圆锥曲线高考题及答案
专题十六 平面几何初步1.（15 北京文科）圆心为 ?1,1? 且过原点的圆的方程是（ A． ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 12 2 2B． ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 D． ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2C． ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2【答案】D 【解析】 试题分析：由题意可得圆的半径为 r ? 考点：圆的标准方程. 2.（15 年广东理科）平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 且与圆 x 2 ? y 2 ? 5 相切的直线的方程是 A． 2x ? y ? 5 ? 0 或 2x ? y ? 5 ? 0 C. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 【答案】 D ． B. 2x ? y ? 5 ? 0 或 2x ? y ? 5 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 02 ，则圆的标准方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 .【考点定位】本题考查直线与圆的位置关系，属于容易题． 3.（15 年新课标 2 文科）已知三点 A(1,0), B(0, 3), C(2, 3) ,则△ ABC 外接圆的圆心到原 点的距离为（ ）2 5 3【答案】B 考点：直线与圆的方程.x2 y 2 2 4. （15 年新课标 2 文科） 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,点 2, 2 在 a b 2C 上. （I）求 C 的方程； （II）直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M,证明： 直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值.x2 y 2 【答案】（I） 2 ? 2 ? 1 （II）见试题解析 8 4 考点：直线与椭圆 5.（15 年陕西理科）设曲线 y ? e x 在点（0,1）处的切线与曲线 y ? 线垂直，则 p 的坐标 为 ．1 ( x ? 0) 上点 p 处的切 x【答案】 ?1,1? 【解析】 试题分析：因为 y ? e ，所以 y? ? e ，所以曲线 y ? e 在点 ? 0,1? 处的切线的斜率x x xk1 ? y?y? ? ?，则 y0 ? ? e0 ? 1 ，设 ? 的坐标为 ? x0 , y0 ? （ x0 ? 0 ）1 1 ，因为 y ? ，所以 x x01 1 ，所以曲线 y ? 在点 ? 处的切线的斜率 k2 ? y? 2 x xx ? x01 ，因为 k1 ? k2 ? ?1 ， 2 x0 所以 ?1 2 ? ?1 ，即 x0 ? 1 ，解得 x0 ? ?1 ，因为 x0 ? 0 ，所以 x0 ? 1 ，所以 y0 ? 1 ，即 ? 的 2 x0坐标是 ?1,1? ，所以答案应填： ?1,1? ． 考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系． 6.（15 年天津理科）如图，在圆 O 中， M , N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD, CE 分别经 过点 M , N .若 CM ? 2, MD ? 4, CN ? 3 ，则线段 NE 的长为 （A）D E O A M C【答案】A 【解析】 试题分析： 由相交弦定理可知， AM ? MB ? CM ? MD, CN ? NE ? AN ? NB ， 又因为 M , N? 是 弦 AB 的 三 等 分 点 ， 所 以 A M? M BAN ? N? BC ?N N ?EC ? ， M所 M D 以CM ? MD 2 ? 4 8 ? ? ，故选 A. CN 3 3考点：相交弦定理. 7.（15 年天津文科）如图,在圆 O 中,M,N 是弦 AB 的三等分点,弦 CD,CE 分别经过点 M,N,若 CM=2,MD=4,CN=3,则线段 NE 的长为（ ） (A)(B) 3【答案】A 【解析】 试题分析：由相交弦定理可CM ? MD ? CN ? NE ?考点：相交弦定理1 CM ? MD 8 AB ? AB ? NE ? ? , 3 CN 3故选 A. 8. （15 年天津文科） 已知椭圆x2 y 2 5 + 2 = 1(a b 0) 的上顶点为 B,左焦点为 F ,离心率为 , 2 a b 5（I）求直线 BF 的斜率； （II）设直线 BF 与椭圆交于点 P（P 异于点 B）,故点 B 且垂直于 BF 的直线与椭圆交于点 Q （Q 异于点 B）直线 PQ 与 x 轴交于点 M, |PM |=l |MQ| . （i）求 l 的值； （ii）若 |PM |sin?BQP =7 5 ,求椭圆的方程. 9x2 y2 7 ? ? 1. 【答案】 （I）2； （II） （i） ； （ii） 8 5 4【解析】 试题分析： （I）先由c 5 ? a 5及 a 2 ? b2 ? c 2 , 得 a ? 5c, b ? 2c , 直 线 BF 的 斜 率b?0 b ? ?2； （II）先把直线 BF,BQ 的方程与椭圆方程联立,求出点 P,Q 横坐标,可得 0 ? ? ?c ? cPM MQ? xM ? xP xQ ? xM ? 7 ? . xQ 8 xP（ ii ） 先 由|PM |sin?BQP =7 5 9BP =|PQ|sin?BQP =15 |PM |sin? BQP 7x2 y2 5 5 ? ? 1. ,由此求出 c=1,故椭圆方程为 5 4 3试题解析： （I） F ? ?c,0 ? ,由已知c 5 2 2 2 及 a ? b ? c , 可得 a ? 5c, b ? 2c ,又因为 ? a 5B ? 0, b ? ,故直线 BF 的斜率 k ?b?0 b ? ?2 . 0 ? ? ?c ? c（II）设点 P ? xP , yP ? , Q xQ , yQ , M ? xM , yM ? ,（i）由（I）可得椭圆方程为x2 y2 ? ? 1, 5c 2 4c 2 直线 BF 的方程为 y ? 2 x ? 2c ,两方程联立消去 y 得 3x2 ? 5cx ? 0, 解得 xP ? ?5c .因为 31 BQ ? BP ,所以直线 BQ 方程为 y ? ? x ? 2c ,与椭圆方程联立消去 y 得 21x 2 ? 40cx ? 0 , 2解得 xQ ?xM ? x P x PM 7 40c ? P ? . .又因为 ? ? ,及 xM ? 0 得 ? ? 21 xQ ? xM xQ 8 MQ（ ii ） 由 （ i ） 得PM MQPM 15 7 7 7 PM ,所以 ? ? , 即 PQ ? 7 8 PM ? MQ 7 ? 8 155 5 . 3|PM |sin?BQP =7 5 15 ,所以 BP =|PQ|sin?BQP = |PM |sin? BQP 9 7又 因 为 yP ? 2 xP ? 2c ? ?5c ? ? 4c ? 5 5 4 ? c , 所 以 BP ? ? 0 ? ? ? ? 2c ? ? ? c ,因此 3 3? ? 3 ? 3 ?x2 y2 5 5 5 5 ? 1. c? , c ? 1 , 所以椭圆方程为 ? 5 4 3 3考点：直线与椭圆. 9.（15 年湖南理科）10. （15 年山东理科） 一条光线从点 (?2, ?3) 射出， 经 y 轴反射与圆 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1 相切，则反射光线所在的直线的斜率为 (A) ? 或 ?(B) ?3 3 或? 2 2(C) ?5 4 或? 4 5(D) ?4 3 或? 3 4解析： (?2, ?3) 关于 y 轴对称点的坐标为 (2, ?3) ，设反射光线所在直线为 y ? 3 ? k ( x ? 2), 即kx ? y ? 2k ? 3 ? 0 ，则 d ?| ?3 k ?2 ? 2 k? 3| k ?13 4 ?1 ,|5 k ? 5| ? k 21 ? ，解得 k ? ? 或 ? ，答案选(D) 4 3 11.（15 年江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (1,0) 为圆心且与直线m x ? y ? 2m ? 1 ? 0(m ? R) 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2.考点：直线与圆位置关系专题十七 圆锥曲线与方程x2 ? y 2 ? 1? a ? 0? 的一条渐近线为 3x ? y ? 0 ，则 a ? a21.（15 北京理科）已知双曲线 ． 【答案】考点：双曲线的几何性质 2.（15 北京理科）已知椭圆 C ：2 x2 y 2 1? 和点 ，点 P ? 0 ， ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 2 2 a bA? m ， n ? ? m ≠ 0 ? 都在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M ．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标（用 m ， n 表示） ； （Ⅱ）设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N ．问： y 轴上是 否存在点 Q ，使得 ?OQM ? ?ONQ ？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】 【解析】 试题分析：椭圆 C ：2 x2 y 2 1? 在椭圆上，利用 ，点 P ? 0 ， ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 2 2 a b条件列方程组，解出待定系数 a1? 和点 ? 2,b 2 ? 1 ，写出椭圆方程；由点 P ? 0 ，A? m ， n ? ? m ≠ 0 ? ，写出 PA 直线方程，令 y ? 0 求出 x 值，写出直线与 x 轴交点坐标；由点 P(0,1),B(m ,?n )，写出直线 PB 的方程，令 y ? 0 求出 x 值，写出点 N 的坐标， 设 Q(0,y 0 )，? ?OQM ? ?ONQ ,? tan ?OQM ? tan ?ONQ 求出 tan ?OQM 和tan ?ONQ ，利用二者相等，求出 y 0 ? ? 2 ，则存在点 Q（ 0， ??OQM ? ?ONQ .使得 2）试题解析： （Ⅰ）由于椭圆 C ：2 x2 y 2 1? 且离心率为 ， ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 过点 P ? 0 ， 2 2 a b? 1,b 2 ? 1, e 2 ?c2 a2 ? b 2 1 1 ? ? 1 ? 2 ? ， a 2 ? 2 ，椭圆 C 的方程为 2 2 2 a a a? y 2 ? 1.? P(0,1),A(m ,n ),直线 PA 的方程为： y ?n ?1 m x ? 1 ，令 y ? 0,x ? ， m 1?n? M( ,0)； 1?n 考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题. 3.（15 北京文科）已知 ? 2, 0 ? 是双曲线 x ?y2 ? 1（ b ? 0 ）的一个焦点，则 b ? b2【答案】 3 【解析】 试题分析：由题意知 c ? 2, a ? 1 ， b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3 ，所以 b ? 3 . 考点：双曲线的焦点. 4. （15 北京文科） 已知椭圆 C : x ? 3 y ? 3 ， 过点 D ?1, 0 ? 且不过点 ? ? 2,1? 的直线与椭圆 C交于 ? ， ? 两点，直线 ?? 与直线 x ? 3 交于点 ? ． （Ⅰ）求椭圆 C 的离心率； （Ⅱ）若 ?? 垂直于 x 轴，求直线 ?? 的斜率； （Ⅲ）试判断直线 ?? 与直线 D? 的位置关系，并说明理由． 【答案】 （1） 【解析】6 ； （2）1； （3）直线 BM 与直线 DE 平行. 3 试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等
10[学优高考网]（1）求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为（0，-b）,N 为线段 AC 的中点，证明：MN ? AB。
【答案】 （1）2 5 （2）详见解析. 5 1 b 5 b2 1 a2 ? c2 1 c2 4 2 5 ∴ 3 ＝ ? 2 ? ? ? ? ? ?e? 2 2 2 a 5 a 5 a 5 5 a 10 3 a b （Ⅱ）由题意可知 N 点的坐标为（ ,? ） 2 2 1 1 5b b? b 2 ? 6 ? 5b ∴ K MN ? 3 2 a a a a? 3 2 6 b K AB ? ?a∴ K MN ? K AB ? ? ∴MN⊥AB 考点：1 椭圆的离心率；2.直线与椭圆的位置关系.5b 2 ? ?1 a2x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ，点 P 在双曲线 10.（15 年福建理科）若双曲线 E : 9 16E 上，且 PF1 ? 3 ，则 PF2 等于（ ）A．11 【答案】B 【解析】 试题分析：由双曲线定义得 PF1 ? PF2 ? 2a ? 6 ，即 3 ? PF2 ? 6 ，解得 PF2 ? 9 ，故 选 B． 考点：双曲线的标准方程和定义． 11.（15 年福建理科）已知椭圆 E： (Ⅰ)求椭圆 E 的方程； B．9 C．5 D．3x2 y 2 2 + 2 = 1(a b 0) 过点 (0, 2） ，且离心率为 ． 2 a b 2，(m ? R)交椭圆 E 于 A，B 两点，判断点 G (- ,0)与以线段 AB 为 (Ⅱ)设直线 x = my - 1直径的圆的位置关系，并说明理由． 【答案】(Ⅰ)9 x2 y 2 + = 1 ；(Ⅱ) G (- ,0)在以 AB 为直径的圆外． 4 4 2 G 在圆上．试题解析：解法一：(Ⅰ)由已知得ì b = 2, ? ì a =2 ? ? 2 ? ? c 解得 = , íb= 2 í 2 ? ? a ? ? a 2 = b2 + c 2 , ?c= 2 ? ?所以椭圆 E 的方程为x2 y 2 + =1 ． 4 2|GH|2 -|AB|2 5 25 5m2 3(m2 +1) 25 17m2 + 2 = my0 + (m2 +1) y1 y2 + = + = 0 4 2 16 2(m2 + 2) m2 + 2 16 16(m2 + 2) 所以 |GH| |AB| 9 ，故 G (- ,0)在以 AB 为直径的圆外． 4 2???? 9 4 ??? ? 9 4解法二：(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设点 A( x1 y1 ), B( x2 , y2 ), ，则 GA = ( x1 + , y1 ), GB = ( x2 + , y2 ).ì x = my - 1 ? 2m 3 由 í x2 y 2 得(m2 + 2) y 2 - 2my - 3 = 0, 所以 y1 + y 2 = 2 , y1 y 2 = 2 ， m +2 m +2 ? + =1 ? ? 4 2 ???? ??? ? 9 9 5 5 GB = ( x1 + )( x2 + ) + y1 y2 = (my1 + )(my 2 + ) + y1 y2 从而 GA ? 4 4 4 417m2 + 2 5 25 5m2 3(m2 +1) 25 = (m2 +1) y1 y2 + m( y1 + y2 ) + = + = 0 16(m2 + 2) 4 16 2(m2 + 2) m2 + 2 16所以 cos狁 GA,GB 0, 又GA， GB 不共线，所以 ?AGB 为锐角. 故点 G (- ,0)在以 AB 为直径的圆外． 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系． 12.（15 年福建文科）已知椭圆 E :???? ??? ????? ??? ?x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F ．短轴的一个端点 a 2 b2为 M ，直线 l : 3x ? 4 y ? 0 交椭圆 E 于 A, B 两点．若 AF ? BF ? 4 ，点 M 到直线 l 的距 离不小于4 ，则椭圆 E 的离心率的取值范围是（ ） 53 ] 2B． (0, ]3 ,1) 2D． [ ,1)【答案】A考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式． 13.（15 年福建文科）已知点 F 为抛物线 E : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点，点 A(2, m) 在抛物线E 上，且 AF ? 3 ． （Ⅰ）求抛物线 E 的方程； （Ⅱ） 已知点 G(?1, 0) ， 延长 AF 交抛物线 E 于点 B ， 证明： 以点 F 为圆心且与直线 GA 相 切的圆，必与直线 GB 相切．【答案】 （Ⅰ） y 2 ? 4 x ； （Ⅱ）详见解析． 【解析】 试题分析： （Ⅰ）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化．本 题由 AF ? 3 可得 2 ?p ? 3 ，可求 p 的值，进而确定抛物线方程； （Ⅱ）欲证明以点 F 为 2圆心且与直线 GA 相切的圆，必与直线 GB 相切．可证明点 F 到直线 GA 和直线 GB 的距离 相等（此时需确定两条直线方程） ；也可以证明 ??GF ? ??GF ，可转化为证明两条直线 的斜率互为相反数． 试题解析：解法一： （I）由抛物线的定义得 ?F ? 2 ? 因为 ?F ? 3 ，即 2 ?p ． 2p ? 3 ，解得 p ? 2 ，所以抛物线 ? 的方程为 y 2 ? 4x ． 2（II）因为点 ? ? 2, m? 在抛物线 ? : y 2 ? 4 x 上， 所以 m ? ?2 2 ，由抛物线的对称性，不妨设 ? 2, 2 2 ． 由 ? 2, 2 2 ， F ?1,0? 可得直线 ?F 的方程为 y ? 2 2 ? x ?1? ． 由?? y ? 2 2 ? x ? 1? ? ? ? y ? 4x，得 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 ， 解得 x ? 2 或 x ? 又 G ? ?1,0? ， 所以 kG? ?1 ?1 ? ，从而 ? ? , ? 2 ? ． 2 ?2 ?? 2 ?0 2 2 2 2 ?0 2 2 ?? ， kG? ? ， ? 1 3 2 ? ? ?1? 3 ? ? ?1? 2所以 kG? ? kG? ? 0 ，从而 ??GF ? ??GF ，这表明点 F 到直线 G ? ， G ? 的距离相等， 故以 F 为圆心且与直线 G ? 相切的圆必与直线 G ? 相切． 解法二： （I）同解法一． （II）设以点 F 为圆心且与直线 G ? 相切的圆的半径为 r ． 因为点 ? ? 2, m? 在抛物线 ? : y 2 ? 4 x 上， 所以 m ? ?2 2 ，由抛物线的对称性，不妨设 ? 2, 2 2 ．由 ? 2, 2 2 ， F ?1,0? 可得直线 ?F 的方程为 y ? 2 2 ? x ?1? ． 由?? ? y ? 2 2 ? x ? 1? ? ? y ? 4x，得 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 ，解得 x ? 2 或 x ?1 ?1 ? ，从而 ? ? , ? 2 ? ． 2 ?2 ?又 G ? ?1,0? ，故直线 G ? 的方程为 2 2x ? 3 y ? 2 2 ? 0 ， 从而 r ?2 2 ?2 2 8?94 2 ． 17又直线 G ? 的方程为 2 2x ? 3 y ? 2 2 ? 0 ， 所以点 F 到直线 G ? 的距离 d ?2 2?2 2 8?94 2 ?r． 17 这表明以点 F 为圆心且与直线 G ? 相切的圆必与直线 G ? 相切． 考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系． 14. （15 年新课标 1 理科） 一个圆经过椭圆的三个顶点， 且圆心在 x 轴上，则该圆的标准方程为 。
3 25 【答案】 ( x ? ) 2 ? y 2 ? 2 43 【解析】 设圆心为 （a， 0） ， 则半径为 4? | a | ， 则( 解得 a ? ? ， 4? | ) |a |2 | ?a 22 ?2 ， 2 3 2 25 故圆的方程为 ( x ? ) ? y 2 ? . 2 415.（15 年新课标 2 理科）过三点 A（1,3） ，B（4,2） ，C（1,-7）的圆交于 y 轴于 M、N 两点， 则 MN = （A）2 6 【答案】C （B）8 （C）4 6 （D）1016.（15 年新课标 2 理科）已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，?ABM 为等 腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为 （A）√5 （B）2 （C）√3 （D）√2 【答案】D 17.（15 年新课标 2 理科）已知椭圆 C：9 x2 ? y 2 ? m2 (m ? 0) ，直线 l 不过原点 O 且不平 行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M。
（1）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；m （2）若 l 过点 ( , m) ，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？ 3 若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由。 18. （15 年新课标 2 文科） 已知双曲线过点 4, 3 ,且渐近线方程为 y ? ? 标准方程为 【答案】 ．1 x ,则该双曲线的 2x2 ? y2 ? 1 4考点：双曲线几何性质 19.（15 年陕西理科）若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线 x ? y ? 1的一个焦点，2 2 2 则 p= 【答案】 2 2考点：1、抛物线的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质． 20.（15 年陕西理科）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界 呈抛物线型（图中虚线表 示） ，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．【答案】 1.2 【解析】 试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：1 ? ?10 ? 10 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 16 ，设抛物线的方程为 x2 ? 2 py （ p ? 0 ） ， 2 25 25 2 2 2 2 y ，即 y ? x ， 因为该抛物线过点 ? 5, 2 ? ，所以 2 p ? 2 ? 5 ，解得 p ? ，所以 x ? 4 2 25原始的最大流量是 所以当前最大流量是2 ? 2 ? ? ? 2 ? x 2 ? dx ? ? 2 x ? x3 ? ? ?5 25 ? 75 ? ? ?2 2 40 3? ? ? ? ， ? ? 2 ? 5 ? ? 53 ? ? ?2 ? ? ?5? ? ? ? ?5? ? ? 75 75 ? ? ? ? 3故原始的最大流量与当前最大流量的比值是16 ? 1.2 ，所以答案应填： 1.2 ． 40 3 考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．x2 y 2 21.（15 年陕西理科）已知椭圆 ? : 2 ? 2 ? 1（ a ? b ? 0 ）的半焦距为 c ，原点 ? 到经过 a b（I）求椭圆 ? 的离心率；? c,0? ， ? 0, b ? 的直线的距离为 2 c ．（II）如图， ?? 是圆 ? : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 求椭圆 ? 的方 程．5 的一条直径，若椭圆 ? 经过 ? ， ? 两点， 2x2 y 2 3 ? ? 1． 【答案】 （I） ； （II） 12 3 2【解析】 试题分析： （I）先写过点 ? c,0 ? ， ? 0, b ? 的直线方程，再计算原点 ? 到该直线的距离，进而 可得椭圆 ? 的离心率； （II） 先由 （I） 知椭圆 ? 的方程， 设 ?? 的方程， 联立 ?? ? y ? k ? x ? 2? ? 1 ， 2 2 2 x ? 4 y ? 4 b ? ?消去 y ，可得 x1 ? x2 和 x1 x2 的值，进而可得 k ，再利用 ?? ? 10 可得 b 的值，进而可得 椭圆 ? 的方程． 试题解析： （I）过点(c,0),(0,b)的直线方程为 bx + cy - bc = 0 ， 则原点 O 到直线的距离 d ?bc b2 ? c 2bc ， a1 c 3 c ，得 a = 2b = 2 a2 - c2 ，解得离心率 = . 2 a 22 2 2(II)解法一：由（I）知，椭圆 E 的方程为 x + 4 y = 4b . 依题意，圆心 M(-2,1)是线段 AB 的中点，且 | AB|= 10 . 易知，AB 不与 x 轴垂直，设其直线方程为 y = k ( x + 2) +1 ，代入(1)得(1 + 4k 2 ) x2 +8k (2k +1) x + 4(2k +1)2 - 4b2 = 0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 + x2 = 由 x1 + x2 = - 4 ，得 从而 x1 x2 = 8 - 2b2 .8k (2k +1) 4(2k +1) 2 - 4b 2 , x x = . 1 2 1 + 4k 2 1 + 4k 28k (2k +1) 1 = - 4, 解得 k = . 2 2 1 + 4k5 ?1? 于是 | AB |? 1 ? ? ? | x1 ? x2 |? 2 ?2?? x1 ? x2 ?? 4 x1 x2 ? 10(b 2 ? 2) .2 由 | AB|= 10 ，得 10(b - 2) = 10 ，解得 b = 3 .故椭圆 E 的方程为x2 y 2 + =1 . 12 3解法二：由（I）知，椭圆 E 的方程为 x2 + 4 y 2 = 4b2 . 依题意，点 A，B 关于圆心 M(-2,1)对称，且 | AB|= 10 . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x12 + 4 y12 = 4b2 ， x22 + 4 y22 = 4b2 ，两式相减并结合 x1 + x2 = - 4, y1 + y2 = 2, 得 -4( x1 - x2 ) +8 y1 - y2 = 0 . 易知，AB 不与 x 轴垂直，则 x1 ? x2 ，所以 AB 的斜率 k AB = 因此 AB 直线方程为 y =y1 - y2 1 = . x1 - x2 21 ( x + 2) +1 ，代入(2)得 x2 + 4 x +8 - 2b2 = 0. 2所以 x1 + x2 = - 4 ， x1 x2 = 8 - 2b2 .5 ?1? 于是 | AB |? 1 ? ? ? | x1 ? x2 |? 2 ?2?? x1 ? x2 ?? 4 x1 x2 ? 10(b 2 ? 2) .2 由 | AB|= 10 ，得 10(b - 2) = 10 ，解得 b = 3 .故椭圆 E 的方程为x2 y 2 + =1 . 12 3考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程； 5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置. 22.（15 年陕西文科）已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线经过点 (?1,1) ，则抛物线焦点坐 A． (?1, 0) 【答案】 B 【解析】B． (1, 0)C． (0, ?1)D． (0,1)试题分析： 由抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 得准线 x ? ? 所以抛物线焦点坐标为 (1, 0) ，故答案选 B 考点：抛物线方程. 23.（15 年陕西文科）如图，椭圆 E :p ， 因为准线经过点 (?1,1) ， 所以 p ? 2 ， 2x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 经过点 A(0, ?1) ，且离心率为 a 2 b22 . 2(I)求椭圆 E 的方程； (II)经过点 (1,1) ，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P, Q （均异于点 A ） ，证明： 直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.x2 ? y 2 ? 1 ； (II)证明略，详见解析. 【答案】(I) 2【解析】 试题分析：(I)由题意知c 2 ? , b ? 1 ，由 a 2 ? b2 ? c2 ，解得 a ? 2 ，继而得椭圆的方程 a 2x2 ? y2 ? 1 ； 2(II) 设 P ? x1 y1 ? , Q ? x2 y2 ? ， x1 x2 ? 0 由题设知，直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 1(k ? 2) ， 代入x2 ? y2 ? 1 2(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k (k ? 1) x ? 2k (k ? 2) ? 0 x1 ? x2 ?4k (k ? 1) 2k ( k ? 2) , x1 x2 ? ， 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2k AP ? k AQ ?y1 ? 1 y2 ? 1 kx1 ? 2 ? k kx2 ? 2 ? k ? ? ? x1 x2 x1 x1 x1 ? x2 4k (k ? 1) ? 2k ? ? 2 ? k ? ? 2k ? (2k ? 1) ? 2 . 2k (k ? 2) x1 x2化简得 k AP ? k AQ ? 2k ? (2 ? k )试题解析：(I)由题意知2 2 2c 2 ? ,b ? 1， a 2综合 a ? b ? c ，解得 a ? 所以，椭圆的方程为x2 ? y2 ? 1 . 2x2 ? y 2 ? 1 ，得 (II)由题设知，直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 1(k ? 2) ，代入 2(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k (k ? 1) x ? 2k (k ? 2) ? 0 ，由已知 ? ? 0 ，设 P ? x1 y1 ? , Q ? x2 y2 ? ， x1 x2 ? 0 则 x1 ? x2 ?4k (k ? 1) 2k ( k ? 2) , x1 x2 ? ， 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和k AP ? k AQ ?y1 ? 1 y2 ? 1 kx1 ? 2 ? k kx2 ? 2 ? k ? ? ? x1 x2 x1 x1?1 1? x ? x2 ? 2k ? (2 ? k ) ? ? ? ? 2k ? (2 ? k ) 1 x1 x2 ? x1 x2 ?? 2k ? ? 2 ? k ?4k (k ? 1) ? 2k ? (2k ? 1) ? 2 . 2k (k ? 2)考点：1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题.x2 y 2 24.（15 年天津理科）已知双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线过点 2, 3 ， a b且双曲线的一个焦点在抛物线 y 2 ? 4 7 x 的准线上，则双曲线的方程为x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? 1 （C） ? ? ? 1 （B） ? ? 1 （D） ? ?1 28 21 21 28 3 4 4 3【答案】D考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质. 25.（15 年天津理科）已知椭圆x2 y 2 3 + 2 =1(a b 0) 的左焦点为 F（-c,0） ,离心率为 ， 2 a b 3b4 4 3 点 M 在椭圆上且位于第一象限， 直线 FM 被圆 x +y = 截得的线段的长为 c， . |FM|= 4 3(I)求直线 FM 的斜率； (II)求椭圆的方程； (III)设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于 2 ，求直线 OP（O 为原点）的斜率的取 值范围. 【答案】(I) 【解析】 试题分析：(I) 由椭圆知识先求出 a , b, c 的关系，设直线直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c) ，? 2 3? ? 2 2 3? x2 y2 3 , ? ? 1 ；(III) ? ??, ? ； (II) ??? ?. 3 3 3 3 2 3 ? ? ? ?求出圆心到直线的距离， 由勾股定理可求斜率 k 的值； (II)由(I)设椭圆方程为x2 y2 ? ? 1， 3c 2 2c 2直线与椭圆方程联立， 求出点 M 的坐标， 由 FM ?4 3 可求出 c ， 从而可求椭圆方程.(III) 3设出直线 FP ： y ? t ( x ? 1) ，与椭圆方程联立，求得 t ? 即可求直线 OP 的斜率的取值范围.6 ? 2 x2 ? 2 ，求出 x 的范围， 3( x ? 1)2 试题解析：(I) 由已知有c2 1 ? ，又由 a 2 ? b2 ? c2 ，可得 a 2 ? 3c 2 ， b2 ? 2c 2 ， 2 a 3设直线 FM 的斜率为 k (k ? 0) ，则直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c) ，由已知有? kc ? ? c ? ? b ? 3 . ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ，解得 k ? 3 ? k ?1 ? ? 2 ? ? 2 ?x2 y2 (II)由(I)得椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ，直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c) ，两个方程联立，消 3c 2c去 y ，整理得5 3x 2 ? 2cx ? 5c 2 ? 0 ，解得 x ? ? c 或 x ? c ，因为点 M 在第一象限，可得 M 的坐标为 3? 2 3 ? ?2 3 ? 4 3 c ? ，由 FM ? (c ? c)2 ? ? ，解得 c ? 1 ，所以椭圆方程为 c ? 0? ? ? c, 3 ? 3 3 ? ? ?x2 y2 ? ?1 3 2(III)设点 P 的坐标为 ( x, y ) ，直线 FP 的斜率为 t ，得 t ?y x ?1 ) ( x ? ?1 ) , ，即 y ? t ( x ?1? y ? t ( x ? 1) ? 2 2 2 与椭圆方程联立 ? x 2 y 2 ，消去 y ，整理得 2 x ? 3t ( x ? 1) ? 6 ，又由已知，得 ? ?1 ? 2 ?36 ? 2 x2 ? 2 ，解得 3( x ? 1)23 ? x ? ? 1 或 ?1 ? x ? 0 ， 2设直线 OP 的斜率为 m ，得 m ?y ，即 y ? mx( x ? 0) ，与椭圆方程联立，整理可得 x2 2 ? . x2 3①当 x ? ? ? , ?1? 时，有 y ? t ( x ? 1) ? 0 ，因此 m ? 0 ，于是 m ?? 3 ? 22 2 ? ，得 x2 3? 2 2 3? m?? , ? 3 ? ? 3②当 x ? ? ?1,0? 时，有 y ? t ( x ? 1) ? 0 ，因此 m ? 0 ，于是 m ? ?2 2 ? ，得 x2 3 ? 2 3? m ? ? ??, ? ? 3 ? ?综上，直线 OP 的斜率的取值范围是 ? ??, ?2 3? ? 2 2 3? , ??? ? 3 ? ? 3 3 ?考点：1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式.x2 y 2 26.（15 年天津文科）已知双曲线 2 - 2 = 1(a 0, b 0) 的一个焦点为 F (2, 0) ,且双曲线 a b的渐近线与圆 x - 2+ y 2 = 3 相切,则双曲线的方程为（x2 y 2 =1 9 13x2 y 2 =1 13 9x2 - y2 =1 3y2 =1 3【答案】D考点：圆与双曲线的性质. 27.（15 年湖南理科）28.（15 年山东理科）平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1 :x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近 a 2 b2 线与抛物线 C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 交于点 O, A, B ，若 ?OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的 离心率为 解析： C1 : .x2 y 2 2 pb 2 pb2 2 pb 2 pb2 b y ? ? x ? ? 1( a ? 0, b ? 0) A ( , ), B ( ? , 2 ) 的渐近线为 ，则 a a 2 b2 a a2 a a2 pb2 p ? 2 p b2 5 c 2 a 2 ? b2 9 c 3 a 2 a 2 F (0, ) ，则 k AF ? ? ，即 2 ? , 2 ? 2 ? , e ? ? . C2 : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点 2 pb 2 a 4 a a 4 a 2 b a29.（15 年山东理科）平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C :x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心 a 2 b23 ，左、右焦点分别是 F1 , F2 ,以 F1 为圆心，以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心，以 1 为 2半径的圆相交，交点在椭圆 C 上. （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；x2 y2 （Ⅱ）设椭圆 E : 2 ? 2 ? 1 ，P 为椭圆 C 上的任意一点，过点 P 的直线 y ? kx ? m 交椭 4a 4b圆 E 于 A,B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. （ⅰ）求| OQ | 的值； （ⅱ）求 ?ABQ 面积最大值. | OP |解析： （Ⅰ）由椭圆 C :x2 y 2 3 c 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 可知 e ? ? ，而 2 2 a b a 2a 2 ? b2 ? c 2则 a ? 2b, c ? 3b ，左、右焦点分别是 F1 (? 3b,0), F2 ( 3b,0) ,圆 F1 ： ( x ? 3b)2 ? y 2 ? 9, 圆 F2 ： ( x ? 3b)2 ? y 2 ? 1, 由两圆相交可得 2 ? 2 3b ? 4 ，即1 ? 3b ? 2 ， 交点 (4 2 2 2 ? 在椭圆 C 上， 则 2 , ? 1? ( ) )， 3b ? 4b 2 3b 3b2 ? 3b) 2 3b ?1， b22 整理得 4b ? 5b ? 1 ? 0 ，解得 b ? 1, b2 ?1 （舍去） 4x2 ? y 2 ? 1. 故 b ? 1, a ? 4, 椭圆 C 的方程为 4（Ⅱ） （ⅰ）椭圆 E 的方程为x2 y 2 ? ?1， 16 4 设点 P( x0 , y0 ) ，满足x0 2 y ? y0 2 ? 1 ，射线 PO : y ? 0 x( xx0 ? 0) ， 4 x0(?2 x0 ) 2 ? (?2 y0 ) 2 x2 y 2 | OQ | ? ? 1 可得点 Q(?2 x0 , ?2 y0 ) ，于是 代入 ? ? 2. 16 4 | OP | x0 2 ? y0 2（ⅱ）点 Q(?2 x0 , ?2 y0 ) 到直线 AB 距离等于原点 O 到直线 AB 距离的 3 倍：| ?2kx0 ? 2 y0 ? m | 1? k 2|m| 1? k 2? y ? kx ? m ? 2 2 2 2 2 2 ，得 x ? 4(kx ? m) ? 16 ，整理得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ?16 ? 0 ?x y2 ?1 ? ? ?16 4? ? 64k 2m2 ?16(4k 2 ? 1)(m2 ? 4) ? 16(16k 2 ? 4 ? m2 ) ? 0| AB |? 1? k 2 16(16k 2 ? 4 ? m2 ) 1 ? 4k 2S? ? ? 6?1 1 | m| | m | 16k 2 ? 4 ? m2 2 2 | AB | d ? ? 3 ? ? 4 16 k ? 4 ? m ? 6 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2m2 ? 16k 2 ? 4 ? m2 ? 12 ，当且仅当 | m |? 16k 2 ? 4 ? m2 , m2 ? 8k 2 ? 2 等号成立. 2(4k 2 ? 1)x2 ? y 2 ? 1 有交点 P，则 4而直线 y ? kx ? m 与椭圆 C：? y ? kx ? m 有解，即 x2 ? 4(kx ? m)2 ? 4,(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 有解， ? 2 2 ?x ? 4 y ? 4其判别式 ?1 ? 64k 2m2 ?16(1 ? 4k 2 )(m2 ?1) ? 16(1 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0 ，即 1 ? 4k ? m ，则上述 m ? 8k ? 2 不成立，等号不成立，|m| 1 ? 4k 2? (0,1] ，则 S? ? 6| m | 16k 2 ? 4 ? m2 ? 6 (4 ? t )t 在 (0,1] 为增函数， 1 ? 4k 2于是当 1 ? 4k ? m 时 S? max ? 6 (4 ?1) ?1 ? 6 3 ，故 ?ABQ 面积最大值为 12. 30.(15 年江苏) 在平面直角坐标系 xOy 中， P 为双曲线 x ? y ? 1 右支上的一个动点。若点 P 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离大于 c 恒成立，则是实数 c 的最大值为[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 【答案】 【解析】试题分析：设 P( x, y ), ( x ? 1) ，因为直线 x ? y ? 1 ? 0 平行于渐近线 x ? y ? 0 ，所以 c 的最大值 为直线 x ? y ? 1 ? 0 与渐近线 x ? y ? 0 之间距离，为 考点：双曲线渐近线，恒成立转化1 2 ? 2 . 2x2 y 2 31.（15 年江苏）如图，在平面直角坐标 系 xOy 中，已知椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离 a b2 ，且右焦点 F 到左 2准线 l 的距离为 3. （1）求椭圆的标准方程； （2） 过 F 的直线与椭圆交于 A， B 两点， 线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P， C，若 PC=2AB，求直线 AB 的方程.【答案】 （1）x2 ? y 2 ? 1（2） y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 ． 2 （2）当 ?? ? x 轴时， ?? ? 2 ，又 C? ? 3 ，不合题意． 当 ?? 与 x 轴不垂直时，设直线 ?? 的方程为 y ? k ? x ?1? ， ? ? x1, y1 ? ， ? ? x2 , y2 ? ， 将 ?? 的方程代入椭圆方程，得 1 ? 2k? 4k 2 x ? 2 ? k 2 ? 1? ? 0 ，2k 2 ? 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2? 2k 2 ?k ? , ， C 的坐标为 ? 2 2 ? ，且 ? 1 ? 2k 1 ? 2 k ?? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ??1 ? k ? ? x? x1 ? ?2 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2若 k ? 0 ，则线段 ?? 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而 k ? 0 ，故直线 ? C 的方程为 y ?k 1? 2k 2 ? ? ? x ? ? ?， 1 ? 2k 2 k ? 1 ? 2k 2 ?? 2 ? 3k 2 ? 1? 1 ? k 2 5k 2 ? 2 ? ? ? 则 ? 点的坐标为 ?2, ，从而 ?C ? ． ? k ?1 ? 2k 2 ? ? k ?1 ? 2k 2 ? ? ?因为 ?C ? 2 ?? ，所以2 ? 3k 2 ? 1? 1 ? k 2 k ?1 ? 2k 2 ?4 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2，解得 k ? ?1 ．此时直线 ?? 方程为 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 ． 考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系
圆锥曲线高考题及答案
考生可通过圆锥曲线高考题及答案解析认识到高考出题方向，从而掌握解题方法，将圆锥曲线高考题解题过程对每一步骤都能够罗列出来，争取在每一小步都能拿到分数，下面为大家介绍两道圆锥曲线高考题及答案。
以下是圆锥曲线高考题及答案：
1、在正方形 中, 为坐标原点,点 的坐标为 ,点 的坐标为 .分别将线段 和 十等分,分点分别记为 和 ,连结 ,过 做 轴的垂线与 交于点 .
(1)求证:点 都在同一条抛物线上,并求该抛物线 的方程;
(2)过点 做直线与抛物线 交于不同的两点 ,若 与 的面积比为 ,求直线的方程.
【答案】解:(Ⅰ)依题意,过 且与x轴垂直的直线方程为
, 直线 的方程为
设 坐标为 ,由 得: ,即 ,
都在同一条抛物线上,且抛物线 方程为
(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为
由 得
此时 ,直线与抛物线 恒有两个不同的交点
设: ,则
又 ,
分别带入 ,解得
直线的方程为 ,即 或
2、已知圆 : ,圆 : ,动圆 与 外切并且与圆 内切,圆心 的轨迹为曲线 C.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ) 是与圆 ,圆 都相切的一条直线, 与曲线C交于A,B两点,当 圆P的半径最长时,求|AB|.
【答案】由已知得圆 的圆心为 (-1,0),半径 =1,圆 的圆心为 (1,0),半径 =3.
设动圆 的圆心为 ( , ),半径为R. [来源:www.5ykj.Com]
(Ⅰ)∵圆 与圆 外切且与圆 内切,∴|PM|+|PN|= = =4,
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为 的椭圆(左顶点除外),其方程为 .
(Ⅱ)对于曲线C上任意一点 ( , ),由于|PM|-|PN|= ≤2,∴R≤2,
当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.
∴当圆P的半径最长时,其方程为 ,
当 的倾斜角为 时,则 与 轴重合,可得|AB|= .
当 的倾斜角不为 时,由 ≠R知 不平行 轴,设 与 轴的交点为Q,则 = ,可求得Q(-4,0),∴设 : ,由 于圆M相切得 ,解得 .
当 = 时,将 代入 并整理得 ,解得 = ,∴|AB|= = .
当 =- 时,由图形的对称性可知|AB|= ,
综上,|AB|= 或|AB|= .
通过以上解题步骤及答案解析，有效帮助考生在复习过程中可以掌握圆锥曲线高考题解题步骤，争取高考可以在这一类型题目上获得高分，圆锥曲线高考题及答案没必要丢分的步骤也可以省去。