2010年成都中考数学试题

2010年成都中考数学试题解析

2009-2010年成都市中考数学试题详细解析2009-2010年成都市中考数学试题详细解析

解析: 1.【分析】0 既不是正数也不是负数，所有的正数都大于 0，所有的负数都小于 0。

【答案】D 【涉及知识点】有理数比较大小【点评】本题考查的知识点简单，单一，属于比较基础的题目，便于学生得分。

【推荐指数】★ 2.【分析】幂的底数表示因数，指数表示因数的个数。

【答案】C 【涉及知识点】乘方的意义【点评】和幂有关的计算是中考的热点题目，此题基础性较强，考核数学的基础核心概念，具有较好的信度。

【推荐指数】★ 3.【分析】较大数或是较小数通常都用科学计数法来表示，较大数通常写出 a × 10n 的形式，其中的 a 是整数部分只有一位的数，是比所有数位小一的整数； n 较小数通常写成 a × 10? n 的形式，其中的 a 是整数部分只有一位的数，n 是从左边第一个不是 0 的数起前面所有 0 的个数（包括小数点前面的 0）。

【答案】A 【涉及知识点】科学计数法【点评】科学计数法是每年中考的必考题目，此类题目具有较好的实际应用，熟练掌握较大数和较小数的表示方法是得分的关键。

【推荐指数】★★★★★ 4.【分析】从主视图和左视图可以看出，这个几何体可能是圆锥或是三棱柱，从俯视图可以确定此几何体就是圆锥。

【答案】B 【涉及知识点】立体图形的三视图【点评】本题属于基础题目，主要考察的是学生的识图能力，以及由平面到立体的想象能力，具有较好的信度。

【推荐指数】★★ 5.【分析】抛物线的平移通常的做法是先把抛物线化成顶点式 y = a( x ? h)2 + k ，然后根据 h 值左加右减，k 值上加下减来进行。而对于题目当中这种简单形式，可以直接套公式即可。

【答案】D 【涉及知识点】二次函数图形的平移【点评】函数和图象是初中数学代数的重要知识，其中尤以二次函数最为重要，此题考察数学最基础的函数的图象，体现了新课标关注数学最基础知识的特点。

【推荐指数】★★★ 6. 分析】【遇有平行线问题，只需要考虑同位角相等，内错角相等和同旁内角互补即可。

【答案】B 【涉及知识点】平行线的性质【点评】此题考查平行线最基本的性质：两直线平行，内错角相等。涉及到几何证明最基础的定理，属于学生容易得分的题目。

【推荐指数】★ 7.【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，可以有一个或是多个；中位数是指把一组数据按大小排序后处于中间位置的数，如果数据的个数是奇数个，那么中位数是最中间的一个数，如果有偶数个数据，那么中位数是中间两个数的平均数，一组数据的中位数只有一个。

【答案】B 【涉及知识点】统计基础的中位数和众数【点评】此题难度较小，属于统计的基础题目，考查了学生对数据的最基本处理能力。

【推荐指数】★★ 8.【分析】两圆的位置关系与两圆的半径及圆心距有关：当圆心距大于两圆的半径和时，两圆外离；当圆心距等于两圆的半径和时，两圆外切；当圆心距小于两圆的半径和且大于两圆的半径差时，两圆相交；当圆心距等于两圆的半径差时，两圆内切；当圆心距小于两圆的半径差且大于 0 时，两圆内含；当圆心距等于 0 时，两圆是同心圆；【答案】A 【涉及知识点】两圆的位置关系【点评】本题属于基础题目，主要考核两圆直接的位置关系，根据两圆半径及圆心距的关系对号入座即可。

【推荐指数】★★ 9.【分析】一次函数的 k 值决定直线的方向，如果 k 0，直线就从左往右上升，y 随 x 的增多而增大，如果 k 0，直线就从左往右下降，y 随 x 的增大而减小；而 b 值决定直线和 y 轴的交点，如果 b 0，则与 y 轴的正半轴相交，如果 b 0，则与 y 轴交与负半轴，当 b=0 时，一次函数就变成正比例函数，图象过原点。

【答案】D 【涉及知识点】一次函数的图象【点评】此题考查由一次函数的增减性和图象与 y 轴的交点来确定 k、b 的正负，同时注重函数的数形结合，是一次函数的常考题目。

【推荐指数】★★★★ 10.【分析】平行四边形的常用判断定理有：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等和对角线互相平分。

【答案】C 【涉及知识点】平行四边形的判定【点评】平行四边形的性质和判定是初中几何的重要内容，也是各地中考的热点问题，需熟练掌握。

【推荐指数】★★★★ 11.【分析】横坐标为正，所以这个点在 y 轴的右侧，又纵坐标为负，所以这个点在 x 轴的下面，所以这个点在第四象限。

【答案】第四象限【涉及知识点】平面直角坐标系、各象限内点的特点。

【点评】平面直角坐标系各象限内点的坐标的特征，是直角坐标系的最基础知识点，在函数与图象的应用时，有着广泛的应用。

【推荐指数】★ 12. 分析】【两个具有非负性的式子相加，如果结果是 0，则说明这两个式子的值都是 0。

从而可以求出未知数的值，然后代入求值即可。【答案】1 【涉及知识点】绝对值的意义、算术平方根的意义、非负性、有理数的乘方。

【点评】初中涉及到非负性的有三个：绝对值、算术平方根和有理数的偶次幂。通常如果它们三个当中的某两个相加是 0，则说明每个式子都是 0。

【推荐指数】★★★ 13.【分析】知道三角形的两个角，可以根据内角和定理求第三个角，然后根据圆周角定理可以求解。

【答案】100；【涉及知识点】三角形内角和定理，圆周角定理【点评】三角形的内角和定理是初中阶段最重要的定理之一，在涉及到三角形背景时须首先考虑。

圆周角定理是圆的基础知识中最基础的定理，在几何证明中常有涉及。

【推荐指数】★★★★ 14.【分析】根据题意，甲乙两人的功效相同，所以乙单独做也需要 x 天，那么他们每 1 人一天的工作效率是，根据题意列分式方程求解即可。注意最后需要检验。

x 【答案】6；【涉及知识点】分式方程的实际应用【点评】分式方程是解决实际问题的有效数学建模，运用分式方程解决实际问题时，除了必须检验方程是否有增根外，通常还需要看是否符合实际情况。

【推荐指数】★ 15.【分析】圆锥的侧面积和侧面展开图的圆心角知道，可以求出圆锥的母线，从而可以求出展开图的弧长，从而可以求出底面圆的半径。

【答案】3 【涉及知识点】圆锥的侧面展开图、扇形面积公式、弧长公式、圆的面积公式【点评】此题把与圆的计算有关的公式结合到了一起，具有较好的综合性【推荐指数】★★★★★ 16.(1)【答案】解：原式= 6 ×3 + 1 ? 2 3 + 2 =3 3 【涉及知识点】特殊角的三角函数值、与幂有关的计算、二次根式的化简【点评】此题考查的知识点较多，具有较好的综合性【推荐指数】★★★★16.(2)【分析】一元二次方程根的情况用根的判别式 b 2 ? 4ac 来判断即可，然后在符合要求的范围内取非负整数值。

【答案】解：∵关于 x 的一元二次方程 x 2 + 4 x + 2k = 0 有两个实数根， ∴△= 42 ? 4 × 1 × 2k = 16 ? 8k ≥ 0 解得 k ≤ 2 ∴ k 的非负整数值为 0,1,2。

【涉及知识点】一元二次方程根的判别式、一元一次不等式的解【点评】此题是方程和不等式的结合题目，很好的体现了数学的计算功能。

【推荐指数】★★★ 17.【分析】由切线的性质可知 ∠OCA 和 ∠OCB 都是直角，又 OA = OB ，则 OC 是等腰三角形的“三线合一”线，然后根据勾股定理可以求 OB 的长，最后根据 OC 和 OA 的长可以求 sin A 的值。

【答案】解：（1）由已知，OC=2，BC=4。在 Rt△OBC 中，由勾股定理，得 OB = OC 2 + BC 2 = 2 5 （2）在 Rt△OAC 中，∵OA=OB= 2 5 ，OC=2，∴sinA=OC 2 5 = = OA 2 5 5【涉及知识点】切线的性质、等腰三角形、三角函数、勾股定理【点评】本题涉及的知识点较多，但此题难度不大，属于中档的几何计算题。

【推荐指数】★★★ 18. 分析】【（1）把点 A 的坐标代入反比例函数的解析式，可以求出反比例函数的 K 值，从而求出解析式，那么 A 点的坐标也可以知道了，然后把 A 点的坐标代入一次函数的解析式，可以求出 b 值。

（2）解由两个解析式组成的方程组，可以求出另一个交点的坐标，然后根据图象，找出反比例函数图象在一次函数图象上方时的情况。

【答案】.解：（1）∵已知反比例函数 y = ∴ ?k + 4 = ∴k = 2 ∴A(1，2) ∵一次函数 y = x + b 的图象经过点 A(1，2)， ∴ 2 =1+ b ∴b =12 ， x 一次函数的表达式为 y = x + 1 。

k ，即 ? k + 4 = k 1 k 经过点 A(1, ? k + 4) ， x∴反比例函数的表达式为 y =?y = x +1 ? 2 （2）由 ? 2 消去 y ，得 x + x ? 2 = 0 。

y= ? x ?即 ( x + 2)( x ? 1) = 0 ,∴ x = ?2 或 x = 1 。

∴ y = ?1 或 y = 2 。? x = ?2 ? x = 1 ∴? 或? ? y = ?1 ? y = 2∵点 B 在第三象限，∴点 B 的坐标为 ( ?2， 1) 。

?由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时， x 的取值范围是 x ?2 或 0 x 1 。【涉及知识点】反比例函数的解析式及图象、一次函数的解析式及图象、一元二次方程的解。

【点评】此题是一道经典的老题，综合考察了一次函数和反比例函数，具有较好的信度，但题目比较缺乏新意。

【推荐指数】★★ 19.【分析】（1）根据 ACDE 的任意一个具体数据和对应的百分比可以算出门票的总数，然后用总数减去其它的，剩余的就是 B 种的，用 B 种的除于总数可以得出 B 相应的百分比（或用单位“1”减去其它的百分比也可以）（2）画树形图或是列表，然后分别计算两人获。

胜的概率即可。

【答案】.解：（1）数数 100 80 60 40 20 0 20 50 30 20 80 E 40% B 25% C D 10% 15% E 馆馆 A 10% 博博博博博博博博博博博博博博博博博博博博https:///https:/// B 馆门票为 50 张，C 占 15%。

（2）画树状图开始1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 4或列表格法。小华抽到的数字 1 小明抽到的数字 1 2 3 4 （1,1）（2,1）（3,1）（4,1）（1,2）（2,2）（3,2）（4,2）（1,3）（2,3）（3,3）（4,3）（1,4）（2,4）（3,4）（4,4） 2 3 4共有 16 种可能的结果，且每种结果的可能性相同，其中小明可能获得门票的结果有 6 种，分别是（2,1）（3,1）（3,2）（4,1）（4,2）（4,3），，，，，。

∴小明获得门票的概率 P = 16 3 = ， 16 8 3 5 = 。

8 8小华获得门票的概率 P2 = 1 ? ∵ P P2 1∴这个规则对双方不公平。

【涉及知识点】条形图、扇形图、用树形图或列表法求概率。

【点评】此题是统计和概率的综合运用，难度不大，考察了学生对统计和概率知识的初步认识。

【推荐指数】★★★★ 20.【分析】（1）要证 OP = OQ ，只需要证△BOP≌△DOQ 即可，可根据菱形的相关性质求解。

（2）利用菱形的相关性质和已知条件 AD = 4，∠DCB = 60o , BS = 10 ，可以过 A 作 AT⊥BC，与 CB 的延长线交于 T，构造直角三角形，然后根据三角函数和相似三角形的相关知识求解。

【答案】（1）证明：∵ABCD 为菱形，∴AD‖BC。

∴∠OBP=∠ODQ ∵O 是是 BD 的中点， ∴OB=OD 在△BOP 和△DOQ 中， ∵∠OBP=∠ODQ，OB=OD，∠BOP=∠DOQ ∴△BOP≌△DOQ（ASA） ∴OP=OQ。

（2）解：如图，过 A 作 AT⊥BC，与 CB 的延长线交于 T.∵ABCD 是菱形，∠DCB=60° ∴AB=AD=4，∠ABT=60° ∴AT=ABsin60°= 2 3 TB=ABcos60°=2 ∵BS=10，∴TS=TB+BS=12， ∴AS= AT 2 + TS 2 = 2 39 。

∵AD‖BS，∴△AOD∽△SOB。

AO AD 4 2 ∴ = = = ， OS SB 10 5 则AS ? OS 2 AS 7 = ,∴ = OS 5 OS 57 10 39 AS = 。

5 7 同理可得△ARD∽△SRC。∵AS= 2 39 ，∴ OS =AR AD 4 2 = = = , RS SC 6 3 AS ? SR 2 AS 5 = ,∴ = ， RS 3 RS 3∴ RS =3 6 39 AS = 。

5 510 39 6 39 8 39 ? = 。

7 5 35 【涉及知识点】菱形的性质、全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角函数、相似三角形、动点。

【点评】此题以菱形为背景，综合考察了直角三角形、三角函数、相似三角形等初中数学最重要几何知识，难度中等，具有一定的区分度。

【推荐指数】★★★★★∴OR=OS-RS=21.【分析】先把所给式子变形可得: x12 + 3x1 x2 + x2 2 = ( x1 + x2 )2 + x1 x2 ,然后根据一元二次方程根与系数的关系求解。

【答案】7；【涉及知识点】分解因式、完全平方公式、一元二次方程根与系数的关系。

【点评】此题综合考察完全平方公式和一元二次方程根与系数的关系，难度中等，具有一定的区分度。

【推荐指数】★★★ 22.【分析】四边形 APQC 的面积的面积是三角形 ABC 和三角形 BPQ 的面积差，三角形 ABC 的面积可以直接算出，而三角形 BPQ 的面积可以用含自变量 t 的式子表示出来，从而得到一个关于自变量 t 的二次函数，配方求最小值即可。

【答案】3；【涉及知识点】直角三角形、割补法求几何图形面积、二次函数、配方法求最值。

【点评】本题涉及知识点比较多，综合考察了割补法求几何图形面积、二次函数、配方法求最值等比较复杂的几何知识，难度比较大，具有较高的区分度。

【推荐指数】★★★★★ 23.【分析】卡片上两个数的各位数字之和不小于 14 的有：18 和 19、 17 和 18、16 和 17、9 和 8、 8 和 7 共 5 张，所以这个概率是【答案】1 ； 4 1 ； 4【涉及知识点】概率。

【点评】本题考核的知识点是概率的应用，考核点比较单一，难度相对比较小。

【推荐指数】★★ k 24.【分析】由题意可知： A1 ? A2 ? ..... ? An = x1 ? y2 ? x2 ? y3 ......xn ? yn +1 ，又 y = ，即 xxy = k ，所以原式 = x1 ? k n ?1 ? yn +1 。

又 A1 = x1 y2 = a ， k = x2 y2 ，所以 k = 2a ，所以原式x1 ? k n ?1 ? yn +1 = 1 × 2a n ?1 ×k x n +1= 1 × 2a n?1 ×2a 2a n = 。

n +1 n +1(2a)n ； n +1 【涉及知识点】反比例函数的图象和性质【点评】此题考查了反比例函数的图象和性质，计算性较强，尤其是如何把 x 和 y 用 a 和 n 表示，具有一定的难度，使得此题具有较好的区分度。

【推荐指数】★★★★ 25. 分析】【由题意可知，四边形 ABCD 是圆的内接正方形，且该正方形的各边长都是 8，又 CP = 2 ，所以 BP = 6 ， AP = 82 + 62 = 10 ，所以 BR = 10 。然后分情况，当 R 在 AD 或是 CD 上时，分别根据相似求 BQ 和 QR。

【答案】 1 和12 ； 13【涉及知识点】圆、圆内接四边形、直角三角形的勾股定理、动点、相似三角形、一元二次方程。

【点评】此题涉及到的知识点多，难度比较大，同时要考虑动点的不同情况，要想拿到满分比较难，使得该题具有较好的区分度，是一道较好的几何综合题。

【推荐指数】★★★★★ 26.【分析】（1）列一元二次方程求解即可，注意最后的结果是否符合实际情况。

（2）根据题意列不等式求出符合要求的范围即可。【答案】解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为 x 。根据题意，得150(1 + x)2 = 216解得 x1 = 0.2 = 20% ， x2 = ?2.2 （不合题意，舍去）。

答：该市汽车拥有量的年平均增长率为 20%。

（2）设全市每年新增汽车数量为 y 万辆， 2010 年底全市的汽车拥有量为 216 × 90% + y 万则辆，2011 年底全市的汽车拥有量为 (216 × 90% + y ) × 90% + y 万辆。根据题意得 (216 × 90% + y ) × 90% + y ≤ 231.96 解得 y ≤ 30 答：该市每年新增汽车数量最多不能超过 30 万辆。

【涉及知识点】一元二次方程和不等式的实际应用。

【点评】该题综合考查了一元二次方程和不等式的综合应用，难度不大，比较容易得分，美中不足的是该题在 09 年其它省市的中考题中出现过，题目缺乏新意。

【推荐指数】★★ 27.【分析】（1）由弦 CE ⊥ AB 于 F ， C 是弧 AD 的中点，可知弧 AE=弧 AC=弧 CD,从而所对应的圆周角相等，所以 AP=CP。再根据垂径定理和圆周角定理可以求出 3 CP=CQ。

（2）由 tan ∠ABC = , CF = 8 可知 AC、AF 的长，然后根据相似、勾股定理和三角函 4 数可求出 BF、的长度， BC 最后根据 Rt△ACB∽Rt△QCA 求解即可。

3） Rt△ACF∽Rt△CBF，（证和 Rt△AFP∽Rt△GFB。

【答案】（1）证明：∵C 是弧 AD 的中点， ∴弧 AC=弧 CD， ∴∠CAD=∠ABC ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°。

∴∠CAD+∠AQC=90° 又 CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90° ∴∠AQC=∠PCQ ∴在△PCQ 中，PC=PQ， ∵CE⊥直径 AB，∴弧 AC=弧 AE ∴弧 AE=弧 CD ∴∠CAD=∠ACE。

∴在△APC 中，有 PA=PC， ∴PA=PC=PQ ∴P 是△ACQ 的外心。

（2）解：∵CE⊥直径 AB 于 F， ∴在 Rt△BCF 中，由 tan∠ABC=4 32 得 BF = CF = 。

3 3 CF 3 = ，CF=8， BF 4∴由勾股定理，得 BC = CF 2 + BF 2 = ∵AB 是⊙O 的直径，∴在 Rt△ACB 中，由 tan∠ABC= 得 AC =3 BC = 10 。

4AC 3 40 = ， BC = BC 4 3易知 Rt△ACB∽Rt△QCA，∴ AC 2 = CQ ? BC ∴ CQ =AC 2 15 = 。

BC 2 （3）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90° ∴∠DAB+∠ABD=90° 又 CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90° ∴∠DAB=∠G； ∴Rt△AFP∽Rt△GFB， AF FP ∴ ，即 AF ? BF = FP ? FG = FG BF易知 Rt△ACF∽Rt△CBF， ∴ FG 2 = AF ? BF （或由摄影定理得） ∴ FC 2 = PF ? FG 由（1），知 PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC ∴ ( FP + PQ)2 = FP ? FG 。【涉及知识点】圆的垂径定理、外心、圆周角定理、三角函数、三角形的勾股定理、射影定理、相似三角形【点评】此题综合性较强，把初中几何最重要的定理和知识点加以融合，很好的体现了试题是选拔功能和区分度，是一道较好的几何综合题。

【推荐指数】★★★★★ 28.【分析】(1)一次函数下移 3 个单位过原点，可以知道 b=3，又点 A 的坐标和对称轴都知道，则点 B 的坐标可以知道，把已知的点的坐标代入相应的解析式即可。

（2）过点 B 做直线 AC 的垂线段 BD，则 BD 是两个三角形的公共高，所以面积比就是底边的比，然后过点 P 做 x 轴的垂线段，最后根据相似求值。

（3）可以根据题意，分圆与 x 轴相切、与 y 轴相切和与两轴都相切三种情况来考虑。

【答案】（1）解：（1）∵ y = kx + b 沿 y 轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点， ∴ b = 3 (本文来自：Www.dXF5.com 东星资源网:2010年成都中考数学试题)， C (0，。

3) 将 A ( ?3，代入 y = kx + 3 ，得 ?3k + 3 = 0 。解得 k = 1 。

0) ∴直线 AC 的函数表达式为 y = x + 3 。∵抛物线的对称轴是直线 x = ?2 ?9a ? 3b + c = 0 ?a = 1 ? b ? ? = ?2 ∴ ?? 解得 ?b = 4 ? 2a ?c = 3 ? ?c = 3 ? ∴抛物线的函数表达式为 y = x 2 + 4 x + 3 。

（2）如图，过点 B 作 BD⊥AC 于点 D。D P A E B O x∵ S ?ABP : S ?BPC = 2 : 3 ，1 1 ∴ ( ? AP ? BD ) : ( ? PC ? BD ) = 2 : 3 2 2∴ AP : PC = 2 : 3 。

过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E， ∵PE‖CO，∴△APE∽△ACO， ∴PE CO = AP AC = 2 ， 5∴ PE = ∴2 6 OC = 5 56 9 = x + 3 ，解得 ? 5 59 6 ∴点 P 的坐标为 (? ， ) 5 5（3）（Ⅰ）假设⊙Q 在运动过程中，存在圆Q 与坐标轴相切的情况。

设点 Q 的坐标为 ( x0，y0 ) 。

① 当⊙Q 与 y 轴相切时，有 x0 = 1 ，即 x0 = ±1 。

当 x0 = ?1 时，得 y0 = (?1)2 + 4 × (?1) + 3 = 0 ，∴ Q1 (?1， 0) 当 x0 = 1 时，得 y0 = 12 + 4 × 1 + 3 = 8 ，∴ Q2 (1， 8) ② 当⊙Q 与 x 轴相切时，有 y0 = 1 ，即 y0 = ±1 当 y0 = ?1 时，得 ?1 = x0 2 + 4 x0 + 3 ，即 x0 2 + 4 x0 + 4 = 0 ，解得 x0 = ?2 ，∴ Q3 (?2，? 1)1) 当 y0 = 1 时，得 1 = x0 2 + 4 x0 + 3 ，即 x0 2 + 4 x0 + 2 = 0 ，解得 x0 = ?2 ± 2 ，∴ Q4 ( ?2 ? 2，，Q5 (?2 + 2，。

1)综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心 Q 的坐标分别为 Q1 (?1，，Q2 (1，，Q3 (?2，? 1) ， 0) 8)Q4 ( ?2 ? 2，， Q5 (?2 + 2，。

1) 1)（Ⅱ）设点 Q 的坐标为 ( x0，y0 ) 。

当⊙Q 与两坐标轴同时相切时，有 y0 = ± x0 。

由 y0 = x0 ，得 x0 2 + 4 x0 + 3 = x0 ，即 x02 + 3x0 + 3 = 0 ， ∵△= 32 ? 4 × 1× = ?3 0 ∴此方程无解。

由 y0 = ? x0 ，得 x0 2 + 4 x0 + 3 = ? x0 ，即 x02 + 5 x0 + 3 = 0 ，解得 x0 =?5 ± 13 2∴当⊙Q 的半径 r = x0 =?5 ± 13 5 ± 13 = 时，⊙Q 与两坐标轴同时相切。

2 2【涉及知识点】一次函数的图形及性质、二次函数的图形及性质、相似三角形的有关证明和性质、动点、分情况考虑问题等。

【点评】此题具有较高的综合性，考查的知识点非常多，知识之间的衔接自然贯通，难度非常大，作为压轴题，具有很好的区分度，体现了考试的选拔功能。

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