2016北京理科数学高考

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孙斌高二【物理】...

2016北京理科数学高考

2016 年北京市高考数学试卷(理科) 共 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.(5 分)(2016 北京)已知集合 A={x||x|<2},B={-1,0,1,2,3},则 A B=( ) A.{0,1} B.{0,1,2} C.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2} 2.(5 分)(2016 北京)若 x,y 满足 ,则 2x+y 的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 3. (5 分) (2016 北京)执行如图所示的程序框图,若输入的 a 值为 1,则输出的 k 值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.(5 分)(2016 北京)设 , 是向量,则 | |=| | 是 | + |=| - | 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(5 分)(2016 北京)已知 x,y R,且 x>y>0,则( ) A. - >0 B.sinx-siny>0 C.( ) x -( ) y <0 D.lnx+lny>0 6.(5 分)(2016 北京)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ) A. B. C. D.1 7.(5 分)(2016 北京)将函数 y=sin(2x- )图象上的点 P( ,t)向左平移 s(s>0)个单位长度得到点 P ,若 P 位于函数 y=sin2x 的图象上,则( ) A.t= ,s 的最小值为 B.t= ,s 的最小值为 C.t= ,s 的最小值为 D.t= ,s 的最小值为 8.(5 分)(2016 北京)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( ) A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 共 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.(5 分)(2016 北京)设 a R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则 a= . 10.(5 分)(2016 北京)在(1-2x) 6 的展开式中,x 2 的系数为 .(用数字作答) 11.(5 分)(2016 北京)在极坐标系中,直线 cos - sin -1=0 与圆 =2cos 交于 A,B 两点,则|AB|= . 12.(5 分)(2016 北京)已知{a n }为等差数列,S n 为其前 n 项和.若 a 1 =6,a 3 +a 5 =0,则S 6 = . 13.(5 分)(2016 北京)双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近线为正方形 OABC 的边OA,OC 所在的直线,点 B 为该双曲线的焦点.若正方形 OABC 的边长为 2,则a= . 14.(5 分)(2016 北京)设函数 f(x)= . ①若 a=0,则 f(x)的最大值为 ; ②若 f(x)无最大值,则实数 a 的取值范围是 . 共 三、解答题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(13 分)(2016 北京)在△ABC 中,a 2 +c 2 =b 2 + ac. (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cosA+cosC 的最大值. 16.(13 分)(2016 北京)A,B,C 三个班共有 100 名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如表(单位:小时): A 班 6 6.5 7 7.5 8 B 班 6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 (Ⅰ)试估计 C 班的学生人数; (Ⅱ)从 A 班和 C 班抽出的学生中,各随机选取一个人,A 班选出的人记为甲,C 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率; (Ⅲ)再从 A,B,C 三班中各随机抽取一名学生,他们该周锻炼时间分别是 7,9,8.25(单位:小时),这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 1 ,表格中数据的平均数记为 0 ,试判断 0 和 1 的大小.(结论不要求证明) 17.(14 分)(2016 北京)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD 平面 ABCD,PA PD,PA=PD,AB AD,AB=1,AD=2,AC=CD= . (Ⅰ)求证:PD 平面 PAB; (Ⅱ)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值; (Ⅲ)在棱 PA 上是否存在点 M,使得 BM‖平面 PCD?若存在,求 的值,若不存在,说明理由. 18.(13 分)(2016 北京)设函数 f(x)=xe a- x +bx,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=(e-1)x+4, (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间. 19.(14 分)(2016 北京)已知椭圆 C: + =1(a>0,b>0)的离心率为 ,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB 的面积为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P 是椭圆 C 上一点,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证:|AN| |BM|为定值. 20.(13 分)(2016 北京)设数列 A:a 1 ,a 2 , ,a N (N 2).如果对小于 n(2 n N)的每个正整数 k 都有 a k <a n ,则称 n 是数列 A 的一个 G 时刻 ,记 G(A)是数列 A 的所有 G 时刻 组成的集合. (Ⅰ)对数列 A:-2,2,-1,1,3,写出 G(A)的所有元素; (Ⅱ)证明:若数列 A 中存在 a n 使得 a n >a 1 ,则 G(A) ; (Ⅲ)证明:若数列 A 满足 a n -a n - 1 1(n=2,3, ,N),则 G(A)的元素个数不小于a N -a 1 . 2016 年北京市高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 共 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.(5 分)(2016 北京)已知集合 A={x||x|<2},B={-1,0,1,2,3},则 A B=( ) A.{0,1} B.{0,1,2} C.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2} 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;转化思想;综合法;集合. 【分析】先求出集合 A 和 B,由此利用交集的定义能求出 A B. 【解答】解:∵集合 A={x||x|<2}={x|-2<x<2}, B={-1,0,1,2,3}, A B={-1,0,1}. 故选:C. 【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运用. 2.(5 分)(2016 北京)若 x,y 满足 ,则 2x+y 的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;规律型;数形结合;函数思想;转化思想. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,目标函数的几何意义是直线的纵截距,利用数形结合即可求 z 的取值范围. 【解答】解:作出不等式组 对应的平面区域如图:(阴影部分). 设 z=2x+y 得 y=-2x+z, 平移直线 y=-2x+z, 由图象可知当直线 y=-2x+z 经过点 A 时,直线 y=-2x+z 的截距最大, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 A(1,2), 代入目标函数 z=2x+y 得 z=1 2+2=4. 即目标函数 z=2x+y 的最大值为 4. 故选:C. 【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法. 3. (5 分) (2016 北京)执行如图所示的程序框图,若输入的 a 值为 1,则输出的 k 值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】程序框图. 【专题】计算题;操作型;算法和程序框图. 【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值,模拟程序的运行过程,可得答案. 【解答】解:输入的 a 值为 1,则 b=1, 第一次执行循环体后,a=- ,不满足退出循环的条件,k=1; 第二次执行循环体后,a=-2,不满足退出循环的条件,k=2; 第三次执行循环体后,a=1,满足退出循环的条件, 故输出的 k 值为 2, 故选:B 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答. 4.(5 分)(2016 北京)设 , 是向量,则 | |=| | 是 | + |=| - | 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】充要条件;向量的模. 【专题】转化思想;平面向量及应用;矩阵和变换. 【分析】根据向量模相等的几何意义,结合充要条件的定义,可得答案. 【解答】解:若 | |=| | ,则以 , 为邻边的平行四边形是菱形; 若 | + |=| - | ,则以 , 为邻边的平行四边形是矩形; 故 | |=| | 是 | + |=| - | 的既不充分也不必要条件; 故选:D. 【点评】本题考查的知识点是充要条件,向量的模,分析出 | |=| | 与 | + |=| - | 表示的几何意义,是解答的关键. 5.(5 分)(2016 北京)已知 x,y R,且 x>y>0,则( ) A. - >0 B.sinx-siny>0 C.( ) x -( ) y <0 D.lnx+lny>0 【考点】不等关系与不等式. 【专题】转化思想;函数的性质及应用;不等式. 【分析】x,y R,且 x>y>0,可得: ,sinx 与 siny 的大小关系不确定, <,lnx+lny 与 0 的大小关系不确定,即可判断出结论. 【解答】解:∵x,y R,且 x>y>0,则 ,sinx 与 siny 的大小关系不确定,< ,即 - <0,lnx+lny 与 0 的大小关系不确定. 故选:C. 【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 6.(5 分)(2016 北京)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ) A. B. C. D.1 【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离;立体几何. 【分析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,进而可得答案. 【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥, 棱锥的底面面积 S= 1 1= , 高为 1, 故棱锥的体积 V= = , 故选:A 【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键. 7.(5 分)(2016 北京)将函数 y=sin(2x- )图象上的点 P( ,t)向左平移 s(s>0)个单位长度得到点 P ,若 P 位于函数 y=sin2x 的图象上,则( ) A.t= ,s 的最小值为 B.t= ,s 的最小值为 C.t= ,s 的最小值为 D.t= ,s 的最小值为 【考点】函数 y=Asin( x+ )的图象变换. 【专题】转化思想;转化法;三角函数的图像与性质. 【分析】将 x= 代入得:t= ,进而求出平移后 P 的坐标,进而得到 s 的最小值. 【解答】解:将 x= 代入得:t=sin = , 将函数 y=sin(2x- )图象上的点 P 向左平移 s 个单位, 得到 P ( -s, )点, 若 P 位于函数 y=sin2x 的图象上, 则 sin( -2s)=cos2s= , 则 2s= +2k ,k Z, 则 s= +k ,k Z, 由 s>0 得:当 k=0 时,s 的最小值为 , 故选:A. 【点评】本题考查的知识点是函数 y=Asin( x+ )(A>0, >0)的图象和性质,难度中档. 8.(5 分)(2016 北京)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( ) A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【考点】进行简单的演绎推理. 【专题】推理和证明. 【分析】分析理解题意:乙中放红球,则甲中也肯定是放红球;往丙中放球的前提是放入甲中的不是红球,据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析. 【解答】解:取两个球共有 4 种情况: ①红+红,则乙盒中红球数加 1 个; ②黑+黑,则丙盒中黑球数加 1 个; ③红+黑(红球放入甲盒中),则乙盒中黑球数加 1 个; ④黑+红(黑球放入甲盒中),则丙盒中红球数加 1 个. 设一共有球 2a 个,则 a 个红球,a 个黑球,甲中球的总个数为 a,其中红球 x 个,黑球 y 个,x+y=a. 则乙中有 x 个球,其中 k 个红球,j 个黑球,k+j=x; 丙中有 y 个球,其中 l 个红球,i 个黑球,i+l=y; 黑球总数 a=y+i+j,又 x+y=a,故 x=i+j 由于 x=k+j,所以可得 i=k,即乙中的红球等于丙中的黑球. 故选 B. 【点评】该题考查了推理与证明,重点是找到切入点逐步进行分析,对学生的逻辑思维能力有一定要求,中档题 共 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.(5 分)(2016 北京)设 a R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则 a= -1 . 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【专题】计算题;转化思想;转化法;数系的扩充和复数. 【分析】(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i,则 a+1=0,解得答案. 【解答】解:(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i, 若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上, 则 a+1=0, 解得:a=-1, 故答案为:-1 【点评】本题考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义,难度不大,属于基础题. 10.(5 分)(2016 北京)在(1-2x) 6 的展开式中,x 2 的系数为 60 .(用数字作答) 【考点】二项式定理的应用. 【专题】方程思想;转化思想;二项式定理. 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出. 【解答】解:(1-2x) 6 的展开式中,通项公式 T r+1 = (-2x) r =(-2) r x r , 令 r=2,则 x 2 的系数= =60. 故答案为:60. 【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 11.(5 分)(2016 北京)在极坐标系中,直线 cos - sin -1=0 与圆 =2cos 交于 A,B 两点,则|AB|= 2 . 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程,利用圆心 C 在直线上可得|AB|. 【解答】解:直线 cos - sin -1=0 化为 y 直线 x- y-1=0. 圆 =2cos 化为 2 =2 cos , x 2 +y 2 =2x,配方为(x-1) 2 +y 2 =1,可得圆心 C(1,0),半径 r=1. 则圆心 C 在直线上, |AB|=2. 故答案为:2. 【点评】本题考查了把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程,考查了计算能力,属于基础题. 12.(5 分)(2016 北京)已知{a n }为等差数列,S n 为其前 n 项和.若 a 1 =6,a 3 +a 5 =0,则 S 6 = 6 . 【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差,由此利用等差数列的前 n 项和公式能求出 S 6 . 【解答】解:∵{a n }为等差数列,S n 为其前 n 项和. a 1 =6,a 3 +a 5 =0, a 1 +2d+a 1 +4d=0, 12+6d=0, 解得 d=-2, S 6 = =36-30=6. 故答案为:6. 【点评】本题考查等差数列的前 6 项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用. 13.(5 分)(2016 北京)双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近线为正方形 OABC 的边OA,OC 所在的直线,点 B 为该双曲线的焦点.若正方形 OABC 的边长为 2,则 a= 2 . 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】转化思想;定义法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边,得到双曲线的渐近线互相垂直,即双曲线是等轴双曲线,结合等轴双曲线的性质进行求解即可. 【解答】解:∵双曲线的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC 所在的直线, 渐近线互相垂直,则双曲线为等轴双曲线,即渐近线方程为 y= x, 即 a=b, ∵正方形 OABC 的边长为 2, OB=2 ,即 c=2 , 则 a 2 +b 2 =c 2 =8, 即 2a 2 =8, 则 a 2 =4,a=2, 故答案为:2 【点评】本题主要考查双曲线的性质的应用,根据双曲线渐近线垂直关系得到双曲线是等轴双曲线是解决本题的关键. 14.(5 分)(2016 北京)设函数 f(x)= . ①若 a=0,则 f(x)的最大值为 2 ; ②若 f(x)无最大值,则实数 a 的取值范围是 (- ,-1) . 【考点】分段函数的应用. 【专题】转化思想;转化法;函数的性质及应用. 【分析】①将 a=0 代入,求出函数的导数,分析函数的单调性,可得当 x=-1 时,f(x)的最大值为 2; ②若 f(x)无最大值,则 ,或 ,解得答案. 【解答】解:①若 a=0,则 f(x)= , 则 f (x)= , 当 x<-1 时,f (x)>0,此时函数为增函数, 当 x>-1 时,f (x)<0,此时函数为减函数, 故当 x=-1 时,f(x)的最大值为 2; ②f (x)= , 令 f (x)=0,则 x= 1, 若 f(x)无最大值,则 ,或 , 解得:a (- ,-1). 故答案为:2,(- ,-1) 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的最值,分类讨论思想,难度中档. 共 三、解答题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(13 分)(2016 北京)在△ABC 中,a 2 +c 2 =b 2 + ac. (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cosA+cosC 的最大值. 【考点】解三角形的实际应用. 【专题】计算题;转化思想;转化法;解三角形. 【分析】(Ⅰ)根据已知和余弦定理,可得 cosB= ,进而得到答案; (Ⅱ)由(I)得:C= -A,结合正弦型函数的图象和性质,可得 cosA+cosC 的最大值. 【解答】解:(Ⅰ)∵在△ABC 中,a 2 +c 2 =b 2 + ac. a 2 +c 2 -b 2 = ac. cosB= = = , B= (Ⅱ)由(I)得:C= -A, cosA+cosC= cosA+cos( -A) = cosA- cosA+ sinA = cosA+ sinA =sin(A+ ). ∵A (0, ), A+ ( , ), 故当 A+ = 时,sin(A+ )取最大值 1, 即 cosA+cosC 的最大值为 1. 【点评】本题考查的知识点是余弦定理,和差角公式,正弦型函数的图象和性质,难度中档. 16.(13 分)(2016 北京)A,B,C 三个班共有 100 名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如表(单位:小时): A 班 6 6.5 7 7.5 8 B 班 6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 (Ⅰ)试估计 C 班的学生人数; (Ⅱ)从 A 班和 C 班抽出的学生中,各随机选取一个人,A 班选出的人记为甲,C 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率; (Ⅲ)再从 A,B,C 三班中各随机抽取一名学生,他们该周锻炼时间分别是 7,9,8.25(单位:小时),这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 1 ,表格中数据的平均数记为 0 ,试判断 0 和 1 的大小.(结论不要求证明) 【考点】古典概型及其概率计算公式;用样本的频率分布估计总体分布. 【专题】计算题;定义法;概率与统计. 【分析】(I)由已知先计算出抽样比,进而可估计 C 班的学生人数; (Ⅱ)根据古典概型概率计算公式,可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率; (Ⅲ)根据平均数的定义,可判断出 0 > 1 . 【解答】解:(I)由题意得:三个班共抽取 20 个学生,其中 C 班抽取 8 个, 故抽样比 K= = , 故 C 班有学生 8 =40 人, (Ⅱ)从从 A 班和 C 班抽出的学生中,各随机选取一个人, 共有 5 8=40 种情况, 而且这些情况是等可能发生的, 当甲锻炼时间为 6 时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 2 种情况; 当甲锻炼时间为 6.5 时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 3 种情况; 当甲锻炼时间为 7 时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 3 种情况; 当甲锻炼时间为 7.5 时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 3 种情况; 当甲锻炼时间为 8 时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 4 种情况; 故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率 P= = ; (Ⅲ) 0 > 1 . 【点评】本题考查的知识点是用样本的频率分布估计总体分布,古典概型,难度中档. 17.(14 分)(2016 北京)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD 平面 ABCD,PA PD,PA=PD,AB AD,AB=1,AD=2,AC=CD= . (Ⅰ)求证:PD 平面 PAB; (Ⅱ)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值; (Ⅲ)在棱 PA 上是否存在点 M,使得 BM‖平面 PCD?若存在,求 的值,若不存在,说明理由. 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】综合题;转化思想;综合法;立体几何. 【分析】(Ⅰ)由已知结合面面垂直的性质可得 AB 平面 PAD,进一步得到 AB PD,再由 PD PA,由线面垂直的判定得到 PD 平面 PAB; (Ⅱ)取 AD 中点为 O,连接 CO,PO,由已知可得 CO AD,PO AD.以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系,求得 P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,-1,0),C(2,0,0),进一步求出向量 的坐标,再求出平面 PCD 的法向量 ,设 PB 与平面 PCD 的夹角为 ,由 求得直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值; (Ⅲ)假设存在 M 点使得 BM‖平面 PCD,设 ,M(0,y 1 ,z 1 ),由 可得M(0,1- , ), ,由 BM‖平面 PCD,可得 ,由此列式求得当 时,M 点即为所求. 【解答】(Ⅰ)证明:∵平面 PAD 平面 ABCD,且平面 PAD 平面 ABCD=AD, 且 AB AD,AB 平面 ABCD, AB 平面 PAD, ∵PD 平面 PAD, AB PD, 又 PD PA,且 PA AB=A, PD 平面 PAB; (Ⅱ)解:取 AD 中点为 O,连接 CO,PO, ∵CD=AC= , CO AD, 又∵PA=PD, PO AD. 以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系如图: 则 P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,-1,0),C(2,0,0), 则 ,, 设 为平面 PCD 的法向量, 则由 ,得 ,则 . 设 PB 与平面 PCD 的夹角为 ,则= ; (Ⅲ)解:假设存在 M 点使得 BM‖平面 PCD,设 ,M(0,y 1 ,z 1 ), 由(Ⅱ)知,A(0,1,0),P(0,0,1), ,B(1,1,0), , 则有 ,可得 M(0,1- , ), , ∵BM‖平面 PCD, 为平面 PCD 的法向量, ,即 ,解得 . 综上,存在点 M,即当 时,M 点即为所求. 【点评】本题考查线面垂直的判定,考查了直线与平面所成的角,训练了存在性问题的求解方法,建系利用空间向量求解降低了问题的难度,属中档题. 18.(13 分)(2016 北京)设函数 f(x)=xe a- x +bx,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=(e-1)x+4, (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间. 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】函数思想;转化思想;转化法;导数的概念及应用. 【分析】(Ⅰ)求函数的导数,根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及 f(2),建立方程组关系即可求 a,b 的值; (Ⅱ)求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系即可求 f(x)的单调区间. 【解答】解:(Ⅰ)∵y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=(e-1)x+4, 当 x=2 时,y=2(e-1)+4=2e+2,即 f(2)=2e+2, 同时 f (2)=e-1, ∵f(x)=xe a- x +bx, f (x)=e a- x -xe a - x +b, 则 , 即 a=2,b=e; (Ⅱ)∵a=2,b=e; f(x)=xe 2- x +ex, f (x)=e 2- x -xe 2 - x +e=(1-x)e 2 - x +e, f (x)=-e 2- x -(1-x)e 2 - x =(x-2)e 2 - x , 由 f (x)>0 得 x>2,由 f (x)<0 得 x<2, 即当 x=2 时,f (x)取得极小值 f (2)=(1-2)e 2- 2 +e=e-1>0, f (x)>0 恒成立, 即函数 f(x)是增函数, 即 f(x)的单调区间是(- ,+ ). 【点评】本题主要考查导数的应用,根据导数的几何意义,结合切线斜率建立方程关系以及利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键.综合性较强. 19.(14 分)(2016 北京)已知椭圆 C: + =1(a>0,b>0)的离心率为 ,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB 的面积为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P 是椭圆 C 上一点,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证:|AN| |BM|为定值. 【考点】直线与椭圆的位置关系. 【专题】方程思想;分析法;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式,结合 a,b,c 的关系,解方程可得 a=2,b=1,进而得到椭圆方程; (Ⅱ)方法一、设椭圆上点 P(x 0 ,y 0 ),可得 x 0 2 +4y 0 2 =4,求出直线 PA 的方程,令 x=0,求得 y,|BM|;求出直线 PB 的方程,令 y=0,可得 x,|AN|,化简整理,即可得到|AN| |BM|为定值 4. 方法二、设 P(2cos ,sin ),(0 <2 ),求出直线 PA 的方程,令 x=0,求得 y,|BM|;求出直线 PB 的方程,令 y=0,可得 x,|AN|,运用同角的平方关系,化简整理,即可得到|AN| |BM|为定值 4. 【解答】解:(Ⅰ)由题意可得 e= = , 又△OAB 的面积为 1,可得 ab=1, 且 a 2 -b 2 =c 2 , 解得 a=2,b=1,c= , 可得椭圆 C 的方程为 +y 2 =1; (Ⅱ)证法一:设椭圆上点 P(x 0 ,y 0 ), 可得 x 0 2 +4y 0 2 =4, 直线 PA:y= (x-2),令 x=0,可得 y=- , 则|BM|=|1+ |; 直线 PB:y= x+1,令 y=0,可得 x=- , 则|AN|=|2+ |. 可得|AN| |BM|=|2+ | |1+ | =| |=| | =| |=4, 即有|AN| |BM|为定值 4. 证法二:设 P(2cos ,sin ),(0 <2 ), 直线 PA:y= (x-2),令 x=0,可得 y=- , 则|BM|=| |; 直线 PB:y= x+1,令 y=0,可得 x=- , 则|AN|=| |. 即有|AN| |BM|=| | | | =2| | =2| |=4. 则|AN| |BM|为定值 4. 【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的离心率和基本量的关系,考查线段积的定值的求法,注意运用直线方程和点满足椭圆方程,考查化解在合理的运算能力,属于中档题. 20.(13 分)(2016 北京)设数列 A:a 1 ,a 2 , ,a N (N 2).如果对小于 n(2 n N)的每个正整数 k 都有 a k <a n ,则称 n 是数列 A 的一个 G 时刻 ,记 G(A)是数列 A 的所有 G 时刻 组成的集合. (Ⅰ)对数列 A:-2,2,-1,1,3,写出 G(A)的所有元素; (Ⅱ)证明:若数列 A 中存在 a n 使得 a n >a 1 ,则 G(A) ; (Ⅲ)证明:若数列 A 满足 a n -a n - 1 1(n=2,3, ,N),则 G(A)的元素个数不小于a N -a 1 . 【考点】数列与函数的综合;数学归纳法. 【专题】新定义;点列、递归数列与数学归纳法. 【分析】(Ⅰ)结合 G 时刻 的定义进行分析; (Ⅱ)可以采用假设法和递推法进行分析; (Ⅲ)可以采用假设法和列举法进行分析. 【解答】解:(Ⅰ)根据题干可得,a 1 =-2,a 2 =2,a 3 =-1,a 4 =1,a 5 =3,a 1 <a 2 满足条件,2 满足条件,a 2 >a 3 不满足条件,3 不满足条件, a 2 >a 4 不满足条件,4 不满足条件,a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ,均小于 a 5 ,因此 5 满足条件,因此 G(A)={2,5}. (Ⅱ)因为存在 a n >a 1 ,设数列 A 中第一个大于 a 1 的项为 a k ,则 a k >a 1 a i ,其中 2 i k-1,所以 k G(A),G(A) ; (Ⅲ)设 A 数列的所有 G 时刻 为 i 1 <i 2 < <i k , 对于第一个 G 时刻 i 1 ,有 >a 1 a i (i=2,3, ,i 1 -1),则 -a 1 - 1. 对于第二个 G 时刻 i 1 ,有 > a i (i=2,3, ,i 1 -1),则 - - 1. 类似的 - 1, , - 1. 于是,k ( - )+( - )+L+( - )+( -a 1 )= -a 1 . 对于 a N ,若 N G(A),则 =a N . 若 N G(A),则 a N ,否则由(2)知 , ,L,a N ,中存在 G 时刻 与只有 k个 G 时刻 矛盾. 从而 k -a 1 a N -a 1 . 【点评】本题属于新定义题型,重点在于对 G 时刻 定义的把握,难度较大. 参与本试卷答题和审题的老师有:zlzhan;qiss;翔宇老师;沂蒙松;jye 圈圈;546278733@qq.com;maths;sxs123;双曲线;ww 方(排名不分先后) 菁优网 2016 年 年 8 月 月 31 日 考点卡片 1 .交集及其运算 【知识点的认识】 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集,记作 A B. 符号语言:A B={x|x A,且 x B}. A B 实际理解为:x 是 A 且是 B 中的相同的所有元素. 当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集. 运算形状: ①A B=B A.②A = .③A A=A.④A B A,A B B.⑤A B=A A B.⑥A B= ,两个集合没有相同元素.⑦A (CUA)= .⑧CU(A B)=(CUA) (CUB). 【解题方法点拨】解答交集问题,需要注意交集中: 且 与 所有 的理解.不能把 或 与 且 混用;求交集的方法是:①有限集找相同;②无限集用数轴、韦恩图. 【命题方向】掌握交集的表示法,会求两个集合的交集. 命题通常以选择题、填空题为主,也可以与函数的定义域,值域,函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题. 2 .充要条件 【知识点的认识】 1、概念:充要条件:如果既有 p q ,又有 q p ,则称条件 p 是 q 成立的充要条件,或称条件 q 是 p 成立的充要条件,记作 p q .p 与 q 互为充要条件. 2、判断:当命题 若 p 则 q 为真时,可表示为 p q,称 p 为 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件.事实上,与 p q 等价的逆否命题是 ¬q ¬p .它的意义是:若 q 不成立,则 p 一定不成立.这就是说,q 对于 p 是必不可少的,所以说 q 是 p 的必要条件.例如:p:x>2;q:x>0.显然 x p,则 x q.等价于 x q,则 x p 一定成立. 【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据;解题中必须涉及两个方面,充分条件与必要条件,缺一不可.证明题目需要证明充分性与必要性,实际上,充分性理解为充分条件,必要性理解为必要条件,学生答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可. 判断充要条件的方法是: ①若 p q 为真命题且 q p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件; ②若 p q 为假命题且 q p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件; ③若 p q 为真命题且 q p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件; ④若 p q 为假命题且 q p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件. ⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据 谁大谁必要,谁小谁充分 的原则,判断命题 p 与命题 q 的关系. 【命题方向】 充要条件是学生学习知识开始,或者没有上学就能应用的,只不过没有明确定义,因而几乎年年必考内容,多以小题为主,有时也会以大题形式出现,中学阶段的知识点都相关,所以命题的范围特别广. 3 .分段函数的应用 【分段函数的应用】 分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样,有些甚至不是连续的.这个在现实当中是很常见的,比如说水的阶梯价,购物的时候买的商品的量不同,商品的单价也不同等等,这里面都涉及到分段函数. 【具体应用】 正如前面多言,分段函数与我们的实际联系比较紧密,那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现.下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法. 例:市政府为招商引资,决定对外资企业第一年产品免税.某外资厂该年 A 型产品出厂价为每件 60 元,年销售量为 11.8 万件.第二年,当地政府开始对该商品征收税率为 p%(0<p<100,即销售 100 元要征收 p 元)的税收,于是该产品的出厂价上升为每件 元,预计年销售量将减少 p 万件. (Ⅰ)将第二年政府对该商品征收的税收 y(万元)表示成 p 的函数,并指出这个函数的定义域; (Ⅱ)要使第二年该厂的税收不少于 16 万元,则税率 p%的范围是多少? (Ⅲ)在第二年该厂的税收不少于 16 万元的前提下,要让厂家获得最大销售金额,则 p 应为多少? 解:(Ⅰ)依题意,第二年该商品年销售量为(11.8-p)万件, 年销售收入为 (11.8-p)万元, 政府对该商品征收的税收 y= (11.8-p)p%(万元) 故所求函数为 y= (11.8-p)p 由 11.8-p>0 及 p>0 得定义域为 0<p<11.8 (4 分) (II)由 y 16 得 (11.8-p)p 16 化简得 p 2 -12p+20 0,即(p-2)(p-10) 0,解得 2 p 10. 故当税率在[0.02,0.1]内时,税收不少于 16 万元. (9 分) (III)第二年,当税收不少于 16 万元时, 厂家的销售收入为 g(p)= (11.8-p)(2 p 10) ∵ 在[2,10]是减函数 g(p) max =g(2)=800(万元) 故当税率为 2%时,厂家销售金额最大. 这个典型的例题当中,我们发现分段函数首先还是要有函数的功底,要有一定的建模能力,这个与分不分段其实无关.我们重点看看分段函数要注意的地方.第一,要明确函数的 定义域和其相对的函数表达式;第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值;第三,注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论. 【考查预测】 修炼自己的内功,其实分不分段影响不大,审清题就可以了,另外,最好画个图来解答. 4 .利用导数研究函数的单调性 【知识点的知识】 1、导数和函数的单调性的关系: (1)若 f (x)>0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是增函数,f (x)>0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间; (2)若 f (x)<0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是减函数,f (x)<0 的解集与定义域的交集的对应区间为减区间. 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤: (1)确定 f(x)的定义域; (2)计算导数 f (x); (3)求出 f (x)=0 的根; (4)用 f (x)=0 的根将 f(x)的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内 f (x)的符号,进而确定 f(x)的单调区间:f (x)>0,则 f(x)在对应区间上是增函数,对应区间为增区间;f (x)<0,则 f(x)在对应区间上是减函数,对应区间为减区间. 【典型例题分析】 题型一:导数和函数单调性的关系 典例 1:已知函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x R,f (x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为( ) A.(-1,1)B.(-1,+ ) C.(- ,-1)D.(- ,+ ) 解:设 g(x)=f(x)-2x-4, 则 g (x)=f (x)-2, ∵对任意 x R,f (x)>2, 对任意 x R,g (x)>0, 即函数 g(x)单调递增, ∵f(-1)=2, g(-1)=f(-1)+2-4=4-4=0, 则由 g(x)>g(-1)=0 得 x>-1, 即 f(x)>2x+4 的解集为(-1,+ ), 故选:B 题型二:导数很函数单调性的综合应用 典例 2:已知函数 f(x)=alnx-ax-3(a R). (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为 45 ,对于任意的 t [1,2],函数 在区间(t,3)上总不是单调函数,求 m 的取值范围; (Ⅲ)求证: . 解:(Ⅰ) (2 分) 当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(0,1],减区间为[1,+ ); 当 a<0 时,f(x)的单调增区间为[1,+ ),减区间为(0,1]; 当 a=0 时,f(x)不是单调函数(4 分) (Ⅱ) 得 a=-2,f(x)=-2lnx+2x-3 , g"(x)=3x 2 +(m+4)x-2(6 分) ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且 g (0)=-2 由题意知:对于任意的 t [1,2],g (t)<0 恒成立, 所以有: , (10 分) (Ⅲ)令 a=-1 此时 f(x)=-lnx+x-3,所以 f(1)=-2, 由(Ⅰ)知 f(x)=-lnx+x-3 在(1,+ )上单调递增, 当 x (1,+ )时 f(x)>f(1),即-lnx+x-1>0, lnx<x-1 对一切 x (1,+ )成立,(12 分) ∵n 2,n N*,则有 0<lnn<n-1, 【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使 f (x)=0,在其余的点恒有 f (x)>0,则 f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).即在区间内 f (x)>0 是 f(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条件. 5 .不等关系与不等式 【不等关系与不等式】 不等关系就是不相等的关系,如 2 和 3 不相等,是相对于相等关系来说的,比如 与就是相等关系.而不等式就包含两层意思,第一层包含了不相等的关系,第二层也就意味着它是个式子,比方说 a>b,a-b>0 就是不等式. 【不等式定理】 ①对任意的 a,b,有 a>b a-b>0;a=b a-b=0;a<b a-b<0,这三条性质是做差比较法的依据. ②如果 a>b,那么 b<a;如果 a<b,那么 b>a. ③如果 a>b,且 b>c,那么 a>c;如果 a>b,那么 a+c>b+c. 推论:如果 a>b,且 c>d,那么 a+c>b+d. ④如果 a>b,且 c>0,那么 ac>bc;如果 c<0,那么 ac<bc. 【例题讲解】 例 1:解不等式:sinx . 解:∵sinx , 2k + x 2k + (k Z), 不等式 sinx 的解集为{x|2k + x 2k + ,k Z}. 这个题很典型,考查了不等式和三角函数的相关知识,也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点,这个题只要去找到满足要求的定义域即可,先找一个周期的,然后加上所以周期就是最后的解. 例 2:当 ab>0 时,a>b . 证明:由 ab>0,知 >0. 又∵a>b, a >b ,即 ; 若 ,则 a>b.

2016北京理科数学高考

这个例题就是上面定理的一个简单应用,像这种判断型的题,如果要判断它是错的,直接举个反例即可,这种技巧在选择题上用的最广. 6 .简单线性规划 【概念】 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题,它是一种重要的数学模型.简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划,其最优解可以用数形结合方法求出.我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域,然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值. 【例题解析】 例:若目标函数 z=x+y 中变量 x,y 满足约束条件 . (1)试确定可行域的面积; (2)求出该线性规划问题中所有的最优解. 解:(1)作出可行域如图:对应得区域为直角三角形 ABC, 其中 B(4,3),A(2,3),C(4,2), 则可行域的面积 S= = . (2)由 z=x+y,得 y=-x+z,则平移直线 y=-x+z, 则由图象可知当直线经过点 A(2,3)时,直线 y=-x+z 得截距最小, 此时 z 最小为 z=2+3=5, 当直线经过点 B(4,3)时,直线 y=-x+z 得截距最大, 此时 z 最大为 z=4+3=7, 故该线性规划问题中所有的最优解为(4,3),(2,3) 这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型,解这种题一律先画图,把每条直线在同一个坐标系中表示出来,然后确定所表示的可行域,也即范围;最后通过目标函数的平移去找到它的最值. 【考点预测】 线性规划在实际中应用广泛,因此具有很高的实用价值,所以也成为了高考的一个热点.大家在备考的时候,需要学会准确的画出可行域,然后会平移目标曲线. 7 .等差数列的前 n 项和 【知识点的认识】 等差数列是常见数列的一种,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母 d表示.其求和公式为 S n =na 1 + n(n-1)d 或者 S n = 【例题解析】 eg1:设等差数列的前 n 项和为 S n ,若公差 d=1,S 5 =15,则 S 10 = 解:∵d=1,S 5 =15, 5a 1 + d=5a 1 +10=15,即 a 1 =1, 则 S 10 =10a 1 + d=10+45=55. 故答案为:55 点评:此题考查了等差数列的前 n 项和公式,解题的关键是根据题意求出首项 a 1 的值,然后套用公式即可. eg2:等差数列{a n }的前 n 项和 S n =4n 2 -25n.求数列{|a n |}的前 n 项的和 T n . 解:∵等差数列{a n }的前 n 项和 S n =4n 2 -25n. a n =S n -S n - 1 =(4n 2 -25n)-[4(n-1) 2 -25(n-1)]=8n-29, 该等差数列为-21,-13,-5,3,11, 前 3 项为负,其和为 S 3 =-39. n 3 时,T n =-S n =25n-4n 2 , n 4,T n =S n -2S 3 =4n 2 -25n+78, . 点评:本题考查等差数列的前 n 项的绝对值的和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意分类讨论思想的合理运用.其实方法都是一样的,要么求出首项和公差,要么求出首项和第 n 项的值. 【考点点评】 等差数列比较常见,单独考察等差数列的题也比较简单,一般单独考察是以小题出现,大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察,特别是错位相减法的运用. 8 .数列与函数的综合 【知识点的知识】 一、数列的函数特性: 等差数列和等比数列的通项公式及前 n 项和公式中共涉及五个量 a 1 ,a n ,q,n,S n ,知三求二,体现了方程的思想的应用.解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法,一般递推法,数列求和及求通项等方法来分析、解决问题. 二、解题步骤: 1.在解决有关数列的具体应用问题时: (1)要读懂题意,理解实际背景,领悟其数学实质,舍弃与解题无关的非本质性东西; (2)准确地归纳其中的数量关系,建立数学模型; (3)根据所建立的数学模型的知识系统,解出数学模型的结果; (4)最后再回到实际问题中去,从而得到答案. 2.在求数列的相关和时,要注意以下几个方面的问题: (1)直接用公式求和时,注意公式的应用范围和公式的推导过程. (2)注意观察数列的特点和规律,在分析数列通项的基础上,或分解为基本数列求和,或转化为基本数列求和. (3)求一般数列的前 n 项和时,无一般方法可循,要注意掌握某些特殊数列的前 n 项和的求法,触类旁通. 3.在用观察法归纳数列的通项公式(尤其是在处理客观题目时)时,要注意适当地根据具体问题多计算相应的数列的前几项,否则会因为所计算的数列的项数过少,而归纳出错误的通项公式,从而得到错误的结论. 【典型例题分析】 典例:已知 f(x)=log a x(a>0,a 1),设数列 f(a 1 ),f(a 2 ),f(a 3 ), ,f(a n ) 是首项为 4,公差为 2 的等差数列. (I)设 a 为常数,求证:{a n }成等比数列; (II)设 b n =a n f(a n ),数列{b n }前 n 项和是 S n ,当 时,求 S n . 分析:(I)先利用条件求出 f(a n )的表达式,进而求出{a n }的通项公式,再用定义来证{a n }是等比数列即可; (II)先求出数列{b n }的通项公式,再对数列{b n }利用错位相减法求和即可. 解答:证明:(I)f(a n )=4+(n-1) 2=2n+2, 即 log a a n =2n+2,可得 a n =a 2n+2 . = = 为定值. {a n }为等比数列.(5 分) (II)解:b n =a n f(a n )=a 2n+2 log a a 2n+2 =(2n+2)a 2n+2 .(7 分) 当 时, .(8 分) S n =2 2 3 +3 2 4 +4 2 5 ++(n+1) 2 n+2 ① 2S n =2 2 4 +3 2 5 +4 2 6 ++n 2 n+2 +(n+1) 2 n+3 ② ①-②得-S n =2 2 3 +2 4 +2 5 ++2 n+2 -(n+1) 2 n+3 (12 分) = -(n+1) 2 n+3 =16+2 n+3 -2 4 -n 2 n+3 -2 n+3 . S n =n 2 n+3 .(14 分) 点评:本题的第二问考查了数列求和的错位相减法.错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列. 9 .向量的模 【知识点的知识】 1、向量的模: 的大小,也就是 的长度(或称模),记作| |. 2、零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作 ,零向量的长度为 0,方向不确定. 3、单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 (与 共线的单位向量是 ). 4、相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性. 10 .复数的代数表示法及其几何意义 【知识点的知识】 1、复数的代数表示法 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴,x 轴的单位是 1,y 轴的单位是 i,实轴与虚轴的交点叫做原点,且原点(0,0),对应复数 0.即复数 z=a+bi 复平面内的点 z(a,b) 平面向量 . 2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外,还要注意: (1)|z|=|z-0|=a(a>0)表示复数 z 对应的点到原点的距离为 a; (2)|z-z 0 |表示复数 z 对应的点与复数 z0 对应的点之间的距离. 3、复数中的解题策略: (1)证明复数是实数的策略: ①z=a+bi R b=0(a,b R);②z R z=z. (2)证明复数是纯虚数的策略: ①z=a+bi 为纯虚数 a=0,b 0(a,b R); ②b 0 时,z-z=2bi 为纯虚数;③z 是纯虚数 z+z=0 且 z 0. 11 .用样本的频率分布估计总体分布 【知识点的知识】 1、样本的频率分布估计总体分布: 频率分布直方图可以直观地反映样本数据的分布情况.由此可以推断和估计总体中某事件发生的概率.样本选择得恰当,这种估计是比较可信的. 2、用样本的频率分布估计总体的步骤为: (1)选择恰当的抽样方法得到样本数据; (2)计算数据最大值和最小值、确定组距和组数,确定分点并列出频率分布表; (3)绘制频率分布直方图; (4)观察频率分布表与频率分布直方图,根据样本的频率分布,估计总体中某 事件发生的概率. 【典型例题分析】 典例 1:从申请上海世博志愿者的 2530 人,随机抽取 20 人,测得他们的身高分别为(单位:cm) 162,153,148,154,165,168,172,171,170,150 151,152,160,165,164,179,149,158,159,175 根据样本频率分布估计总体分布的原理,在上海世博志愿者中任抽取一人身高在 155.5cm-170.5cm 之间的概率为. 解:根据题意,分析 20 人的数据可得,身高在 155.5cm-170.5cm 之间的有 9 人; 则在志愿者中任抽取一人身高在 155.5cm-170.5cm 之间的概率为 . 故答案为 . 点评:因为志愿者人数太多,所以只能选一部分去推测整体身高情况.这里面的样本其实可以看成是总体,样本的值就是总体的值. 12 .古典概型及其概率计算公式 【考点归纳】 1.定义:如果一个试验具有下列特征: (1)有限性:每次试验可能出现的结果(即基本事件)只有有限个; (2)等可能性:每次试验中,各基本事件的发生都是等可能的. 则称这种随机试验的概率模型为古典概型. *古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征,所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验,而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可. 2.古典概率的计算公式 如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是 ; 如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那么事件 A 的概率为 P(A)= = . 【解题技巧】 1.注意要点:解决古典概型的问题的关键是:分清基本事件个数 n 与事件 A 中所包含的基本事件数. 因此要注意清楚以下三个方面: (1)本试验是否具有等可能性; (2)本试验的基本事件有多少个; (3)事件 A 是什么. 2.解题实现步骤: (1)仔细阅读题目,弄清题目的背景材料,加深理解题意; (2)判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件 A; (3)分别求出基本事件的个数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m; (4)利用公式 P(A)= 求出事件 A 的概率. 3.解题方法技巧: (1)利用对立事件、加法公式求古典概型的概率 (2)利用分析法求解古典概型. 13 .二项式定理的应用 【知识点的知识】 二项式定理的应用: (1)求特征项:先求通项公式,再求满足条件的 r; (2)求二项式系数及项的系数的问题: ①二次项系数:每项中的组合数 ②项的系数:除去变量以外的部分 (3)证明组合恒等式问题:熟记组合数的各个性质; (4)整除、余数的问题:通常把底数适当地拆成两项之和或之差,再按二项式定理展开推得所求结论; (5)近似计算的问题:一般地,当 a 较小时,(1+a) n 1+na *记清二项展开式的特点,熟记二项展开式的通项公式是正确应用二项式定理的关键. 14 .程序框图 【知识点的知识】 1.程序框图 (1)程序框图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形; (2)构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 起止框 表示一个算法的起始和结束,是任何算法程序框图不可缺 少的. 输入、输出框 表示一个算法输入和输出的信息,可用在算法中任何需要输入、输出的位置. 处理框 赋值、计算.算法中处理数据需要的算式、公式等,它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内. 判断框 判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明 是 或 Y ;不成立时在出口处标明则标明 否 或 N . 流程线 算法进行的前进方向以及先后顺序 连结点 连接另一页或另一部分的框图 注释框 帮助编者或阅读者理解框图 (3)程序框图的构成. 一个程序框图包括以下几部分:实现不同算法功能的相对应的程序框;带箭头的流程线;程序框内必要的说明文字. 15 .进行简单的演绎推理 【知识点的知识】 演绎推理 (1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理; (2)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理; (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,只要前提为真,推理形式正确,结论必正确,前提和结论之间存在必然关系,因此演绎推理是数学中严格证明的工具. (4)模式:三段论. 三段论 是演绎推理的一般模式,包括: 三段论 的结构 ①大前提--已知的一般原理; ②小前提--所研究的特殊情况; ③结论--根据一般原理,对特殊情况做出的判断. 三段论 的表示 ①大前提--M 是 P. ②小前提--S 是 M. ③结论--S 是 P. 【解题方法点拨】 1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论,发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明. 2.演绎推理是由一般到特殊的证明,它常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的严密性,书写格式的规范性. 3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象,要有...