15浙江高考数学
2015年浙江省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 2015年普通高等学校招生全国统一 考试（浙江卷）数学（理科） }是等差数列，公差d不为零，前n =4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不 同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C
ACF的面积之 分）（2015??浙江）设A，B是有限集，定义d（A，B）=card（AB）card（AB），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（ 分）（2015??浙江）存在函数f（x）满足，对任意xR都有（ 分）（2015??浙江）如图，已知ABC，D ACD折成 A′CBα二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 的焦距是，渐近线方程 10．（6分）（2015??浙江）已知函数f 11．（6分）（2015??浙江）函数f（x）=sin x+sinxcosx+1的最小正周期是 12．（4分）（2015??浙江）若a=log 13．（4分）（2015??浙江）如图，三棱锥ABCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点 分别是AD，BC的中点，则异面直线 AN，CM所成的角的余弦值是 14．（4分）（2015??浙江）若实数x，y 满足x 15．（6分）（2015??浙江）已知 是空间单位向量， ，若空间向量 满足 ，且对于任意x，yR， 三、解答题：本大题共5小题，共74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14 分）（2015??浙江）在 ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知A= ABC的面积为2，求b 17．（15分）（2015??浙江）如图，在三棱柱ABCA 在底面ABC的射影为 BC 的中点，D 的中点．（1）证明：A 的平面角的余弦值．18．（15 分）（2015??浙江）已知函数f（x）=x 在区间[1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|2 满足M（a，b）2，求|a|+|b|的最大值．19．（15 分）（2015??浙江）已知椭圆 上两个不同的点A，B关于直线y=mx+ （1）求实数m的取值范围； AOB面积的最大值（O为坐标原点）． 20．（15 分）（2015??浙江）已知数列{a 2015年浙江省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 2015年普通高等学校招生全国统一 考试（浙江卷）数学（理科） [1，2]考点： 交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有 专题： 集合． 分析： 求出P 中不等式的解集确定出P，求出P 的交集即可．解答： P=（0，2），Q=（1，2]， 点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可． 解答： 解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2 的正方体，上部是底面为边长2 的正方形 的正四棱锥，所求几何体的体积为：2 点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力． }是等差数列，公差d不为零，前n 考点：等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 的符号．解答： 解：设等差数列{a 成等比数列，得，整理得： 点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题． 考点：命题的否定．菁优网版权所有 专题： 简易逻辑． 分析： 根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论． 解答： 解：命题为全称命题， 则命题的否定为：n 点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． =4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不 同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C ACF的面积之 考点：直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为 的关系进行求解即可． 解答： 解：如图所示，抛物线的准线DE 过A，B分别作AEDE 由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|1=|BF|1， AE|1=|AF|1， 点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键． 分）（2015??浙江）设A，B是有限集，定义d（A，B）=card（AB）card（AB），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（ 命题不成立，命题成立考点： 复合命题的真假．菁优网版权所有 专题： 集合；简易逻辑． 分析： 命题根据充要条件分充分性和必要性判断即可， 借助新定义，根据集合的运算，判断即可． 解答：解：命题：对任意有限集A，B，若“AB”，则ABAB，则card（AB）＞card 故命题成立，命题，d（A，B）=card（AB）card（AB），d（B，C）=card（BC）card d（A，B）+d（B，C）=card（AB）card（AB）+card（BC）card（BC）=[card（AB）+card（BC）][card（AB）+card（BC）] card（AC）card（AC）=d（A，C），故命题成立， 点评：本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素 个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关 系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题． 分）（2015??浙江）存在函数f（x）满足，对任意xR都有（ +2x）=|x+1|考点： 函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有 专题： 函数的性质及应用． 分析： 利用x 取特殊值，通过函数的定义判断正误即可． 解答： f（0）=0，和1，不符合函数的定义；不存在函数f（x），对任意xR 都有f（sin2x）=sinx； f（0）有两个值，不符合函数的定义；该选项错误； 这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；该选项错误； 即存在函数f（x）=，对任意xR，都有f（x +2x）=|x+1|；该选项正确． 点评：本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难． 分）（2015??浙江）如图，已知ABC，D ACD折成 A′CBα考点： 二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 专题： 空间角． 分析： 解：画出图形，分二面角α 为锐角和钝角两种情况讨论，利用A′CA〃作为中间量 即可． 解答： 解：当二面角α 时，点A′在平面BCD 当二面角α为锐角或钝角时，点A′在平面BCD 当二面角为0时，此时A到A〃位置，连结A′A〃， 连结AA〃，则E、F 在线段AA〃上，AA〃CD，此时α=A′EA〃． 下面分二面角α 为锐角和钝角两种情况讨论： 当二面角α 为锐角时，如图1， 显然有A′EA〃A′CA〃A′CB， 即αA′CB； 当二面角α 为钝角时，如图2， 显然有A′EA〃A′CA〃A′CB， 即αA′CB； 显然当二面角α 点评：本题考查空间角的大小比较，利用中间量是解决本题的关键，注意解题方法的积累， 属于中档题． 二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有 第10 页（共20 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程． 解答： 解：双曲线 焦距是2c=2，渐近线方程是y= 点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础． 10．（6 分）（2015??浙江）已知函数f（x）= 考点：函数的值．菁优网版权所有 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 根据已知函数可先求f（3）=1，然后代入可求f（f（3））；由于x1 +1）＜lg2无最小值， 故f（x）的最小值是 点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题． 11．（6 分）（2015??浙江）函数f（x）=sin x+sinxcosx+1的最小正周期是 考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．菁优网版权所有 专题： 三角函数的求值． 分析： 由三角函数公式化简可得f（x）= sin（2x ，易得最小正周期，解不等式第11 页（共20 2kπ+2x 2kπ+ 可得函数的单调递减区间． 解答： 解：化简可得f（x）=sin （1cos2x）+sin2x+1 由2kπ+2x 2kπ+ 可得kπ+ 点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题． 12．（4 分）（2015??浙江）若a=log 考点：对数的运算性质．菁优网版权所有 专题： 函数的性质及应用． 分析： 直接把a 代入2 ，然后利用对数的运算性质得答案．解答： 解：a=log 点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题． 13．（4 分）（2015??浙江）如图，三棱锥ABCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点 分别是AD，BC的中点，则异面直线 AN，CM所成的角的余弦值是 考点：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 专题： 空间角． 分析： 连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME 说明异面直线AN，CM所成的角就是EMC 第12 页（共20 通过解三角形，求解即可．解答： 解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则MEAN，异面直线AN，CM所 成的角就是EMC， ME==EN，MC=2 点评：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 14．（4 分）（2015??浙江）若实数x，y 满足x 考点：函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有 专题： 不等式的解法及应用；直线与圆． 分析： 根据所给x，y 的范围，可得|6x3y|=6x3y，再讨论直线2x+y2=0 分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．解答： 1，可得6x3y＞0，即|6x3y|=6x3y，如图直线2x+y2=0 分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y20，即|2+y2|=2x+y2， 此时|2x+y2|+|6x3y|=（2x+y2）+（6x3y）=x2y+4， 利用线性规划可得在A（ ）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y20， 此时|2x+y2|+|6x3y|=（2x+y2）+（6x3y）=83x4y，利用线性规划可得在A（ ）处取得最小值3．综上可得，当x= 时，|2x+y2|+|6x3y|的最小值为3．故答案为：3． 第13 页（共20 点评：本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于 中档题． 15．（6 分）（2015??浙江）已知 是空间单位向量， ，若空间向量 满足 ，且对于任意x，yR， 考点：空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 专题： 空间向量及应用． 分析： 由题意和数量积的运算可得＜ =（1，0，0），由已知可解 取最小值1，由模长公式可得 第14页（共20 取最小值1，此时t 点评：本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题． 三、解答题：本大题共5 小题，共74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14 分）（2015??浙江）在 ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知A= ABC的面积为2，求b 考点：余弦定理．菁优网版 权所有 专题： 解三角形． 分析： （1）由余弦定理可得： ，已知b ．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC= =7，可得c，即可得出b．解答： 第15页（共20 点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．（15 分）（2015??浙江）如图，在三棱柱ABCA 在底面ABC的射影为 BC 的中点，D 的中点．（1）证明：A 的平面角的余弦值．考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．菁优网版权所有 专题： 空间位置关系与距离；空间角． 分析： （1）以BC 中点O 为坐标原点，以OB、OA、OA 及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A BD的法向量与平面 BD的法向量的夹角的余弦值的绝对 值的相反数，计算即可． 解答： （1）证明：如图，以BC 中点O 为坐标原点，以OB、OA、OA 则BC=AC=2 ，0，0），C（，0，0）， ，0，0），=（0，0， DBC，又OA BD的法向量为 第16页（共20 ，0，1），设平面B BD的法向量为 又该二面角为钝角，二面角A 点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的 积累，属于中档题． 18．（15 分）（2015??浙江）已知函数f（x）=x 在区间[1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|2 满足M（a，b）2，求|a|+|b|的最大值．考点： 二次函数在闭区间上的最值．菁优网版权所有 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a 的范围明确函数的单调性，结合 已知以及三角不等式变形所求得到证明； （2）讨论a=b=0 以及分析M（a，b）2 得到3a+b1 且3ba1，进一步求出 |a|+|b|的求值． 解答： 解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（1）=1a+b，对称轴为x= 第17页（共20 为最小值，符合题意；又对任意x[1，1]．有2x +ax+b2得到3a+b1 时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3，最小值为0． 点评： 本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是 |f（x）|在区间[1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形． 19．（15 分）（2015??浙江）已知椭圆 上两个不同的点A，B关于直线y=mx+ （1）求实数m的取值范围； AOB面积的最大值（O为坐标原点）． ）．可得＞0，设线段AB的中点P（x 用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得 ，代入 ＞0，即可解出． （2）直线AB与x 轴交点横坐标为n，可得S ，再利用均值不等式即可得出． 解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程，可得 ）．由题意，=4m 第18页（共20 由于点P在直线y=mx+ ，代入＞0，可得3m （2）直线AB与x轴交点横坐标为n， AOB取得最大值为 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦 长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20．（15 分）（2015??浙江）已知数列{a 考点：数列的求和；数列与不等式的综合．菁优网版权所有 专题： 点列、递归数列与数学归纳法． 分析： （1）通过题意易得0＜a 可得1，利用 2，即得结论；第19 页（共20 n+1累加得S n+1，利用数学归纳法可证明 ，化简即得结论．解答： 证明：（1）由题意可知：0＜a 时成立，假设当n=k时也成立，则a k+1 由二次函数单调性知：an+1 时仍然成立，故对n2，均有 第20页（共20 点评：本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本 题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．
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2016浙江高考理科数学第15题>>2016浙江高考理科数学第15题2016浙江高考理科数学第15题2016-11-15 12:58
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今天分享的是2016年高考浙江卷理科数学第15题，题目是这样的.
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针对，老朋友“刘勇”选择了不同的变量，构造了更加简洁的函数，和大家分享如下.
另一位朋友“来者犹可追”也给出了类似的解法，与大家分享.
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