篇一：2013年高考椭圆题(答案)
年大纲版数学（理））椭圆C:x4?y3?1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上
且直线PA2的斜率的取值范围是??2,?1?,那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）
A．[12,3
4
]
B．[338,]
C．[14
2
,1]
D．[34
,1]
2.（2013年高考新课标1（理））已知椭圆E:
x2y2a2
?b2
?1(a?b?0)的右焦点为F(3,0),过点
F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,?1),则E的方程为（ ）
x22
x2y2?y2A．?1
B．x2y4536
36?27
?1
2718?1 D．x218?y2
C．?9
?1
3.（2013年浙江数学（理））如图,F是椭圆Cx2
1,F21:4
?y2?1与双曲线C2的公共焦
点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离
心率是
A．2B．
C．3
D．62
2
3.（2013年高考上海卷（理））设AB是椭圆?的长轴,点C
在?上,且?CBA?
?
4
,若
AB=4,BC?,则?的两个焦点之间的距离为________
. 4.（2013年江苏卷（数学））在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为
x2y2
a2?b
2?1(a?0,b?0),右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端点为B,设原点到直线BF的距离为dd1,F到l的距离为2,若d2?d1,则椭圆C的离心率为___.
【答案】
3
5.（2013年福建数学（理））椭圆?:x2y2
a2?b
2?1(a?b?0)的左.右焦点分别为F1,F2,焦
距为2c,
若直线y?x?c)与椭圆?的一个交点M满足?MF1F2?2?MF2F1,则该椭
圆的离心率等于__________
【答案】?1
（理））已知椭圆C:x2y2
6.（2013年辽宁数学a2?b
2?1(a?b?0)的左焦点为F,C与过原点
的直线相交于A,B两点,连接AF,BF,若AB?10,AF?6,cos?ABF?4
5
,则C的离
心率e=______.【答案】5
7
7.（2013年上海春）已知椭圆C的两个焦点分别为F1(?1
， 0)、F2(1， 0),短轴的两个端点
）
（
B2 分别为B1、
(1)若?F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;
????????
(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P、 Q两点,且F1P?F1Q,求直线l的方程.
x2y2
【答案】[解](1)设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0).
ab
?a?2bx2y24212
根据题意知?2, 解得a?,b? 故椭圆C的方程为??1. 2
33a?b?1?
33
x2
(2)容易求
2
当直线l的斜率不存在时,其方程为x?1,不符合题意; 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y?k(x?1). ?y?k(x?1)?2222由?x2 得(2k?1)x?4kx?2(k?1)?0. 2
??y?1?2
y1)， Q(x2， y2),则 设P(x1，
????4k22(k2?1)????
x1?x2?2， x1x2?， F1P?(x1?1， y1)， FQ?(x2?1， y2) 12
2k?12k?1????????????????
?0,即 因为F1P?F1Q,所以F1P?FQ1
(x1?1)(x2?1)?y1y2?x1x2?(x1?x2)?1?k2(x1?1)(x2?1)
7k2?1
?(k?1)x1x2?(k?1)(x1?x2)?k?1 ?2?0,
2k?1
12
解得k?,
即k?故直线l
的方程为x??1?
0或x?1?0.
7
x2y2
8.（2013年四川卷（理））已知椭圆C:2?2?1,(a?b?0)的两个焦点分别为
ab41
F1(?1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P(,).
33
(Ⅰ)求椭圆C的离心率;
(Ⅱ)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M、N两点,点Q是线段MN上的点,且211
??,求点Q的轨迹方程. 222
|AQ||AM||AN|
2
2
2
【答案】解
:2a?PF1?PF2??
所以
,a?. 又由已知,c?1,所以椭圆C
的离心率e?
c??a2x2
????由???知椭圆C的方程为?y2?1.
2
设点Q的坐标为(x,y).
??1两点,此时Q
点坐标为(1)当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于?0,1?,?0,???0,2 ??
(2) 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y?kx?2.
因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1?2),(x2,kx2?2),则 AM?(1?k2)x12,AN?(1?k2)x22.又AQ?x2??y?2??(1?k2)x2.
由
2
2
2
2
2AQ
?
1AM
?
1AN
,得
2
211
??, 222222
1?kx1?kx11?kx2
211?x1?x2??2x1x2 ① 即 2?2?2?
xx1x2x12x22
x2
?y2?1中,得 将y?kx?2代入2
?2k2?1?x2?8kx?6?0 ②
22
由???8k??4?2k?1?6?0,得k?
2
??
3. 2
8k6
,xx?, 12
2k2?12k2?1
182
代入①中并化简,得x? ③ 2
10k?3
由②可知x1?x2??
因为点Q在直线y?kx?2上,所以k?
y?2
,代入③中并化简,得x
10?y?2??3x2?18.
2
???332
?,可知0?x?,
即x??.
?????22????
??22
10y?2?3x?18x?又?0,2?满足,
故. ?????????
由题意,Q?x,y?在椭圆C内部,所以?1?y?1,
由③及k?
2
又由10?y?2??18?3x有
2
2
?12?99?
y?,2?且,
则y?2?,?1?y?1?????. ???54??2
所以点Q的轨迹方程是10?y?2??3x?18,其
2
2
??1中
,x???,y???2,2
??
??
x2y2
9.（2013年山东数学（理）试题）椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1,F2,
ab
,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设?F1PF2的角平分线PM交C 的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P点作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,
11?设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k?0,试证明为定值,并求出这个定值. kk1kk2
x2y2b2
?2?1y??2222
c?a?bx??ca b【答案】解:(Ⅰ)由于,将代入椭圆方程a得
2b2c
?1e?
?2
a由题意知a,即a?2b又x2
?y2?1
a?2b?14x2y210.（2013年浙江数学（理））如图,点P(0,?1)是椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的一个顶
ab
22
点,C1的长轴是圆C2:x?y?4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于两点,l2交椭圆C1于另一点D
(1)求椭圆C1的方程; (2)求?ABD面积取最大值时直线l1的方程.
【答案】解:(Ⅰ)由已知得到b
2
?1,且2a?4?a?2,
x
?y2?1; 4
(Ⅱ)因为直线l1?l2,且都过点P(0,?1),所以设直线
所以椭圆的方程是
（第21题图）
l1:y?kx?1?kx?y?1?0,直线
1
l2:y??x?1?x?ky?k?0,所以圆心(0,0)到
k
直线l1:y?kx?1?kx?y?1?
0的距离为
22
d?,所以直线l1被圆x?y?
4所截的弦
AB??
?x?ky?k?0?222
?kx?4x?8kx?0,所以
由?x2
2
??y?1?4
8kxD?xP??2?|DP|??,所以
k?4k?4
11S?ABD?|AB||DP|????22k?4k?44k?3?
133232????
2?
?
?k2?
5?k??时等号成立,
22
此时直线l1:y??
x?1 2
11.（2013年重庆数学（理）试题）如题(21)图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心
率e?
过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A?两点,AA??4. 2
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P?,过P,P?作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQ?P?Q,求圆Q的标准方程.
篇二：椭圆高考题赏析_(带解析)
若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 答案:B
解析:由2a,2b,2c成等差数列,所以2b=a+c. 又b2?a2?c2? 所以
(a?c)2?4(a2?c2). 所以a?c.所以e??. 3a5
2y22.已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且ab
????????BF?x轴,直线AB交y轴于点P.若AP?2PB,则椭圆的离心率是( )
C. 3D. 2
答案:D
????????????????解析:对于椭圆,∵AP?2PB,则OA?2OF, ∴a=2c.∴e?. 2
2y23.已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1(?c?0)、F2(c?0)?若椭圆ab
上存在一点P使??则该椭圆的离心率的取值范围为. sin?PFFsin?PFF1221
答案
:?1?1)
解析:因为在△PF1F2中,由正弦定理得
则由已知,得?PF2??PF1??? 1221??即a|PF|=c|PF|. 12?PF?PF12?11?
2由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a, 则|PF2|+|PF2|=2a,即|PF2|?? ac?a
2由椭圆的几何性质知|PF2|<a+c,则?a+c,即c2?2c?a2?0? c?a
所以e2?2e?1?
解得e??
1或e??1.
又e?(0?1)?
故椭圆的离心率e?1?1).
2y24.椭圆??1的左、右焦点分别为F1、F2?点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF292
|=;?F1PF2的大小为.
答案:2 120?解析:∵a2?9?b2?2?
∴c???∴|F1F
2|?又|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a=6,
∴|PF2|=2. 又由余弦定理,得
cos?F1PF2????∴?F1PF2?120?,故应填2,120?.
2y2连接椭圆的四个顶点得到的菱5.已知椭圆2?2?1(a?b?0)
的离心率e?ab
形的面积为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A的坐标为(-a,0).
若
|AB|?求直线l的倾斜角; 解:(1)
由e??a得3a2?4c2.再由c2?a2?b2?解得a=2b. ?a?2b? 得a=2,b=1. ?ab?2?由题意可知?2a?2b?4?即ab=2. 解方程组 ?2
所以椭圆的方程为?y2?1. 2
4
(2)由(1)可知点A的坐标是(-2,0).设点B的坐标为(x1?y1)?直线l的斜率为k. 则直线l的方程为y=k(x+2).
?y?k(x?2)??于是A,B两点的坐标满足方程组?2 消去y并整理,得 2?y?1???4
(1?4k2)x2?16k2x?(16k2?4)?0. 22由?2x1?2?得x1?2.从而y1?1?4k1?4k. 1?4k2
所以
|AB|??. 由
|AB|?
?整理得32k4?9k2?23?0?即(k2?1)(32k2?23)?0?解得k??1.
所以直线l的倾斜角为或. 44
巩固提升
题组一 椭圆的离心率问题
2y21.椭圆2?2?1(a?b?0)的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存ab
在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是( )
A.(0 B.(0?]
2
C.1?1) 答案:D D.[?1) 2
222解析:|AF|??c??而|AF|=|PF|?a?c? 所以a?c?? 即2e2?e?1?0?解得?e?1. 2
2.已知F1?F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若△ABF2是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( )
1
? 答案:C 2解析:根据题意:?AF2F1?45??2c?e2?2e?1=0,又e?(0?1)?
∴e??1. a
2y23.设椭圆2?2?1(m?0?n>0)的右焦点与抛物线y2?8x的焦点相同,离心率为mn
?则此椭圆的方程为( ) 2y2??1 A.2y2??1 C.48642y2??1 B.2y2??1 D.6448
答案:B
解析:由题意可知:c=2,且焦点在x轴上.由e??可得m=4,∴n2?m2?c2?12.故2
选B.
题组二 椭圆的定义
2y24.设P是椭圆??1上的点.若F1?F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( )
A.4
答案:D B.5C.8 D.10
解析:因为a=5,所以|PF1|+|PF2|=2a=10.
y2
5.设直线l:2x+y-2=0与椭圆x??1的交点为A、B,点P是椭圆上的动点,则使4
△PAB面积为的点P的个数为( ) 32
A.1
答案:D B.2 C.3 D.4
?2x?y?2?0??x?0??x?1??2解析:联立方程组 ? 消去y整理解得: 或 |AB|??y2y?2y?0?x??1???
???
结合图象知P的个数为4.
题组三 椭圆的综合应用
6.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,
个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为.
2y2??1 答案:369
2y22a?12?a?6,b=3,则所求椭圆方程为??1. 解析
:e?369且G上一点到G的两2y27.已知F1、F2是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且ab
????????PF1?PF2.若△PF1F2的面积为9,则b=.
答案:3 ????????
??PF1???PF2??2a??解析:依题意,有 ??PF1???PF2??18? 可得4c2?36?4a2?即a2?c2?9?∴
??PF?2??PF?2?4c2?2?1
b=3.
篇三：十年高考分类汇编椭圆带答案
1、已知△ABC的顶点B、Cy＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC
3边上，则△ABC的周长是
（A）3（B）6 （C）43（D）12选C
x2
2
x2y2
??1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若F2A?F2B?12，2、已知F1，F2为椭圆
259
则AB? ．答案：8
x2y2
??1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF1|?4，则|PF2|?；?F1PF2的大小3、椭圆92
为 .2,120?
x2y24、已知椭圆C2?2?1(a?b?0)的左右焦点为F1,F2
，过F2的直线l交C与A,B两点，
ab若△AF1B
的周长为，则C的方程为（ ）
x2y2x2x2y2x2y22
A. ??1B. ?y?1 C. ??1 D. ??1
323128124
x2
?y2?1的两个焦点为F1、5、椭圆F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=4
（ C ）
A．
3 2
B．3
C．
7 2
D．4
6、已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角
形，则这个椭圆的离心率是（ A ）
A．
322
B．
333
C．
2
2
D．
2
x2y2
7、设椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点PF2?F1F2,?PF1F2?30?,
ab
则C的离心率为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
x2y2
F2，8、设椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左右焦点为F1，过F2作x轴的垂线与C交于 A，B两点，F1B
ab
与y轴交于点D，若AD?F1B，则椭圆C的离心率等于________.
9、设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（D） （A
）
1（B
） （C
）2（D
1 22
x2y2
??1上，则10、在平面直角坐标系xOy中，已知?ABC顶点A(?4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆
259sinA?sinC
? 5/4 .
sinB
11、设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足PF1:F1F2:PF2=4:3:2，则曲线
r的离心率等于
A．或
1
232231
B．或2 C．或2 D．或【答案】A 23322
x2y2
12、已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左焦点为FF,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接了
ab
4
AF,BF,若AB?10,BF?8,cos?ABF?,则C的离心率为
5
3546A． B． C． D．【答案】B
5757
（ ）
x2y2
??1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭13、如图，把椭圆
2516
F是椭圆的一个焦点，则圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点，
PF?P12F?P3F?P4F?P5F?P6F?P7F?14、已知F1、F
2p为椭圆C?PF1F2的面积为9?|PF1|
?|PF2|?2a?2222
【解析】依题意，有?|PF1|?|PF2|?18，可得4c＋36＝4a，即a－c＝9，故有b＝3。
?222?|PF1|?|PF2|?4c
x2y2
?1(a为定值，15、椭圆2?且a?的的左焦点为F，直线x?m与椭圆相交于点A、B，?FAB
a5
的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
22
[解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又?a?c?5?c?2,?e?
c2? a3
x2y2
16、已知椭圆C：??1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段
94
MN的中点在C上，则|AN|?|BN|? .【答案】12
x2y2
17、已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l:3x?4y?0交椭
ab
圆E于A,B两点．若AF?BF?4，点M到直线l的距离不小于
4
，则椭圆E的离心率的取值范围（） 5
A．
33 B．(0,] C
．D．[,1)
4422
【答案】A【解析】设左焦点为F，连接AF1，BF1．则四边形BF1AF是平行四边形，故AF1?BF，
,b)，则所以AF?AF所以a?2，设M(01?4?2a，
4b4
?，故b?1，从而a2?c2?1，0?c2?3，
55
0?c?E
的离心率的取值范围是
性质与运算
，故选A． x2y2
??1（m?0）的左焦点为F18、已知椭圆1??4,0?，则m?（） 25m2
A．9B．4C．3 D．2【答案】C 19、已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于
1
,则C的方程是 2
（ ）
x2y2x2y2x2y2x2y2
??1 B．?1 D．??1 A．??1 C．?344243420、已知F0F,2?1??1,?
则C的方程为 AB?3，
是椭圆,0?1
A、B两点，且的两个焦点C过且垂直于F,轴的直线交于x2
（ ）
x2
?y2?1 A．2x2y2
??1 B．32x2y2
??1 C．43x2y2
??1【答案】C D．54
x2y2
??1 21、若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2,0),则椭圆的标准方程是
8020
22、对于常数m、n，“mn?0”是“方程mx?ny?1的曲线是椭圆”的（）
A、充分不必要条件B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条B.
2
2
23、 “m?n?0”是“方程mx2?ny2?1”表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
x2y2
??1, 根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足解析:将方程mx?ny?1转化为 mn
1111
?0,?0,所以?，故选C.nmmn
24、已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程
2
2
是．
?b2?4
?2?2y2?a?2b,c???a?16???1为所求； 解：
已知??
222164???a?b?c
??F(?x2y2
25、已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆
ab
上，且BF?x轴，直线AB交y轴于点P．若AP=2PB，则椭圆的离心率是（）11B
C．D．32????????1
【解析】对于椭圆，因为AP?2PB，则OA?2OF,?a?2c,?e?
2
A
26、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ） A．
1
3
B
C．
1 2
D
D。 27、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 A.
4321 B. C. D. 5555B
28、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为__________；
b2c1解析：设c=1，则?2?a2?c2?2a?a?1?2?e???2?1
aa2?1
29、已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为。
b2c21
?3?b2?3a?a2?4?3a?a?4,e??? 解析：由已知C=2，aa42
3
．若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝ ． 4
12c
. 解：．不妨设2c＝AB＝4，AC＝3，则CB＝5，由椭圆定义可得2a＝AC＋CB＝8，于是e?
22a
x2y23a
31、设F1F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为直线x?上一点，?F2PF1是底角为
2ab
30?的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
30、在△ABC中，∠A＝90°，tanB＝
12?? (B) (C)(D) 23??
【解析】∵△F2PF1是底角为30的等腰三角形， (A)
∴?PF2A?600，|PF2|?|F1F2|?2c，∴|AF2|=c，∴2c?
33
a，∴e=，故选C.
42
x2y2
32、椭圆?:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.
若直线y?x?c?与椭圆?
ab
的一个交点M满足?MF1F2?2?MF2F1,则该椭圆的离心率等于__________【答案】3?1
x2y2
33、椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|
ab
成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ） A.
11 B. 4
2
5
解：利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：AF1?a?c，F1F2?2c，F1B?a?c.又已
c知AF1F1F2F故(a?c)(a?c)?(2c)2，即a?1B成等比数列，
即椭圆的离心率为
22
222
?c4，则a?5c.
故e?
c.
?
a. 5
x2y2
A是椭圆与x轴正半轴的34、从椭圆2?2?1(a?b?0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,
ab
交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB//OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是 _
35、已知F1、F2是椭圆的两个焦点．满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ）
A．(0，1)
B．(0，
1] 2
C．(0，
2) 2
D．[
2
，1) 2
1x2y2
0)，方程ax2?bx?c?0的两个实36、设椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为e?，右焦点为F(c，
2ab
根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)（ ） Ａ．必在圆x?y?2内 Ｃ．必在圆x?y?2外
2
2
2
2
Ｂ．必在圆x?y?2上
Ｄ．以上三种情形都有可能选A
22
37、设AB是椭圆的长轴,点C在椭圆上,且?CBA?
π
.若AB?
4,BC?,则椭圆的两个焦点之间的4
距离为_______.
【答案】
3