（3 分）（2015??东营）如图，在Rt ABC中，ABC=90．AB=AC．点D 是线段AB 上的一点，连结CD．过点B作BGCD，分别交CD、CA 且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论： 是AB的中点，则AF= ABC=9S BDF，其中正确的结论序号是（ 考点：相似形综合题．菁优网版权所有 分析： AFGBFC，可确定结论正确；由AFGAFD 可得AG= AB= BC， 进而由 AFGBFC确定点F 为AC的三等分点，可确定结论正确；当B、C、 四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质得到2=ACB由于ABC=90，AB=AC，得到ACB=CAB=45，于是得到CFD=AFD=90，根据垂径定理得 到DF=DB，故正确；因为F 为AC的三等分点，所以S ABF，所以S ABC=6S BDF，由此确定结论错误． 解答： 解：依题意可得BCAG， AFGBFC， 故结论正确；如右图，1+3=90，1+4=90， ABG与BCD ABGBCD（ASA），AG=BD，又BD=AD， AG=AD； AFG与AFD AFGAFD（SAS）ABC为等腰直角三角形，AC= AB； AFGAFD，AG=AD= AB= BC； AFGBFC， ，FC=2AF，AF= AC= AB． 故结论正确； 四点在同一个圆上时，2=ACB ABC=90，AB=AC， ACB=CAB=45， 2=45， CFD=AFD=90， CD 四点所在圆的直径，BGCD， DF=DB，故正确；AF= AC，S ABC=6S 点评：本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度．对每 一个结论，需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在 逻辑关联关系，需要善加利用． 二、填空题：本大题共8 小题，11～14 每小题3 分，15～18 每小题3 分，共28 11．（3分）（2015??东营）东营市2014 年城镇居民人均可支配收入是37000 元，比2013 提高了8.9%．37000元用科学记数法表示是 3.710 考点：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 分析： 科学记数法的表示形式为a10 的形式，其中1|a|＜10，n为整数．确定n 要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 是负数．解答： 解：37000=3.710 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a10 的形式，其中1|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n 12．（3分）（2015??东营）分解因式：4+12（xy）+9（xy） 考点：因式分解-运用公式法．菁优网版权所有 专题： 计算题． 分析： 原式利用完全平方公式分解即可． 解答： 解：原式=[2+3（xy）] 点评：此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 13．（3 分）（2015??东营）在一次数学测验中，随机抽取了10 份试卷，其成绩如下：85，81， 89，81，72，82，77，81，79，83，则这组数据的中位数为 81 考点：中位数．菁优网版权所有 分析： 先把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位 解答：解：从小到大排列此数据为：72，77，79，81，81，81，82，83，85，89， 第五个和第六个数都是81， 这组数据的中位数为81， 故答案为：81． 点评： 本题考查了确定一组数据的中位数，掌握中位数的概念是解题的关键，注意找中位数 的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数 个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 14．（3 分）（2015??东营）4月26 日，2015 黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央 电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大 处的俯角为30，B处的俯角为45．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200 点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是200 +200 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有 分析： 在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和 即可． 解答： 解：由已知，得A=30，B=45，CD=200， CDAB于点D． 在Rt ACD 中，CDA=90，tanA= AD==200 在RtBCD 中，CDB=90，B=45 DB=CD=200， AB=AD+DB=200 +200， 故答案为：200 +200． 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD 为直角 ABC斜边上的 高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD 与BD 15．（4分）（2015??东营）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的 宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为 0.8 考点：垂径定理的应用；勾股定理．菁优网版权所有 分析： 过O点作OCAB，C为垂足，交O于D，连OA，根据垂径定理得到 AC=BC=0.5m， 再在Rt AOC中，利用勾股定理可求出OC，即可得到CD 解答：解：如图，过O点作OCAB，C为垂足，交O于D、E，连OA， OA=0.5m，AB=0.8m， OCAB， AC=BC=0.4m， 在Rt AOC中，OA OC=0.3m，则CE=0.3+0.5=0.8m， 故答案为：0.8． 点评： 本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 对的弧是解题的关键，注意勾股定理的运用． 16．（4 分）（2015??东营）若分式方程 考点：分式方程的解．菁优网版权所有 专题： 计算题． 分析： 由分式方程无解，得到最简公分母为0 求出x 的值，分式方程去分母转化为整式方程， 的值代入计算即可求出a的值．解答： 解：去分母得：xa=ax+a，即（a1）=2a， 显然a=1 时，方程无解； 由分式方程无解，得到x+1=0，即x=1， 故答案为：1点评： 此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 17．（4 分）（2015??东营）如图，一只蚂蚁沿着边长为2 的正方体表面从点A 出发，经过3 个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为 考点：平面展开-最短路径问题．菁优网版权所有 专题： 计算题． 分析： 将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时 AB最短，根 据三角形MCB与三角形ACN 相似，由相似得比例得到MC=2NC，求出CN 利用勾股定理求出AC的长即可．解答： 解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所 示，此时AB最短， BCMACN， =2，即MC=2NC，CN= MN= 在RtACN 中，根据勾股定理得：AC= 点评：此题考查了平面展开最短路径问题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾 股定理，熟练求出CN 的长是解本题的关键． 18．（4 分）（2015??东营）如图放置的 OAB 2015的坐标是 考点：一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．菁优网版权所有 专题： 规律型． 分析： 根据题意得出直线BB 的解析式为：y=x，进而得出B，B 坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案． 解答： C，垂足为C，由题意可得：A（0，1），AOA OC=30，CB 同理可得出：A的横坐标为：1， 点评：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及数字变化类，得出A 点横纵坐标变 化规律是解题关键． 三、解答题：本大题共7 小题，共62 19．（7分）（2015??东营）（1）计算：（1） 2015 考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解二元一次方程组；特殊角的三角函数值．菁 优网版权所有 专题： 计算题． 分析： （1）原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用算术平方根定义计算，第三项利 用零指数幂法则计算，第四项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用负整数指数 幂法则计算即可得到结果； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 解答： 解：（1）原式=13+1+3 代入得：y=1，则方程组的解为 点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．（8 分）（2015??东营）东营市为进一步加强和改进学校体育工作，切实提高学生体质健 康水平，决定推进“一校一球队、一级一专项、一人一技能”活动计划，某校决定对学生感兴 趣的球类项目（A：足球，B：篮球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球）进行问卷调查， 学生可根据自己的喜好选修一门，李老师对某班全班同学的选课情况进行统计后，制成了两 幅不完整的统计图（如图） （1）将统计图补充完整； （2）求出该班学生人数； （3）若该校共用学生3500 名，请估计有多少人选修足球？ （4）该班班委5 人中，1 人选修篮球，3 人选修足球，1 人选修排球，李老师要从这5 人中 任选2 人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2 人恰好 人选修篮球，1人选修足球的概率． 考点： 列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有 专题： 数形结合． 分析： （1）、（2）先利用B的人数和所占的百分比计算出全班人数，再利用C、E的百分比 计算出C、E的人数，则用全班人数分别减去B、C、D、E的人数得到A 的人数，然 后计算A、D 所占百分比； （3）根据样本估计总体，用40%表示全校学生对足球感兴趣的百分比，然后用3500 乘以40%即可得到选修足球的人数； （4）先利用树状图展示所有20 种等可能的结果数，找出选出的2 人恰好1 人选修篮 人选修足球所占结果数，然后根据概率公式求解．解答： 解：（1）该班人数为816%=50（人）， C的人数=24%50=12（人），E的人数=8%50=4（人）， 所占的百分比=100%=40%，D 所占的百分比= 100%=12%， 如图， （2）由（1）得该班学生人数为50 （3）350040%=1400（人），估计有1400 人选修足球； （4）画树状图： 共有20 种等可能的结果数，其中选出的2 人恰好1 人选修篮球，1 人选修足球占6 所以选出的2人恰好1 人选修篮球，1 人选修足球的概率= 点评：本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n， 再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也 考查了样本估计总体、扇形统计图和条形统计图． 21．（8 分）（2015??东营）已知在 ABC中，B=90，以AB上的一点O为圆心，以OA 为半径的圆交AC于点D，交AB于点E． （1）求证：AC??AD=AB??AE； （2）如果BD 是O的切线，D 是切点，E是OB的中点，当BC=2 时，求AC的长． 考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 分析： （1）连接DE，根据圆周角定理求得ADE=90，得出ADE=ABC，进而证得 ADEABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得结论；（2）连接OD，根据切线的性质求得ODBD，在RT OBD 中，根据已知求得 OBD=30，进而求得BAC=30，根据30的直角三角形的性质即可求得AC的长． 解答： （1）证明：连接DE， AE是直径， ADE=90， ADE=ABC， DAE=BAC， ADEABC， AC??AD=AB??AE；（2）解：连接OD， BD 是O的切线， ODBD， 在RT OBD 中，OE=BE=OD， OB=2OD， OBD=30， 同理BAC=30， 在RT ABC中，AC=2BC=22=4． 点评： 本题考查了圆周角定理的应用，三角形相似的判定和性质，切线的性质，30的直角 三角形的性质等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 22．（8 分）（2015??东营）如图是函数y= 与函数y= （1）求证：D是BP的中点； （2）求四边形ODPC的面积． 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有 分析： （1）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得P、D 点坐标，根据线段中点的定义， 可得答案； （2）根据图象割补法，可得面积的和差，可得答案． 解答： （1）证明：点P在函数y= 在函数y=上，BPx 设点D坐标为（ 由题意，得BD= ，BP= =2BD， 是BP的中点．（2）解：S四边形OAPB S四边形OCPD=S四边形PBOA 点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数图象上的点满足函数解析 式，线段中点的定义，图形割补法是求图形面积的重要方法． 23．（8 分）（2015??东营）2013 年，东营市某楼盘以每平方米6500 元的均价对外销售，因为 楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015 年的均价为每平方米5265 （1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2016 年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100 平方米的住房，他 持有现金20 万元，可以在银行贷款30 万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均 价计算） 考点： 一元二次方程的应用．菁优网版权所有 专题： 增长率问题． 分析： （1）设平均每年下调的百分率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）如果下调的百分率相同，求出2016 年的房价，进而确定出100 平方米的总房款， 即可做出判断． 解答： 解：（1）设平均每年下调的百分率为x， 根据题意得：6500（1x） =1.9（舍去），则平均每年下调的百分率为10%； （2）如果下调的百分率相同，2016 年的房价为5265（110%）=4738.5（元/米 则100平方米的住房总房款为1004738.5=473850=47.385（万元）， 20+30＞47.385， 张强的愿望可以实现． 点评： 此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． 24．（10 分）（2015??东营）如图，两个全等的 ABC和 DFE重叠在一起，固定 ABC， DEF进行如下变换： （1）如图1， DEF 沿直线CB向右平移（即点F 在线段CB上移动），连接AF、AD、BD．请 直接写出S ABC与S四边形AFBD 的关系； 平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么 ABC应 满足什么条件？请给出证明； （3）在（2）的条件下，将 DEF 沿DF 折叠，点E落在FA 的延长线上的点G处，连接 CG，请你在图3 的位置画出图形，并求出sinCGF 考点：几何变换综合题．菁优网版权所有 分析： （1）利用平行线的性质以及三角形面积关系得出答案； （2）利用平行四边形的判定得出四边形AFBD为平行四边形，进而得出AF= BC=BF， 求出答案； （3）根据题意画出图形，利用sinCGF= 求出即可． 解答： ABC=S四边形AFBD ABC=S四边形AFBD ABC为等腰直角三角形，即：AB=AC，BAC=90，理由如下：F 为BC的中点， CF=BF， CF=AD， AD=BF， 又ADBF， 四边形AFBD 为平行四边形， AB=AC，F 为BC的中点， AFBC， 平行四边形AFBD 为矩形， BAC=90，F 为BC的中点， AF= BC=BF， 四边形AFBD 为正方形； （3）如图3 所示： ABC为等腰直角三角形，AFBC，设CF=k，则GF=EF=CB=2k， 由勾股定理得：CG= 点评：此题主要考查了正方形的判定以及等腰直角三角形的性质和锐角三角函数关系等知 识，熟练应用正方形的判定方法是解题关键． 25．（13 分）（2015??东营）如图，抛物线经过A（2，0），B（ ，0），C（0，2）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得 DCA 的面积最大，求点D 的坐标； （3）设点M 是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足AMH=90？若存在， 请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析： （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式； （2）根据图形的割补法，可得面积的和差，根据二次函数的性质，可得答案； （3）根据余角的性质，可得AMN=NKM，根据相似三角形的判定与性质，可得 ，根据解方程组，可得H点坐标．解答： 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax +bx+c，将A（2，0），B（，0），C（0，2） 代入解析式，得 +5x+2；（2）由题意可求得AC的解析式为y=x+2， 如图1 +5t+2），过D作DEx E点的坐标为（t，t+2），DE=t+2（2t 4t，用h表示点C到线段DC所在直线的距离， DE??h+DE（2h）= DE??2=DE=2t DCA的面积最大，此时D AMN+KMA=90，NKM+KMN=90，AMN=NKM． ANM=MNK， 直线MK的解析式为y= 直线MN与抛物线有两个交点M、H， 抛物线上存在点H，满足AMH=90， 此时点H的坐标为（ 点评：本题考察了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用图形割补 法求面积是解题关键，（3）利用相似三角形的判定与性质得出 是解题关键，解方程组是此题的难点．
山东东营数学中考
2015 年山东省东营市中考数学试卷 共 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 分 2015 年东营市初中学生学业考试数学试题年东营市初中学生学业考试数学试题 1．（3 分）（2015 东营）|－ |的相反数是（ ） A． B． － C．3 D．－3 2．（3 分）（2015 东营）下列计算正确的是（ ） A． － = B．a 6 a 3 =a 2 C．（a+b） 2 =a 2 +b 2 D．2a+3b=5ab 3．（3 分）（2015 东营）由六个小正方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ） A． B． C． D． 4． （3 分） （2015 东营）如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上， 1=20 ， 2=40 ，则 3 等于（ ） A．50 B．30 C．20 D．15 5．（3 分）（2015 东营）东营市出租车的收费标准是：起步价 8 元（即行驶距离不超过 3 千米都需付 8 元车费），超过 3 千米以后，每增加 1 千米，加收 1.5 元（不足 1 千米按 1 千米计）．某人从甲地到乙地经过的路程是 x 千米，出租车费为 15.5 元，那么 x 的最大值是（ ） A．11 B．8 C．7 D．5 6．（3 分）（2015 东营）若 = ，则 的值为（ ） A．1 B． C． D． 7．（3 分）（2015 东营）如图，有一个质地均匀的正四面体，其四个面上分别画着圆、等边三角形、菱形、正五边形，投掷该正四面体一次，向下的一面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ） A．1 B． C． D． 8．（3 分）（2015 东营）下列命题中是真命题的是（ ） A．确定性事件发生的概率为 1 B． 平分弦的直径垂直于弦 C． 正多边形都是轴对称图形 D．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等 9．（3 分）（2015 东营）如图，在△ABC 中，AB＞AC，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，点 F 在 BC 边上，连接 DE、DF、EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判断△FCE 与△EDF全等（ ） A． A= DFE B．BF=CF C．DF‖AC D． C= EDF 10．（3 分）（2015 东营）如图，在 Rt△ABC 中， ABC=90 ．AB=AC．点 D 是线段 AB上的一点，连结 CD．过点 B 作 BG CD，分别交 CD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于AB 的直线相交于点 G，连结 DF，给出以下四个结论：① = ；②若点 D 是 AB 的中点，则AF= AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若 = ，则S △ABC =9S △BDF ，其中正确的结论序号是（ ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 共 二、填空题：本大题共 8 小题，11 ～14 每小题 3 分，15 ～18 每小题 3 分，共 28 分 11．（3 分）（2015 东营）东营市 2014 年城镇居民人均可支配收入是 37000 元，比 2013 年提高了 8.9%．37000 元用科学记数法表示是 元． 12．（3 分）（2015 东营）分解因式：4+12（x－y）+9（x－y） 2 = ． 13．（3 分）（2015 东营）在一次数学测验中，随机抽取了 10 份试卷，其成绩如下：85，81，89，81，72，82，77，81，79，83，则这组数据的中位数为 ． 14．（3 分）（2015 东营）4 月 26 日，2015 黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道 A 处的俯角为 30 ，B 处的俯角为 45 ．如果此时直升机镜头 C 处的高度 CD 为 200 米，点 A、D、B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是 米． 15．（4 分）（2015 东营）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 1m，其中水面的宽 AB 为 0.8m，则排水管内水的深度为 m． 16．（4 分）（2015 东营）若分式方程 =a 无解，则 a 的值为 ． 17．（4 分）（2015 东营）如图，一只蚂蚁沿着边长为 2 的正方体表面从点 A 出发，经过 3个面爬到点 B，如果它运动的路径是最短的，则 AC 的长为 ． 18．（4 分）（2015 东营）如图放置的△OAB 1 ，△B 1 A 1 B 2 ，△B 2 A 2 B 3 ， 都是边长为 1 的等边三角形，点A在x轴上，点O，B 1 ，B 2 ，B 3 ， 都在直线l上，则点A 2015 的坐标是 ． 共 三、解答题：本大题共 7 小题，共 62 分 19．（7 分）（2015 东营）（1）计算：（－1） 2015 － +（3－ ） 0 +|3－ |+（tan30 ）－ 1 （2）解方程组： ． 20．（8 分）（2015 东营）东营市为进一步加强和改进学校体育工作，切实提高学生体质健康水平，决定推进 一校一球队、一级一专项、一人一技能 活动计划，某校决定对学生感兴趣的球类项目（A：足球，B：篮球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球）进行问卷调查，学生可根据自己的喜好选修一门，李老师对某班全班同学的选课情况进行统计后，制成了两幅不完整的统计图（如图） （1）将统计图补充完整； （2）求出该班学生人数； （3）若该校共用学生 3500 名，请估计有多少人选修足球？ （4）该班班委 5 人中，1 人选修篮球，3 人选修足球，1 人选修排球，李老师要从这 5 人中任选 2 人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的 2 人恰好1 人选修篮球，1 人选修足球的概率． 21．（8 分）（2015 东营）已知在△ABC 中， B=90 ，以 AB 上的一点 O 为圆心，以 OA为半径的圆交 AC 于点 D，交 AB 于点 E． （1）求证：AC AD=AB AE； （2）如果 BD 是⊙O 的切线，D 是切点，E 是 OB 的中点，当 BC=2 时，求 AC 的长． 22．（8 分）（2015 东营）如图是函数 y= 与函数 y= 在第一象限内的图象，点 P 是 y= 的图象上一动点，PA x 轴于点 A，交 y= 的图象于点 C，PB y 轴于点 B，交 y= 的图象于点 D． （1）求证：D 是 BP 的中点； （2）求四边形 ODPC 的面积． 23．（8 分）（2015 东营）2013 年，东营市某楼盘以每平方米 6500 元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米 5265 元． （1）求平均每年下调的百分率； （2）假设 2016 年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套 100 平方米的住房，他持有现金 20 万元，可以在银行贷款 30 万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算） 24．（10 分）（2015 东营）如图，两个全等的△ABC 和△DFE 重叠在一起，固定△ABC，将△DEF 进行如下变换： （1）如图 1，△DEF 沿直线 CB 向右平移（即点 F 在线段 CB 上移动），连接 AF、AD、BD．请直接写出 S △ABC 与 S 四边形 AFBD 的关系； （2）如图 2，当点 F 平移到线段 BC 的中点时，若四边形 AFBD 为正方形，那么△ABC 应满足什么条件？请给出证明； （3）在（2）的条件下，将△DEF 沿 DF 折叠，点 E 落在 FA 的延长线上的点 G 处，连接CG，请你在图 3 的位置画出图形，并求出 sin CGF 的值． 25．（13 分）（2015 东营）如图，抛物线经过 A（－2，0），B（－ ，0），C（0，2）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线 AC 下方的抛物线上有一点 D，使得△DCA 的面积最大，求点 D 的坐标； （3）设点 M 是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点 H 满足 AMH=90 ？若存在，请求出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由． 2015 年山东省东营市中考数学试卷 参考答案与试题解析 共 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 分 2015 年东营市初中学生学业考试数学试题年东营市初中学生学业考试数学试题 1．（3 分）（2015 东营）|－ |的相反数是（ ） A． B． － C．3 D．－3 考点：绝对值；相反数． 专题：常规题型． 分析：一个负数的绝对值是它的相反数，求一个数的相反数就是在这个数前面添上 － 号．解答：解：∵|－ |= ， 的相反数是－ ． 故选：B． 点评：本题考查了相反数的意义，求一个数的相反数就是在这个数前面添上 － 号，不要把相反数的意义与倒数的意义混淆． 同时考查了绝对值的性质：一个负数的绝对值是它的相反数． 2．（3 分）（2015 东营）下列计算正确的是（ ） A． － = B．a 6 a 3 =a 2 C．（a+b） 2 =a 2 +b 2 D．2a+3b=5ab 考点：二次根式的加减法；合并同类项；同底数幂的除法；完全平方公式． 分析：分别利用二次根式的性质化简以及利用同底数幂的除法运算法则和完全平方公式化简求出即可． 解答：解：A、 － = ，故此选项正确； B、a 6 a 3 =a 3 ，故此选项错误； C、（a+b） 2 =a 2 +b 2 +2ab，故此选项错误； D、2a+3b 无法计算，故此选项错误； 故选：A． 点评：此题主要考查了二次根式的性质化简以及利用同底数幂的除法运算法则和完全平方公式等知识，正确化简各式是解题关键． 3．（3 分）（2015 东营）由六个小正方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ） A． B． C． D． 考点：简单组合体的三视图． 分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 解答：解：从正面看易得第一层有 3 个正方形，第二层最左边有一个正方形． 故选 B． 点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 4． （3 分） （2015 东营）如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上， 1=20 ， 2=40 ，则 3 等于（ ） A．50 B．30 C．20 D．15 考点：平行线的性质；三角形的外角性质． 分析：如图，首先运用平行线的性质求出 4，然后借助三角形的外角性质求出 3，即可解决问题． 解答：解：由题意得： 4= 2=40 ； 由外角定理得： 4= 1+ 3， 3= 4－ 1=40 －20 =20 ， 故选 C． 点评：该题主要考查了三角形外角的性质、平行线的性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握三角形外角的性质、平行线的性质等几何知识点，这也是灵活运用、解题的基础． 5．（3 分）（2015 东营）东营市出租车的收费标准是：起步价 8 元（即行驶距离不超过 3 千米都需付 8 元车费），超过 3 千米以后，每增加 1 千米，加收 1.5 元（不足 1 千米按 1 千米计）．某人从甲地到乙地经过的路程是 x 千米，出租车费为 15.5 元，那么 x 的最大值是（ ） A．11 B．8 C．7 D．5 考点：一元一次不等式的应用． 分析：已知从甲地到乙地共需支付车费 15.5 元，从甲地到乙地经过的路程为 x 千米，首先去掉前 3 千米的费用，从而根据题意列出不等式，从而得出答案． 解答：解：设他乘此出租车从甲地到乙地行驶的路程是 x 千米，依题意： 8+1.5（x－3） 15.5， 解得：x 8． 即：他乘此出租车从甲地到乙地行驶路程不超过 8 千米． 故选：B． 点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意明确其收费标准分两部分是完成本题的关键． 6．（3 分）（2015 东营）若 = ，则 的值为（ ） A．1 B． C． D． 考点：比例的性质． 专题：计算题． 分析：根据合分比性质求解． 解答：解：∵ = ， = = ． 故选 D． 点评：考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质． 7．（3 分）（2015 东营）如图，有一个质地均匀的正四面体，其四个面上分别画着圆、等边三角形、菱形、正五边形，投掷该正四面体一次，向下的一面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ） A．1 B． C． D． 考点：概率公式；轴对称图形；中心对称图形． 专题：计算题． 分析：先根据轴对称图形和中心对称图形的定义得到圆和菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，然后根据概率公式求解． 解答：解：投掷该正四面体一次，向下的一面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概 率= = ． 故选 D． 点评：本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了轴对称图形和中心对称图形． 8．（3 分）（2015 东营）下列命题中是真命题的是（ ） A．确定性事件发生的概率为 1 B． 平分弦的直径垂直于弦 C． 正多边形都是轴对称图形 D．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等 考点：命题与定理． 分析：根据概率的求法、垂径定理、轴对称图形的概念和三角形确定的判定定理进行判断即可． 解答：解：确定性事件发生的概率为 1 或 0，故 A 错误； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故 B 错误； 正多边形都是轴对称图形，故 C 正确； 两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故 D 错误， 故选：C． 点评：本题考查的是命题的真假判断，掌握概率的求法、垂径定理、轴对称图形的概念和三角形确定的判定定理是解题的关键． 9．（3 分）（2015 东营）如图，在△ABC 中，AB＞AC，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，点 F 在 BC 边上，连接 DE、DF、EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判断△FCE 与△EDF全等（ ） A． A= DFE B．BF=CF C．DF‖AC D． C= EDF 考点：全等三角形的判定；三角形中位线定理． 分析：根据三角形中位线的性质，可得 CEF= DFE， CFE= DEF，根据 SAS，可判断B、C；根据三角形中位线的性质，可得 CFE= DEF，根据 AAS，可判断 D． 解答：解：A、 A 于△CFE 没关系，故 A 错误； B、BF=CF，F 是 BC 中点，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点， DF‖AC，DE‖BC， CEF= DFE， CFE= DEF， 在△CEF 和△DFE 中 ， △CEF≌△DFE （ASA），故 B 正确； C、点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点， DE‖BC， CFE= DEF， ∵DF‖AC， CEF= DFE 在△CEF 和△DFE 中 ， △CEF≌△DFE （ASA），故 C 正确； D、点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点， DE‖BC， CFE= DEF， ， △CEF≌△DFE （AAS），故 D 正确； 故选：A． 点评：本题考查了全等三角形的判定，利用了三角形中位线的性质，全等三角形的判定，利用三角形中位线的性质得出三角形全等的条件是解题关键． 10．（3 分）（2015 东营）如图，在 Rt△ABC 中， ABC=90 ．AB=AC．点 D 是线段 AB上的一点，连结 CD．过点 B 作 BG CD，分别交 CD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于AB 的直线相交于点 G，连结 DF，给出以下四个结论：① = ；②若点 D 是 AB 的中点，则AF= AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若 = ，则S △ABC =9S △BDF ，其中正确的结论序号是（ ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 考点：相似形综合题． 分析：由△AFG∽△BFC，可确定结论①正确；由△AFG≌△AFD 可得 AG= AB= BC，进而由△AFG∽△BFC 确定点 F 为 AC 的三等分点，可确定结论②正确；当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质得到 2= ACB 由于 ABC=90 ，AB=AC，得到 ACB= CAB=45 ，于是得到 CFD= AFD=90 ，根据垂径定理得到 DF=DB，故③正确；因为 F 为 AC 的三等分点，所以 S △ABF = S △ABC ，又 S △BDF = S △ABF ，所以 S △ABC =6S △BDF ，由此确定结论④错误． 解答：解：依题意可得 BC‖AG， △AFG∽△BFC， ， 又 AB=BC， ． 故结论①正确； 如右图，∵ 1+ 3=90 ， 1+ 4=90 ， 3= 4． 在△ABG 与△BCD 中， ， △ABG≌△BCD（ASA）， AG=BD，又 BD=AD， AG=AD； 在△AFG 与△AFD 中， ， △AFG≌△AFD（SAS） ∵△ABC 为等腰直角三角形， AC= AB； ∵△AFG≌△AFD， AG=AD= AB= BC； ∵△AFG∽△BFC， = ， FC=2AF， AF= AC= AB． 故结论②正确； 当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时， 2= ACB ∵ ABC=90 ，AB=AC， ACB= CAB=45 ， 2=45 ， CFD= AFD=90 ， CD 是 B、C、F、D 四点所在圆的直径， ∵BG CD， ， DF=DB，故③正确； ∵AF= AC， S △ABF = S △ABC ；∵ = ， S △BDF = S △ABF ， S △BDF = S △ABC ，即 S △ABC =9S △BDF ． 故结论④正确． 故选 D． 点评：本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度．对每一个结论，需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用． 共 二、填空题：本大题共 8 小题，11 ～14 每小题 3 分，15 ～18 每小题 3 分，共 28 分 11．（3 分）（2015 东营）东营市 2014 年城镇居民人均可支配收入是 37000 元，比 2013 年提高了 8.9%．37000 元用科学记数法表示是 3.7 10 4 元． 考点：科学记数法 表示较大的数． 分析：科学记数法的表示形式为 a 10 n 的形式，其中 1 |a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：37000=3.7 10 4 ， 故答案为：3.7 10 4 ． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a 10 n 的形式，其中 1 |a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 12．（3 分）（2015 东营）分解因式：4+12（x－y）+9（x－y） 2 = （3x－3y+2） 2 ． 考点：因式分解-运用公式法． 专题：计算题． 分析：原式利用完全平方公式分解即可． 解答：解：原式=[2+3（x－y）] 2 =（3x－3y+2） 2 ． 故答案为：（3x－3y+2） 2 点评：此题考查了因式分解－运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 13．（3 分）（2015 东营）在一次数学测验中，随机抽取了 10 份试卷，其成绩如下：85，81，89，81，72，82，77，81，79，83，则这组数据的中位数为 81 ． 考点：中位数． 分析：先把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数． 解答：解：从小到大排列此数据为：72，77，79，81，81，81，82，83，85，89， 第五个和第六个数都是 81， 这组数据的中位数为 81， 故答案为：81． 点评：本题考查了确定一组数据的中位数，掌握中位数的概念是解题的关键，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 14．（3 分）（2015 东营）4 月 26 日，2015 黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道 A 处的俯角为 30 ，B 处的俯角为 45 ．如果此时直升机镜头 C 处的高度 CD 为 200 米，点 A、D、B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是 200 +200 米． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析：在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可． 解答：解：由已知，得 A=30 ， B=45 ，CD=200， ∵CD AB 于点 D． 在 Rt△ACD 中， CDA=90 ，tanA= ， AD= =200 ， 在 Rt△BCD 中， CDB=90 ， B=45 DB=CD=200， AB=AD+DB=200 +200， 故答案为：200 +200． 点评：本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用 CD 为直角△ABC 斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出 AD 与 BD 的长． 15．（4 分）（2015 东营）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 1m，其中水面的宽 AB 为 0.8m，则排水管内水的深度为 0.8 m． 考点：垂径定理的应用；勾股定理． 分析：过 O 点作 OC AB，C 为垂足，交⊙O 于 D，连 OA，根据垂径定理得到 AC=BC=0.5m，再在 Rt△AOC 中，利用勾股定理可求出 OC，即可得到 CD 的值，即水的深度． 解答：解：如图，过 O 点作 OC AB，C 为垂足，交⊙O 于 D、E，连 OA， OA=0.5m，AB=0.8m， ∵OC AB， AC=BC=0.4m， 在 Rt△AOC 中，OA 2 =AC 2 +OC 2 ， OC=0.3m， 则 CE=0.3+0.5=0.8m， 故答案为：0.8． 点评：本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解题的关键，注意勾股定理的运用． 16．（4 分）（2015 东营）若分式方程 =a 无解，则 a 的值为 1 ． 考点：分式方程的解． 专题：计算题． 分析：由分式方程无解，得到最简公分母为 0 求出 x 的值，分式方程去分母转化为整式方程，把 x 的值代入计算即可求出 a 的值． 解答：解：去分母得：x－a=ax+a，即（a－1）x=－2a， 显然 a=1 时，方程无解； 由分式方程无解，得到 x+1=0，即 x=－1， 把 x=－1 代入整式方程得：－1－a=－a+1， 解得：a=－1， 综上，a 的值为 1， 故答案为： 1 点评：此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为 0． 17．（4 分）（2015 东营）如图，一只蚂蚁沿着边长为 2 的正方体表面从点 A 出发，经过 3个面爬到点 B，如果它运动的路径是最短的，则 AC 的长为 ． 考点：平面展开-最短路径问题． 专题：计算题． 分析：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时 AB 最短，根据三角形 MCB 与三角形 ACN 相似，由相似得比例得到 MC=2NC，求出 CN 的长，利用勾股定理求出 AC 的长即可． 解答：解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时 AB 最短， ∵△BCM∽△ACN， = ，即 = =2，即 MC=2NC， CN= MN= ， 在 Rt△ACN 中，根据勾股定理得：AC= = ， 故答案为： ． 点评：此题考查了平面展开－最短路径问题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练求出 CN 的长是解本题的关键． 18．（4 分）（2015 东营）如图放置的△OAB 1 ，△B 1 A 1 B 2 ，△B 2 A 2 B 3 ， 都是边长为 1 的等边三角形，点 A 在 x 轴上，点 O，B 1 ，B 2 ，B 3 ， 都在直线 l 上，则点 A 2015 的坐标是 （ ，） ． 考点：一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质． 专题：规律型． 分析：根据题意得出直线 BB 1 的解析式为：y= x，进而得出 B，B 1 ，B 2 ，B 3 坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案． 解答：解：过 B 1 向 x 轴作垂线 B 1 C，垂足为 C， 由题意可得：A（0，1），AO‖A 1 B 1 ， B 1 OC=30 ， CB 1 =OB 1 cos30 = ， B 1 的横坐标为： ，则 B 1 的纵坐标为： ， 点 B 1 ，B 2 ，B 3 ， 都在直线 y= x 上， B 1 （ ， ）， 同理可得出：A 的横坐标为：1， y= ， A 2 （ ， ）， A n （1+ ， ）． A 2015 （ ， ）． 故答案为（ ， ）． 点评：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及数字变化类，得出 A 点横纵坐标变化规律是解题关键． 共 三、解答题：本大题共 7 小题，共 62 分 19．（7 分）（2015 东营）（1）计算：（－1） 2015 － +（3－ ） 0 +|3－ |+（tan30 ）－ 1 （2）解方程组： ． 考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解二元一次方程组；特殊角的三角函数值． 专题：计算题． 分析：（1）原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用算术平方根定义计算，第三项利用零指数幂法则计算，第四项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 解答：解：（1）原式=－1－3+1+3－ + =0； （2） ， ①+②得：3x=15，即 x=5， 把 x=5 代入①得：y=1， 则方程组的解为 ． 点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．（8 分）（2015 东营）东营市为进一步加强和改进学校体育工作，切实提高学生体质健康水平，决定推进 一校一球队、一级一专项、一人一技能 活动计划，某校决定对学生感兴趣的球类项目（A：足球，B：篮球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球）进行问卷调查，学生可根据自己的喜好选修一门，李老师对某班全班同学的选课情况进行统计后，制成了两幅不完整的统计图（如图） （1）将统计图补充完整； （2）求出该班学生人数； （3）若该校共用学生 3500 名，请估计有多少人选修足球？ （4）该班班委 5 人中，1 人选修篮球，3 人选修足球，1 人选修排球，李老师要从这 5 人中任选 2 人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的 2 人恰好1 人选修篮球，1 人选修足球的概率． 考点：列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图． 专题：数形结合． 分析：（1）、（2）先利用 B 的人数和所占的百分比计算出全班人数，再利用 C、E 的百分比计算出 C、E 的人数，则用全班人数分别减去 B、C、D、E 的人数得到 A 的人数，然后计算 A、D 所占百分比； （3）根据样本估计总体，用 40%表示全校学生对足球感兴趣的百分比，然后用 3500乘以 40%即可得到选修足球的人数； （4）先利用树状图展示所有 20 种等可能的结果数，找出选出的 2 人恰好 1 人选修篮球，1 人选修足球所占结果数，然后根据概率公式求解． 解答：解：（1）∵该班人数为 8 16%=50（人）， C 的人数=24% 50=12（人），E 的人数=8% 50=4（人）， A 的人数=50－8－12－4－6=20（人）， A 所占的百分比= 100%=40%，D 所占的百分比= 100%=12%， 如图， （2）由（1）得该班学生人数为 50 人； （3）3500 40%=1400（人）， 估计有 1400 人选修足球； （4）画树状图： 共有 20 种等可能的结果数，其中选出的 2 人恰好 1 人选修篮球，1 人选修足球占 6种， 所以选出的 2 人恰好 1 人选修篮球，1 人选修足球的概率= = ． 点评：本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了样本估计总体、扇形统计图和条形统计图． 21．（8 分）（2015 东营）已知在△ABC 中， B=90 ，以 AB 上的一点 O 为圆心，以 OA为半径的圆交 AC 于点 D，交 AB 于点 E． （1）求证：AC AD=AB AE； （2）如果 BD 是⊙O 的切线，D 是切点，E 是 OB 的中点，当 BC=2 时，求 AC 的长． 考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质． 分析：（1）连接 DE，根据圆周角定理求得 ADE=90 ，得出 ADE= ABC，进而证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得结论； （2）连接 OD，根据切线的性质求得 OD BD，在 RT△OBD 中，根据已知求得 OBD=30 ，进而求得 BAC=30 ，根据 30 的直角三角形的性质即可求得 AC 的长．解答：（1）证明：连接 DE， ∵AE 是直径， ADE=90 ， ADE= ABC， ∵ DAE= BAC， △ADE∽△ABC， = ， AC AD=AB AE； （2）解：连接 OD， ∵BD 是⊙O 的切线， OD BD， 在 RT△OBD 中，OE=BE=OD， OB=2OD， OBD=3(本文来自：WWw.DXF5.com 东 星 资 源 网:
山东东营数学中考)0 ， 同理 BAC=30 ， 在 RT△ABC 中，AC=2BC=2 2=4． 点评：本题考查了圆周角定理的应用，三角形相似的判定和性质，切线的性质，30 的直角三角形的性质等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 22．（8 分）（2015 东营）如图是函数 y= 与函数 y= 在第一象限内的图象，点 P 是 y= 的图象上一动点，PA x 轴于点 A，交 y= 的图象于点 C，PB y 轴于点 B，交 y= 的图象于点 D． （1）求证：D 是 BP 的中点； （2）求四边形 ODPC 的面积． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 分析：（1）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得 P、D 点坐标，根据线段中点的定义，可得答案； （2）根据图象割补法，可得面积的和差，可得答案． 解答：（1）证明：∵点 P 在函数 y= 上， 设 P 点坐标为（ ，m）． ∵点 D 在函数 y= 上，BP‖x 轴， 设点 D 坐标为（ ，m）， 由题意，得 BD= ，BP= =2BD， D 是 BP 的中点． （2）解：S 四边形 OAPB = m=6， 设 C 点坐标为（x， ），D 点坐标为（ ，y）， S △OBD = y = ， S △OAC = x = ， S 四边形 OCPD =S 四边形 PBOA －S △OBD －S △OAC =6－ － =3． 点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数图象上的点满足函数解析式，线段中点的定义，图形割补法是求图形面积的重要方法． 23．（8 分）（2015 东营）2013 年，东营市某楼盘以每平方米 6500 元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米 5265 元． （1）求平均每年下调的百分率； （2）假设 2016 年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套 100 平方米的住房，他持有现金 20 万元，可以在银行贷款 30 万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算） 考点：一元二次方程的应用． 专题：增长率问题． 分析：（1）设平均每年下调的百分率为 x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）如果下调的百分率相同，求出 2016 年的房价，进而确定出 100 平方米的总房款，即可做出判断． 解答：解：（1）设平均每年下调的百分率为 x， 根据题意得：6500（1－x） 2 =5265， 解得：x 1 =0.1=10%，x 2 =1.9（舍去）， 则平均每年下调的百分率为 10%； （2）如果下调的百分率相同，2016 年的房价为 5265 （1－10%）=4738.5（元/米2 ），则 100 平方米的住房总房款为 100 4738.5=473850=47.385（万元）， ∵20+30＞47.385， 张强的愿望可以实现． 点评：此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． 24．（10 分）（2015 东营）如图，两个全等的△ABC 和△DFE 重叠在一起，固定△ABC，将△DEF 进行如下变换： （1）如图 1，△DEF 沿直线 CB 向右平移（即点 F 在线段 CB 上移动），连接 AF、AD、BD．请直接写出 S △ABC 与 S 四边形 AFBD 的关系； （2）如图 2，当点 F 平移到线段 BC 的中点时，若四边形 AFBD 为正方形，那么△ABC 应满足什么条件？请给出证明； （3）在（2）的条件下，将△DEF 沿 DF 折叠，点 E 落在 FA 的延长线上的点 G 处，连接CG，请你在图 3 的位置画出图形，并求出 sin CGF 的值． 考点：几何变换综合题． 分析：（1）利用平行线的性质以及三角形面积关系得出答案； （2）利用平行四边形的判定得出四边形AFBD为平行四边形，进而得出AF= BC=BF，求出答案； （3）根据题意画出图形，利用 sin CGF= 求出即可． 解答：解：（1）S △ABC =S 四边形 AFBD ， 理由：由题意可得：AD‖EC， 则 S △ADF =S △ABD ， 故 S △ACF =S △ADF =S △ABD ， 则 S △ABC =S 四边形 AFBD ； （2）△ABC 为等腰直角三角形，即：AB=AC， BAC=90 ， 理由如下：∵F 为 BC 的中点， CF=BF， ∵CF=AD， AD=BF， 又∵AD‖BF， 四边形 AFBD 为平行四边形， ∵AB=AC，F 为 BC 的中点， AF BC， 平行四边形 AFBD 为矩形， ∵ BAC=90 ，F 为 BC 的中点， AF= BC=BF， 四边形 AFBD 为正方形； （3）如图 3 所示： 由（2）知，△ABC 为等腰直角三角形，AF BC， 设 CF=k，则 GF=EF=CB=2k， 由勾股定理得：CG= k， sin CGF= = = ． 点评：此题主要考查了正方形的判定以及等腰直角三角形的性质和锐角三角函数关系等知识，熟练应用正方形的判定方法是解题关键． 25．（13 分）（2015 东营）如图，抛物线经过 A（－2，0），B（－ ，0），C（0，2）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线 AC 下方的抛物线上有一点 D，使得△DCA 的面积最大，求点 D 的坐标； （3）设点 M 是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点 H 满足 AMH=90 ？若存在，请求出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式； （2）根据图形的割补法，可得面积的和差，根据二次函数的性质，可得答案； （3）根据余角的性质，可得 AMN= NKM，根据相似三角形的判定与性质，可得 = ，根据解方程组，可得 H 点坐标． 解答：解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax 2 +bx+c，将 A（－2，0），B（－ ，0），C（0，2）代入解析式，得 ， 解得 ． 抛物线的解析式是 y=2x 2 +5x+2； （2）由题意可求得 AC 的解析式为 y=x+2， 如图 1 ， 设 D 点的坐标为（t，2t 2 +5t+2），过 D 作 DE x 轴交 AC 于 E 点， E 点的坐标为（t，t+2）， DE=t+2－（2t 2 +5t+2）=－2t 2 －4t，用 h 表示点 C 到线段 DE 所在直线的距离， S △DAC =S △CDE +S △ADE = DE h+ DE（2－h）= DE 2=DE=－2t 2 －4t=－2（t－1）2 +2∵－2＜t＜0， 当 t=－1 时，△DCA 的面积最大，此时 D 点的坐标为（－1，－1）； （3）存在点 H 满足 AMH=90 ， 由（1）知 M 点的坐标为（－ ，－ ） 如图 2：作 MH AM 交 x 轴于点 K（x，0），作 MN x 轴于点 N ， ∵ AMN+ KMA=90 ， NKM+ KMN=90 ， AMN= NKM． ∵ ANM= MNK， △AMN∽△MKN， = ， MN 2 =AN NK， （ ） 2 =（2－ ）（x+ ）， 解得 x= K 点坐标为（ ，0） 直线 MK 的解析式为 y= x－ ， ， 把①代入②，化简得 48x 2 +104x+55=0． △=104 2 －4 48 55=64 4=256＞0， x 1 =－ ，x 2 =－ ，将 x 2 =－ 代入 y= x－ ， 解得 y=－ 直线 MN 与抛物线有两个交点 M、H， 抛物线上存在点 H，满足 AMH=90 ， 此时点 H 的坐标为（－ ，－ ）． 点评：本题考察了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用图形割补法求面积是解题关键，（3）利用相似三角形的判定与性质得出 = 是解题关键，解方程组是此题的难点．