2016高考浙江数学答案

2016高考浙江数学答案

2016 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学(理科)一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 个是符合题目要求的。

1.已知集合 P= A.[2,3] B.(-2,3] ,Q= C.[1,2) D. ,则 ,则 P =2.已知互相垂直的平面 A. B. C.交于直线 l,若直线 m,n 满足 D.3. 在平面上,过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影,由区域 中的点在直线 x+y-2=0 上的投影构成的线段记为 AB,则|AB|=A. 4.命题“ A. C. 5.设函数C. 使得 使得 使得D.6 ”的否定形式是 B. D. ,则 的最小正周期 B.与 b 有关,但与 c 无关 D.与 b 无关,但与 c 有关 使得 使得A.与 b 有关,且与 c 有关 C.与 b 无关,且与 c 无关 6.如图,点列分别在某锐角的两边上,且 , , , .( 若 A.表示点 P 与 Q 不重合) , 为 的面积,则 是等差数列是等差数列 B.是等差数列 D.是等差数列的焦点重合, 则 A. C. 且 且 . 则 则 则 则 B. D. 且 且的离心率,8.已知实数 A.若 B.若 C.若 D.若二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。

9.若抛物线 10.已知 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 到 y 轴的距离是. ,则 A=,b=.11.某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的表面积是 cm ,体积是 cm . 12.已知 ,若 ,则 a=,b=.13.设数列的前 n 项和为 ,若,则 =, =. 14.如图,在 中,AB=BC=2, .若平面 ABC外的点 P 和线段 AC 上的点 D,满足 PD=DA,PB=BA,则四面 体 PBCD 的体积的最大值是. 15.已知向量 a,b,|a|=1,|b|=2,若对任意单位向量 e,均有|a·e|+|b·e| 的最大值是. ,则 a·b三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

16. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , 已知 b ? c ? 2a cos B (Ⅰ)证明: A ? 2 B (Ⅱ)若 ?ABC 的面积 S ?a2 ,求角 A 的大小. 417. (本题满分 15 分)如图,在三棱台 ABC ? DEF 中,已知平面 BCFE 平面 ABC ,?ACB ? 90? , BE ? EF ? EC ? 1 , BC ? 2 , AC ? 3 ,(Ⅰ)求证: BF ? 平面ACFD (Ⅱ)求二面角 B-AD-C 的余弦值. 18. (本题满分 15 分)设 a ? 3 ,函数 F ( x ) ? min{2 | x ? 1 |, x ? 2ax ? 4a ? 2} ,其中 (Ⅰ)求使得等式 F ( x ) ? x ? 2ax ? 4a ? 2 成立的 x 的取值范围(Ⅱ) (i)求 F ( x ) 的最小值 m( a ) (ii)求 F ( x ) 在 [0, 6] 上的最大值 M ( a )19.(本题满分 15 分)如图,设椭圆 C:x2 ? y 2 ? 1( a ? 1) 2 a(Ⅰ) 求直线 y ? kx ? 1 被椭圆截得到的弦长 (用 a,k 表示) (Ⅱ)若任意以点 A(0,1) 为圆心的圆与椭圆至多有三个公 共点,求椭圆的离心率的取值范围.20、 (本题满分 15 分)设数列满足 | an ?an ?1 |? 1 , 2(Ⅰ)求证: | an |? 2 n ?1 (| a1 | ?2) ( n ? N *) (Ⅱ)若 | an |? ( ) n , n ? N * ,证明: | an |? 2 , n ? N * . 浙江数学(理科)试题 参考答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 40 分. 1.B 2.C 3.C 4.D 5.B 6.A 7.A 8.D 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,满分 16 分. 9.9 10. 2,1 11.72,32 12.4,2 13.1,121 14.1 2 1 2三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。

16.本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。

满分 14 分。

(I)由正弦定理得 sin ? ? sin C ? 2sin ? cos ? , 故 2sin ? cos ? ? sin ? ? sin ? ? ? ? ? ? sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? , 于是 sin ? ? sin ? ? ? ? ? . 又 ? , ? ? ? 0, ? ? ,故 0 ? ? ? ? ? ? ,所以? ? ? ? ? ? ? ?? 或 ? ? ? ? ? ,因此 ? ? ? (舍去)或 ? ? 2? , 所以, ? ? 2? . (II)由 S ?a2 1 a2 得 ab sin C ? ,故有 4 2 41 sin ? sin C ? sin 2? ? sin ? cos ? , 2 因 sin ? ? 0 ,得 sin C ? cos ? .又 ? , C ? ? 0, ? ? ,所以 C ? 当??C ? 当C?? ?时, ? ? 时, ? ? 或? ?综上, ? ?17.本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想象能力和运 算求解能力。满分 15 分。

(I)延长 ?D , ?? , CF 相交于一点 ? ,如图所示. 因为平面 ?CF? ? 平面 ??C ,且 ?C ? ?C ,所以, ?C ? 平面 ?C? ,因此, ?F ? ?C . 又因为 ?F//?C , ?? ? ?F ? FC ? 1 , ?C ? 2 ,所以 ??C? 为等边三角形,且 F 为 C? 的中点,则 ? F ? C? . 所以 ?F ? 平面 ?CFD .(II)方法一: 过点 F 作 FQ ? ?? ,连结 ?Q . 因为 ?F ? 平面 ?C? ,所以 ?F ? ?? ,则 ?? ? 平面 ?QF ,所以 ?Q ? ?? . 所以, ??QF 是二面角 ? ? ?D ? F 的平面角. 在 Rt??C? 中, ?C ? 3 , C? ? 2 ,得 FQ ?3 13 . 13在 Rt??QF 中, FQ ?3 13 3 , ?F ? 3 ,得 cos ??QF ? . 13 4 3 . 4所以,二面角 ? ? ?D ? F 的平面角的余弦值为方法二: 如图,延长 ?D , ?? , CF 相交于一点 ? ,则 ??C? 为等边三角形. 取 ?C 的中点 ? ,则 ?? ? ?C ,又平面 ?CF? ? 平面 ??C ,所以, ?? ? 平面 ??C . 以点 ? 为原点,分别以射线 ?? , ?? 的方向为 x , z 的正方向, 建立空间直角坐标系 ?xyz . 由题意得? ?1, 0, 0 ? , C ? ?1, 0, 0 ? , ? 0, 0, 3 ,?1 ? 1 3? 3? ? ? ?1, ?3, 0 ? , ? ? , 0, , F ? ? , 0, ? ? ?2 ? ? 2 ?. 2 2 ? ? ? ???? ? ??? ? ???? ?C ? ? 0,3, 0 ? , ?? ? 1,3, 3 , ?? ? ? 2,3, 0 ? .设平面 ?C? 的法向量为 m ? ? x1 , y1 , z1 ? ,平面 ??? 的法向量为 n ? ? x2 , y2 , z2 ? . ??? ? ? ? ?C ? m ? 0 ? ? ? ?3 y1 ? 0 由 ? ???? ? ,得 ? ,取 m ? 3, 0, ?1 ; ? ? ? x1 ? 3 y1 ? 3 z1 ? 0 ? ?? ? m ? 0 ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? n ? 0 ?2 x2 ? 3 y2 ? 0 由 ? ???? ? ,得 ? ,取 n ? 3, ?2, 3 . ? ? ? x2 ? 3 y2 ? 3z2 ? 0 ? ?? ? n ? 0 ? ? m?n 3 ? ? 于是, cos m, n ? ? ? ? . m?n 4所以,二面角 ? ? ?D ? F 的平面角的余弦值为3 . 418.本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识。同时考查推理论 证能力,分析问题和解决问题的能力。满分 15 分。

(I)由于 a ? 3 ,故 当 x ? 1 时(本文来自:Www.dXF5.com 东星资源 网:2016高考浙江数学答案), x 2 ? 2ax ? 4a ? 2 ? 2 x ? 1 ? x 2 ? 2 ? a ? 1?? 2 ? x ? ? 0 , 当 x ? 1 时, x 2 ? 2ax ? 4a ? 2 ? 2 x ? 1 ? ? x ? 2 ?? x ? 2a ? . 所以,使得等式 F ? x ? ? x ? 2ax ? 4a ? 2 成立的 x 的取值范围为? 2, 2a ? .(II) (i)设函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 , g ? x ? ? x ? 2ax ? 4a ? 2 ,则f ? x ?min ? f ?1? ? 0 , g ? x ?min ? g ? a ? ? ?a 2 ? 4a ? 2 ,所以,由 F ? x ? 的定义知 m ? a ? ? min f ?1? , g ? a ? ,即? ?0,3 ? a ? 2 ? 2 m?a? ? ? . 2 ? ??a ? 4a ? 2, a ? 2 ? 2 (ii)当 0 ? x ? 2 时,F ? x ? ? f ? x ? ? max ? f ? 0 ? , f ? 2 ?? ? 2 ? F ? 2 ? ,当 2 ? x ? 6 时,F ? x ? ? g ? x ? ? max ? g ? 2 ? , g ? 6 ?? ? max ?2,34 ? 8a? ? max ?F ? 2 ? , F ? 6 ?? .?34 ? 8a,3 ? a ? 4 . ? ?a? ? ? ?2, a ? 419.本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何 的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。? y ? kx ? 1 ? (I)设直线 y ? kx ? 1 被椭圆截得的线段为 ?? ,由 ? x 2 得 2 ? y ? 1 ? 2 ?a?1 ? a k ? x? 2a 2 kx ? 0 ,x1 ? 0 , x2 ? ?2a 2 k . 1 ? a2k 2?? ? 1 ? k x1 ? x2 ?2a 2 k 1? a k? 1? k 2 .(II)假设圆与椭圆的公共点有 4 个,由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 ? ,Q , 满足?? ? ?Q .记直线 ?? , ?Q 的斜率分别为 k1 , k2 ,且 k1 , k2 ? 0 , k1 ? k2 . 由(I)知,2 2a 2 k1 1 ? k12 2a 2 k 2 1 ? k 2 , ?Q ? , ?? ? 2 1 ? a 2 k12 1 ? a 2 k22 2a 2 k1 1 ? k12 2a 2 k2 1 ? k2 , ? 2 1 ? a 2 k12 1 ? a 2 k22 2 2 2 2 2 2 2 所以 k1 ? k2 ?1 ? k1 ? k2 ? a 2 ? a k1 k2 ? ? 0 .由于 k1 ? k2 , k1 , k2 ? 0 得2 2 1 ? k12 ? k2 ? a 2 ? 2 ? a 2 ? k12 k2 ? 0, ? 1 ?? 1 ? 2 2 ? 2 ? 1?? 2 ? 1? ? 1 ? a ? a ? 2 ? , k k ? 1 ?? 2 ?因为①式关于 k1 , k2 的方程有解的充要条件是1 ? a2 ? a2 ? 2? ? 1 ,a? 2.因此,任意以点 ? ? 0,1? 为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为1? a ? 2,c a2 ?1 2 ? 得,所求离心率的取值范围为 0 ? e ? . a a 220.本题主要考查数列的递推关系与单调性、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力、 分析问题和解决问题的能力。满分 15 分。

(I)由 an ?an ?1 1 ? 1 得 an ? an ?1 ? 1 ,故 2 2an an ?1 1 ? n ?1 ? n , n ? ? ? , n 2 2 2a1 an ? a1 a2 ? ? a2 a3 ? ? an ?1 an ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? n ?1 ? n ? 21 2n ? 21 22 ? ? 22 23 ? 2 ? ?2? 1 1 1 ? 2 ? ??? ? n ?1 1 2 2 2 ?1,an ? 2n ?1 ? a1 ? 2 ? .(II)任取 n ? ? ? ,由(I)知,对于任意 m ? n ,an am ? an an ?1 ? ? an ?1 an ? 2 ? ? am ?1 am ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? m ?1 ? m ? 2n 2m ? 2n 2n ?1 ? ? 2n ?1 2n ? 2 ? 2 ? ?2? 1 1 1 ? n ?1 ? ??? ? m ?1 n 2 2 2 1 ? n ?1 , 2 ? 1 a ? n an ? ? n ?1 ? m ??2 2m ? ?2? 1 1 ? ? n ?1 ? m 2 ?2 ?m ?3? ? n ?? ? ? ? 2 ?2? ? ??3? ? 2 ? ? ? ? 2n . ?4?从而对于任意 m ? n ,均有?3? an ? 2 ? ? ? ? 2n . ?4?由 m 的任意性得 an ? 2 . ①否则,存在 n0 ? ? ? ,有 an0 ? 2 ,取正整数 m0 ? log 3an0 ? 2 2n0且 m0 ? n0 ,则?3? 2m0 ? ? ? ?4??3? ? 2n0 ? ? ? ?4?log 3an0 ? 2 2n0? an0 ? 2 ,与①式矛盾. 综上,对于任意 n ? ? ? ,均有 an ? 2 .