专题八 立体几何 第二十二讲 空间几何体的三视图、表面积和体积 2019年 1.（2019全国II文16）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．） 2.（2019全国II文17）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积． 3.(2019全国III文16）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥O ?EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g. 4.（2019江苏9）如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是 . 5.（2019天津文12）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 6.（2019北京文12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________． 7.（2019浙江4）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是 A．158 B．162 C．182 D．32 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A． B． C． D． 2．(2018全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为 A． B． C． D．2 3．(2018全国卷Ⅰ)在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为 A． B． C． D． 4．(2018全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 5．(2018全国卷Ⅲ)设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 A． B． C． D． 6．(2018浙江)某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：）是 A．2 B．4 C．6 D．8 7．(2018北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2017新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A． B． C． D． 9．（2017北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A．60 B．30 C．20 D．10 10．（2017浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：）是 A． B． C． D． 11．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A． B． C． D． 12．（2016年山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为 A． B． C． D． 13．（2016年全国I）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是，则它的表面积是 A．17π B．18π C．20π D．28π 14．（2016年全国II）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A．20π B．24π C．28π D．32π 15．（2016年全国III）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 A． B． C．90 D．81 16．(2015浙江)某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是 A． B． C． D． 17．（2015陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A． B． C． D． 18．（2015重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． B． C． D． 19．（2015新课标）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A． B． C． D． 20．（2015安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是 A． B． C． D． 21．（2015湖南）某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为 （材料利用率=） A． B． C． D． 22．（2015新课标1）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则= A．1 B．2 C．4 D．8 23．（2014新课标1）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为 A． B．6 C． D．4 24．（2014新课标2）如图，网格纸上正方形小格的边长 为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 A． B． C． D． 25．（2014安徽）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ） A． B． C． D． 26．（2014福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ） A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱 27．（2014浙江）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是 A． 90 B． 129 C． 132 D． 138 28．（2014新课标2）正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥的体积为 A．3 B． C．1 D． 29．（2014福建）以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 A． B． C．2 D．1 30．（2014辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 31．（2014陕西）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ） A． B． C． D． 32．（2014江西）一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是 33．（2013新课标1）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． B． C． D． 34．（2013江西）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A．200+9π B．200+18π C．140+9π D．140+18π 35．（2012广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为 A．12π B．45π C．57π D．81π 36．（2012湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． B． C． D． 37．（2011新课标）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为 38．（2011安徽）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．48 B．32+8 C．48+8 D．80 39．（2011辽宁）如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是 A．ACSB B．AB平面SCD C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 40．（2010安徽）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为 A．280 B．292 C．360 D．372 41．(2010浙江)若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3 二、填空题 42．(2018天津)如图，已知正方体的棱长为1，则四棱锥的体积为__． 43．(2018江苏)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ． 44．（2017新课标Ⅰ）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面⊥平面，，，三棱锥的体积为9，则球的表面积为________． 45．（2017新课标Ⅱ）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为 ． 46．（2017天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ． 47．（2017山东）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ． 48．（2017江苏）如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。记圆柱的体积为，球的体积为，则 的值是 ． 49．（2016北京）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________． 50．（2016浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是___cm2．体积是______cm3． 51．(2015天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积为 ． 52．（2014山东）一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 ． 53．（2014北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 ． 54．（2014江苏）设甲、乙两个圆柱的底面分别为，，体积分别为，，若它们的侧面积相等，且，则的值是 ． 55．（2013天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为 ． 56．（2013江苏）如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 ． 57．（2012辽宁）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ． 58．(2012安徽)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是． 59．（2011福建）三棱锥中，⊥底面，=3，底面是边长为2的正三角形，则三棱锥的体积等于______． 60．（2011新课标）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ． 三、解答题 61．(2018全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形中，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且． (1)证明：平面平面；
(2)为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥 的体积． 62．（2017新课标Ⅰ）如图，在四棱锥中，，且． (1)证明：平面⊥平面；
(2)若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积． 63．（2014广东）如图2，四边形为矩形，⊥平面，,,作如图3折叠，折痕∥．其中点，分别在线段，上，沿折叠后点在线段上的点记为，并且⊥． （Ⅰ）证明：⊥平面 （Ⅱ）求三棱锥的体积． 64．（2014辽宁）如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点． （Ⅰ）求证：平面BCG；
（Ⅱ）求三棱锥DBCG的体积． 附：锥体的体积公式，其中S为底面面积，h为高． 65．（2013新课标2）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点． （Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）设，，求三棱锥的体积． 66．（2013安徽） 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.已知． （Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若为的中点，求三棱锥的体积． 67．（2012江西）如图，在梯形ABCD中，ABCD，E，F是线段AB上的两点，且DEAB，CFAB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4，现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG． （1）求证：平面DEG平面CFG；
（2）求多面体CDEFG的体积． 68．（2011辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD． （I）证明：PQ平面DCQ；
（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值． 专题八 立体几何 第二十二讲 空间几何体的三视图、表面积和体积 答案部分 2019年 1.解析：该半正多面体共有个面， 设其棱长为x，则，解得． 2.解：（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1， 故. 又，所以BE⊥平面. （2）由（1）知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以，故AE=AB=3，. 作，垂足为F，则EF⊥平面，且. 所以，四棱锥的体积. 3.解析 该模型为长方体，挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，，分别为所在棱的中点，，，所以该模型体积为：
， 打印所用原料密度因为为，不考虑打印损耗， 所以制作该模型所需原料的质量为：． 4.解析 因为长方体的体积是120，E为的中点， 所以， 所以三棱锥的体积：
. 5.解析 由题可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得，正四棱锥的高为2. 因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，则圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于，由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半，为1. 所以该圆柱的体积为. 6.解析 三视图对应的几何体，是在棱长为4的正方体上，去掉一个底面为梯形(上底为2，下底为4，高为2)、高为4的四棱柱而得到， 故其体积. 7.解析：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解， 即，高为6， 则该柱体的体积是． 故选B． 2010-2018年 1．B【解析】∵过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为，底面圆的直径为，所以该圆柱的表面积为 ．故选B． 2．B【解析】由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长16．画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接，则，，则从到的路径中，最短路径的长度为．故选B． 图① 图② 3．C【解析】连接，因为平面，所以，，所以为直角三角形．又，所以，又，所以。故该长方形的体积． 4．A【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A． 5．B【解析】设等边三角形的边长为，则，得． 设的外接圆半径为，则，解得，所以球心到所在平面的距离，则点到平面的最大距离，所以三棱锥体积的最大值．故选B． 6．C【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积．故选C． 7．C【解析】解法一 将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示， 易知，，，，，平面，故，为直角三角形，∵平面，平面，，又，且，∴平面，又平面．，∴为直角三角形，容易求得，，，故不是直角三角形，故选C． 解法二 在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C． 8．B【解析】圆柱的轴截面如图，，，所以圆柱底面半径，那么圆柱的体积是，故选B． 9．D【解析】借助立方体可知所求三棱锥为下图粗线部分 该几何体的体积为．选D． 10．A【解析】该几何体是由一个高为3的圆锥的一半，和高为3的三棱锥组成（如图）， 其体积为：．选A． 11．B【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为，故选B． 12．C【解析】由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高为1，其体积．设半球的半径为，则，即，所以半球的体积．故该几何体的体积．故选C． 13．A【解析】由三视图可得此几何体为一个球切割掉后剩下的几何体，设球的半径为，故，所以，表面积，选A． 14．C【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为． 由图得，，由勾股定理得：， ，故选C． 15．B【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左右两个侧面是矩形，边长为和3，故面积都为，则该几何体的表面积为2(9 +18+)=54 +． 16．C【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合， ∴体积，故选C． 17．D【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为，母线长为，所以该几何体的表面积是，故选D． 18．A【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体， ，选A． 19．D【解析】如图，设正方形的棱长为1，则截取部分为三棱锥，其体积为，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为，故所求比值为． 20．B 【解析】在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中，该四面体是如图所示的三棱锥，表面积为． 21．A【解析】由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此长方体底面对角线长为，高为，则由三角形相似可得，，所以，，长方体体积，当且仅当，即时取等号，，故材料利用率为，选A． 22．B【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为，所以． 23．B【解析】如图， 设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥，最长的棱为，选B． 24．C【解析】原毛坯的体积，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，其体积， 故所求比值为． 25．A【解析】如图，将边长为2的正方体截去两个角， ∴． 26．A【解析】圆柱的正视图是矩形，∴选A． 27．D【解析】由三视图画出几何体的直观图，如图所示， 则此几何体的表面积，其中是长方体的表面积， 是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积，是三棱柱的一个底面的面积，可求得 ，选D． 28．C【解析】由题意可知，由面面垂直的性质定理可得平面， 又，所以， 故选C． 29．A【解析】圆柱的底面半径为1，母线长为1，． 30．B【解析】直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为l的圆柱，所以该几何体的体积为． 31．C【解析】由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积． 32．B【解析】由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形． 33．A【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为 =，故选A． 34．A【解析】还原后的直观图是一个长宽高依次为10，6 ，5的长方体上面是半径为3高为2的半个圆柱． 35．C【解析】几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为 36．B【解析】由三视图可知该几何体的体积：． 37．D【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，故侧视图可以为D． 38．C【解析】由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的放倒的一个直四棱柱，如图， 所以该四棱柱的表面积 ． 39．D【解析】选项A正确，∵平面，而在平面内，所以．因为为正方形，所以，而与相交，所以平面，所以；
选项B正确，因为，而在平面内，不在平面内，所以平面；
选项C正确，设与的交点为，连结，则与平面所成的角，与平面所成的角，易知这两个角相等；
选项D错误，与所成的角等于，而与所成的角等于，易知这两个角不相等． 40．C【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和．． 41．B【解析】该几何体上半部是底面边长为4cm，高为2cm，的正四棱柱，其体积为；
下半部分是上、下底面边长分别为4cm，8cm，高为2cm的正四棱台，其体积为，故其总体积为． 42．【解析】解法一 连接，交于点，则，，则 平面，所以为四棱锥的高，且，矩形的长和宽分别为，1，故． 解法二 连接，则四棱锥分成两个三棱锥和 ． 43．【解析】正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是，则该正八面体的体积为． 44．【解析】取的中点，连接， 因为，所以． 因为平面平面，所以平面． 设， 所以， 所以球的表面积为． 45．【解析】球的直径是长方体的体对角线，设球的半径为，所以 ? 46．【解析】设正方体边长为，则 ， 外接球直径为. 47．【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以． 48．【解析】设球的半径为，则． 49．【解析】通过俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形， 则四棱柱的底面积，通过侧视图可知四棱柱的高， 所以该四棱柱的体积． 50．80 ；
40【解析】由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体， ，． 51．【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为，高为的圆柱，两端是底面半径为，高为的圆锥，所以该几何体的体积 ． 52．12【解析】由题意知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为， 则，解得，底面正六边形的中心到其边的距离为，故侧面等腰三角形底边上的高为，该六棱锥的侧面积为． 53．【解析】由题意可知直观图如图所示， 结合三视图有平面，，， ，所以，， ∴三棱锥最长棱的棱长为． 54．【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是，母线长分别是．则由，可得．又两个圆柱的侧面积相等，即，则， 所以． 55．【解析】设正方体的棱长为，则正方体的体对角线为直径，即，即球半径．若球的体积为，即，解得． 56．1：24【解析】三棱锥与三棱锥的 相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1：3． 所以，三棱锥与三棱柱的体积之比为1：24． 另：，所以． 57．38【解析】由三视图知，此几何体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体中心，去除一个半径为1的圆柱，所以表面积为． 58．【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱几何体的表面积是 ． 59．【解析】，答案应填． 60．【解析】由圆锥底面面积是这个球面面积的，得，所以，则小圆锥的高为，大圆锥的高为，所以比值为． 61．【解析】(1)由已知可得，=90°，． 又⊥，所以⊥平面． 又平面， 所以平面⊥平面． (2)由已知可得，，． 又，所以． 作⊥，垂足为，则． 由已知及(1)可得⊥平面，所以⊥平面，． 因此，三棱锥的体积为 ． 62．【解析】（1）由已知，得，． 由于，故，从而平面． 又平面，所以平面平面． （2）在平面内作，垂足为． 由（1）知，平面，故，可得平面． 设，则由已知可得，． 故四棱锥的体积 ． 由题设得，故． 从而，，． 可得四棱锥的侧面积为 ． 63．【解析】（Ⅰ）证明：平面∴平面平面， 平面平面平面，， ∴平面， ，∴． （Ⅱ） ， 64．【解析】（Ⅰ）由已知得，因此，又为的中点，；
同理；
因此平面,又,∴平面BCG． （Ⅱ）在平面内，做，交的延长线于，由平面平面，知平面，又为的中点，因此到平面的距离是的一半，在中，，所以． 65．【解析】（Ⅰ）连结，交于点O，连结DO，则O为的中点，因为D为AB的中点，所以OD∥，又因为OD平面，平面， 所以 //平面；
（Ⅱ）由题意知 平面． 再由，得 ，，，，． 故，即 所以． 66．【解析】 （Ⅰ）证明：连接AC，交于BD于点，连接PO．因为底面ABCD是菱形，所以，由知，．再由知， 面，因此． （Ⅱ）解：因为E是PA的中点，所以 由知， 因为, 所以. 又. 故. 由（1）知，． 67．【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得，又因为,可得，即所以平面DEG平面CFG. （2）过G作GO垂直于EF，GO 即为四棱锥G-EFCD的高， 所以所求体积为． 68．【解析】（I）由条件知PDAQ为直角梯形因为QA平面ABCD，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD． 又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC． 在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQQD 所以PQ平面DCQ. （II）设AB=a. 由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积 由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ=，△DCQ的面积为， 所以棱锥P—DCQ的体积为 故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1．