陕西高考语文b卷

陕西高考语文b卷

2010年陕西高考语文答案(B卷)第四章 高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论

一、解的存在唯一性定理1 n阶线性微分方程 n dx d x 定义1 未知函数x及其各阶导数 ,?, n 均为一次的 dt dt n阶微分方程, 称为n阶线性微分方程 它的一般形式为 ,d nx d n ?1 x ? a1 (t ) n ?1 ? ? ? an (t ) x ? f (t ) (4.1) n dt dt 其中ai (t )(i ? 1,2,?n)及f (t )都是a ? t ? b的连续函数 .如果f (t ) ? 0, 则方程(4.1)变为d nx d n?1 x ? a1 (t ) n?1 ? ? ? an (t ) x ? 0 n dt dt(4.2)称(4.2)为(4.1)对应的n阶齐线性方程 (4.1)称为非齐线性方程 , .d x dx 2 2 t ? t ? (t ? n ) x ? 0 2 dt dt d 2x dx ? 2 ? 3x ? 0 2 dt dt2 2 2? ?? ?n阶齐线性方程d x dx t ? a1t ? a2 x ? f (t ) 2 dt dt ? 2 d x ? ? n阶非齐线性方程。

? 4 x ? sin t 2 ? dt2 解的存唯一性定理定理1 如果ai (t )(i ? 1,2, ? n)及f (t )都是区间a ? t ? b的( ( 连续函数, 则对任一t ? [a, b]及任意x0 , x01) , ? , x0n ) , 方程(4.1)存在唯一解x ? ? (t ), 定义于区间a ? t ? b, 且满 足初始条件d? (t0 ) d ? (t0 ) (1) ( n ?1) ? (t0 ) ? x0 , ? x0 ,?, ? x0 n ?1 dt dt( n ?1)二、齐线性方程的解的性质和结构先讨论n阶齐线性方程n n ?1d x d x ? a1 (t ) n?1 ? ? ? an (t ) x ? 0 (4.2) n dt dt 的一般理论 假设ai (t )(i ? 1,2,?n)在a ? t ? b上连续 , .1 叠加原理 定理2 如果x1 (t ), x2 (t ) ?, xk (t )是方程(4.2)的k个解, 则它们的线性组合 1 x1 (t ) ? c2 x2 (t ) ? ? ? ck xk (t )也是方程(4.2) c 的解, 这里c1 , c2 ,?ck 是任常数.证明: 由于xi (t )(i ? 1,2,?k )是方程(4.2)的k个解d n xi (t ) d n?1 xi (t ) ? a1 (t ) ? ? ? an (t ) xi (t ) ? 0 n n ?1 dt dt i ? 1,2,? k上面的k个等式中 第i个乘ci , 然后相加得 ,d x d x ? a1 (t ) n ?1 ? ? ? an (t ) x ? 0 n dt dt这里x(t ) ? c1x1 (t ) ? c2 x2 (t ) ? ?? ck xk (t ) 故c1 x1 (t ) ? c2 x2 (t ) ? ?? ck xk (t )是方程(4.2)的解。例1 验证sint,cost,? (t) ? c1 sin t ? c2 cost是方程x ?x?0