虹口区高考数学二模
2016年上海高三二模考试临近，二模考试是全区统考，对高考考生来说至关重要哦！上海虹口区高三二模考试时间待定，上海新东方优能中学将第一时间发布二模考试数学试卷及答案解析，敬请期待！
虹口区高考数学二模
区 上海市虹口区 2016 年高考数学二模试卷（理科） （解析版） 分 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共 14 小题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填写对得小题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填写对得 4 分，否则一律不得分. 1．设集合 M={x|x 2 =x}，N={x|log 2 x 0}，则 M N= ． 2．已知虚数 1+2i 是方程 x 2 +ax+b=0（a，b R）的一个根，则 a+b= ． 3．在报名的 5 名男生和 4 名女生中，选取 5 人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为 （结果用数值表示） 4．已知复数 z 在复平面内对应的点在曲线 y= 上运动，则|z|的最小值为 ． 5．已知函数 f（x）的对应关系如表： x －2 －1 0 1 2 f（x） 3 －2 1 5 m 若函数 f（x）不存在反函数，则实数 m 的取值集合为 ． 6．在正项等比数列{a n }中，a 1 a 3 =1，a 2+a4 =，则 （a 1+a2 + +a n ）= ． 7．已知 f（x）=2sin x（ ＞0）在[0， ]单调递增，则实数 的最大值为 ． 8．若行列式 中的元素 4 的代数余子式的值等于，则实数 x 的取值集合为 ． 9．二项式（2x－ ） n 展开式中的第 5 项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为 ． 10．已知 A，B 是球 O 的球面上两点， AOB=90 ，C 为该球面上的动点，若三棱锥 O－ABC 体积的最大值为 ，则球 O 的表面积为 ． 11．如图，A，B 为椭圆 + =1（a＞b＞0）的两个顶点，过椭圆的右焦点 F 作 x 轴的垂线，与其交于点 C，若 AB‖OC（O 为坐标原点），则直线 AB 的斜率为 ． 12．若经过抛物线 y 2 =4x 焦点的直线 l 与圆（x－4） 2+y2 =4 相切，则直线 l 的方程为 ． 13．假设某 10 张奖券中有一等奖 1 张奖品价值 100 元；有二等奖 3 张，每份奖品价值 50元；其余 6 张没有奖．现从这 10 张奖券中任意抽取 2 张，获得奖品的总价值 不少于其数学期望 E 的概率为 ． 14．已知对任意的 x （－ ，0） （0，+ ），y [－1，1]，不等式 x 2 + －2xy－－a 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ． 分 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共 4 小题，每小题有且只有一个正确答案，考生应再答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得小题，每小题有且只有一个正确答案，考生应再答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得 5 分，否则一律得 0 分. 15． a=3 是 直线（a 2 －2a）x+y=0 和直线 3x+y+1=0 平行 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．已知抛物线 C 1 ：y 2 =4x 的焦点 F 恰好是椭圆 C 2 ： + =1（a＞b＞0）的右焦点，且两条曲线 C 1 与 C 2 交点的连线过点 F，则椭圆 C 2 的长轴长等于（ ） A． +1 B．2 C．2+2 D．4 17．在△ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，若 S △ABC = （其中S △ABC 表示△ABC 的面积），且（ + ） =0，则△ABC 的形状是（ ） A．有一个角是 30 的等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 18．已知点列 A n （a n ，b n ）（n N * ）均为函数 y=a x （a＞0，a 1）的图象上，点列 B n （n，0）满足|A n B n |=|A n B n+1 |，若数列{b n }中任意连续三项能构成三角形的三边，则 a 的取值范围为（ ） A．（0， ） （ ，+ ） B．（，1） （1， ） C．（0， ） （ ，+ ） D．（，1） （1， ） 共 三、解答题（本大题共 5 小题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤 19．在锐角△ABC 中，sinA=sin 2 B+sin（ +B）sin（ －B）． （1）求角 A 的值； （2）若 =12，求△ABC 的面积． 20．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，已知 PA 平面 ABCD，且四边形 ABCD 为直角梯形， ABC= BAD=90 ，AB=AD=AP=2，BC=1． （1）求点 A 到平面 PCD 的距离； （2）若点 Q 为线段 BP 的中点，求直线 CQ 与平面 ADQ 所成角的大小． 21．已知函数 f（x）=log （ ）满足 f（－2）=1，其中 a 为实常数． （1）求 a 的值，并判定函数 f（x）的奇偶性； （2）若不等式 f（x）＞（ ） x +t 在 x [2，3]上恒成立，求实数 t 的取值范围． 22．已知直线 y=2x 是双曲线 C： － =1 的一条渐近线，点 A（1，0），M（m，n）（n 0）都在双曲线 C 上，直线 AM 与 y 轴相交于点 P，设坐标原点为 O． （1）求双曲线 C 的方程，并求出点 P 的坐标（用 m，n 表示）； （2）设点 M 关于 y 轴的对称点为 N，直线 AN 与 y 轴相交于点 Q，问：在 x 轴上是否存在定点 T，使得 TP TQ？若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若过点 D（0，2）的直线 l 与双曲线 C 交于 R，S 两点，且| + |=| |，试求直线 l 的方程． 23．设数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且（S n －1） 2 =a n S n （n N * ）． （1）求出 S 1 ，S 2 ，S 3 的值，并求出 S n 及数列{a n }的通项公式； （2）设 b n =（－1） n+1 （a n +a n+1 ）（n N * ），求数列{b n }的前 n 项和 T n ； （3）设 c n =（n+1）a n （n N * ），在数列{c n }中取出 m（m N * 且 m 3）项，按照原来的顺序排列成一列，构成等比数列{d n }，若对任意的数列{d n }，均有 d 1+d2 + +d n M，试求 M的最小值． 2016 年上海市虹口区高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 分 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共 14 小题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填写对得小题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填写对得 4 分，否则一律不得分. 1．设集合 M={x|x 2 =x}，N={x|log 2 x 0}，则 M N= [0，1] ． 【分析】求出 M 中方程的解确定出 M，求出 N 中不等式的解集确定出 N，找出两集合的并集即可． 【解答】解：由 M 中方程变形得：x（x－1）=0， 解得：x=0 或 x=1，即 M={0，1}， 由 N 中不等式变形得：log 2 x 0=log 2 1，即 0＜x 1， N=（0，1]， 则 M N=[0，1]， 故答案为：[0，1] 【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． 2．已知虚数 1+2i 是方程 x 2 +ax+b=0（a，b R）的一个根，则 a+b= 3 ． 【分析】根据实系数的一元二次方程 x 2 +ax+b=0 的两个虚数根互为共轭复数，再利用根与系数的关系，即可求出 a、b 的值． 【解答】解：虚数 1+2i 是方程 x 2 +ax+b=0 的一个根， 共轭虚数 1－2i 也是此方程的一个根， a=－（x 1 +x 2 ）=－（1+2i+1－2i）=－2； b=x 1 x 2 =（1+2i）（1－2i）=5； a+b=－2+5=3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了实系数的一元二次方程两个虚数根互为共轭复数以及根与系数关系的应用问题，是基础题． 3．在报名的 5 名男生和 4 名女生中，选取 5 人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为 125 （结果用数值表示） 【分析】根据题意，运用排除法分析，先在 9 名中选取 5 人，参加志愿者服务，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有男生的情况，即可得答案． 【解答】解：根据题意，报名的 5 名男生和 4 名女生，共 9 名学生， 在 9 名中选取 5 人，参加志愿者服务，有 C 9 5 =126 种； 其中只有男生 C 5 5 =1 种情况； 则男、女生都有的选取方式的种数为 126－1=125 种； 故答案为：125． 【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算． 4．已知复数 z 在复平面内对应的点在曲线 y= 上运动，则|z|的最小值为 2 ． 【分析】设 z=x+ i（x R，x 0），利用复数模的计算公式、基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：设 z=x+ i（x R，x 0）， 则|z|= =2，当且仅当 x= 时取等号， 故答案为：2． 【点评】本题考查了复数的模的计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．已知函数 f（x）的对应关系如表： x －2 －1 0 1 2 f（x） 3 －2 1 5 m 若函数 f（x）不存在反函数，则实数 m 的取值集合为 {－2，1，3，5} ． 【分析】由已知可得：f（－2）=3，f（－1）=－2，f（0）=1，f（1）=5，f（2）=m，利用反函数的定义及其性质即可得出． 【解答】解：由已知可得：f（－2）=3，f（－1）=－2，f（0）=1，f（1）=5，f（2）=m， ∵函数 f（x）不存在反函数， 则 m 的值只可以为：－2，1，3，5，否则存在反函数． 实数 m 的取值集合为{－2，1，3，5}． 故答案为：{－2，1，3，5}． 【点评】
本题考查了反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6．在正项等比数列{a n }中，a 1 a 3 =1，a 2+a4 =，则 （a 1+a2 + +a n ）= ． 【分析】由题中的条件求出 q= ，a 1 = ，利用等比数列的前 n 项和公式求出 a 1+a2 + +a n的值，再利用数列极限的运算法则求出结果． 【解答】解：由 a 1 a 3 =1 即 a 2 =1， 得 解得 q= ，a 1 = ，（数列是正项数列） 则 a 1 +a 2 +a 3 + +a n == （a 1 +a 2 + +a n ）= 故答案为： 【点评】本题考查数列极限的运算法则，等比数列的前 n 项和公式求出 q= ，a 1 = ，求出是解题的关键，是中档题． 7．已知 f（x）=2sin x（ ＞0）在[0， ]单调递增，则实数 的最大值为 ． 【分析】由条件利用正弦函数的单调性可得 ，由此求得实数 的最大值． 【解答】解：∵f（x）=2sin x（ ＞0）在[0， ]单调递增， ， 求得 ，则实数 的最大值为 ， 故答案为： ． 【点评】本题主要考查正弦函数的增区间，属于基础题． 8．若行列式 中的元素 4 的代数余子式的值等于，则实数 x 的取值集合为 ． 【分析】根据余子式的定义求出元素 4 的代数余子式的表达式，列出关于 x 的方程化简，利用余弦函数的性质求出实数 x 的取值集合． 【解答】解：由题意得，f（x）= =cos（ +x） 1－2 （－1）=－cosx+2= ， 解得 cosx= ，则， 所以实数 x 的取值集合是 ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了三阶矩阵的代数余子式的定义，余弦函数的性质，属于基础题． 9．二项式（2x－ ） n 展开式中的第 5 项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为 64 ． 【分析】T 5 = =2 n － 4 x n － 6 ，令 n－6=0，解得 n．再利用展开式中各项的二项式系数之和为 2 n ，即可得出． 【解答】解：T 5 = = 2 n － 4 x n － 6 ， 令 n－6=0，解得 n=6． 展开式中各项的二项式系数之和为 2 6 =64． 故答案为：64． 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．已知 A，B 是球 O 的球面上两点， AOB=90 ，C 为该球面上的动点，若三棱锥 O－ABC 体积的最大值为 ，则球 O 的表面积为 64 ． 【分析】当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 O－ABC 的体积最大，利用三棱锥 O－ABC 体积的最大值为 ，求出半径，即可求出球 O 的表面积． 【解答】解：如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 O－ABC 的体积最大，设球 O 的半径为 R，此时 V O － ABC =V C － AOB = = = ， 故 R=4，则球 O 的表面积为 4 R 2 =64 ， 故答案为：64 ． 【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 O－ABC 的体积最大是关键． 11．如图，A，B 为椭圆 + =1（a＞b＞0）的两个顶点，过椭圆的右焦点 F 作 x 轴的垂线，与其交于点 C，若 AB‖OC（O 为坐标原点），则直线 AB 的斜率为 ． 【分析】由已知得 C（c， ），A（－a，0），B（0，b），从而得到 ，即 b=c，由此能求出直线 AB 的斜率． 【解答】解：∵A，B 为椭圆 + =1（a＞b＞0）的两个顶点， 过椭圆的右焦点 F 作 x 轴的垂线，与其交于点 C，AB‖OC（O 为坐标原点）， C（c， ），A（－a，0），B（0，b）， ， bc=b 2 ， b=c， a 2 =b 2 +c 2 =2c 2 ， a= =， 直线 AB 的斜率 k= = ． 故答案为： ． 【点评】本题考查直线方程的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用． 12．若经过抛物线 y 2 =4x 焦点的直线 l 与圆（x－4） 2+y2 =4 相切，则直线 l 的方程为 y= ． 【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出 l 的点斜式方程，利用切线的性质列方程解出 k． 【解答】解：抛物线的焦点为 F（1，0），设直线 l 的方程为 y=k（x－1），即 kx－y－k=0， ∵直线 l 与圆（x－4） 2+y2 =4 相切， =2，解得 k= ． 直线 l 的方程为：y= （x－1）． 故答案为：y= （x－1）． 【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题． 13．假设某 10 张奖券中有一等奖 1 张奖品价值 100 元；有二等奖 3 张，每份奖品价值 50元；其余 6 张没有奖．现从这 10 张奖券中任意抽取 2 张，获得奖品的总价值 不少于其数学期望 E 的概率为 ． 【分析】根据题意可得： 的所有可能值为：0，50，100，150，（元），再根据古典概型的概率公式分别求出其概率，进而列出 的分布列与其期望，即可求出获得奖品的总价值 不少于其数学期望 E 的概率． 【解答】解：根据题意可得： 的所有可能值为：0，50，100，150，（元）． 所以 P（ =0）= = ，P（ =50）= =，P（ =100）= = ，P（ =150）= = ， 所以 的分布列为： 0 50 100 150 P 所以 的数学期望为：E =0 +50 +100 +150 =50， 获得奖品的总价值 不少于其数学期望 E 的为 1－ = ， 故答案为： ． 【点评】本题考查古典概型、排列组合、离散型随机变量的分布列和期望，及利用概率知识解决问题的能力． 14．已知对任意的 x （－ ，0） （0，+ ），y [－1，1]，不等式 x 2 + －2xy－－a 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ． 【分析】设 y=cos ， [0， ]．可得：xy+ = cos （ + ），可得 a －2，令 t= ，即可得出． 【解答】解：设 y=cos ， [0， ]． ∵xy+ =xcos + |sin |= cos（ + ）， a －2 ，令 t= ， ， a t 2 －2t=（t－1） 2 －1， a 8－4． 实数 a 的取值范围为 ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了三角函数换元方法、三角函数的单调性、基本不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 分 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共 4 小题，每小题有且只有一个正确答案，考生应再答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得小题，每小题有且只有一个正确答案，考生应再答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得 5 分，否则一律得 0 分. 15． a=3 是 直线（a 2 －2a）x+y=0 和直线 3x+y+1=0 平行 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义及直线平行的充要条件，我们可以先判断 a=3 直线（a 2 －2a）x+y=0 和直线 3x+y+1=0 互相平行 的真假，再判断 直线（a 2 －2a）x+y=0和直线 3x+y+1=0 互相平行 a=3 的真假，进而根据兖要条件的定义，得到结论． 【解答】解：当 a=3 时，直线（a 2 －2a）x+y=0 的方程可化为 3x+y=0， 此时 直线（a 2 －a）x+y=0 和直线 3x+y+1=0 互相平行 即 a=3 直线（a 2 －2a）x+y=0 和直线 3x+y+1=0 互相平行 为真命题； 而当 直线（a 2 －2a）x+y=0 和直线 3x+y+1=0 互相平行 时， a 2 －2a－3=0，即 a=3 或 a=－1，此时 a=3 不一定成立， 即 直线（a 2 －2a）x+y=0 和直线 3x+y+1=0 互相平行 a=3 为假命题； 故 a=3 是 直线（a 2 －2a）x+y=0 和直线 3x+y+1=0 互相平行 的充分不必要条件 故选：A． 【点评】判断充要条件的方法是：①若 p q 为真命题且 q p 为假命题，则命题 p 是命题 q的充分不必要条件；②若 p q 为假命题且 q p 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件；③若 p q 为真命题且 q p 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件；④若 p q 为假命题且 q p 为假命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据 谁大谁必要，谁小谁充分 的原则，判断命题 p 与命题 q 的关系 16．已知抛物线 C 1 ：y 2 =4x 的焦点 F 恰好是椭圆 C 2 ： + =1（a＞b＞0）的右焦点，且两条曲线 C 1 与 C 2 交点的连线过点 F，则椭圆 C 2 的长轴长等于（ ） A． +1 B．2 C．2+2 D．4 【分析】由已知椭圆 C 2 ： + =1（a＞b＞0）的右焦点 F（1，0），，由此能求出椭圆 C 2 的长轴长． 【解答】解：∵抛物线 C 1 ：y 2 =4x 的焦点 F 恰好是椭圆 C 2 ： + =1（a＞b＞0）的右焦点， 椭圆 C 2 ： + =1（a＞b＞0）的右焦点 F（1，0）， ∵两条曲线 C 1 与 C 2 交点的连线过点 F（1，0）， ，c=1， 又 a 2 =b 2 +c 2 ， a=， 椭圆 C 2 的长轴长 2a=2． 故选：C． 【点评】本题考查椭圆的长轴长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线、椭圆的性质的合理运用． 17．在△ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，若 S △ABC = （其中S △ABC 表示△ABC 的面积），且（ + ） =0，则△ABC 的形状是（ ） A．有一个角是 30 的等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【分析】可作 ，从而可作出平行四边形 ADFE，并且该四边形为菱形，且有 ，根据条件即可得出 AF BC，进而便可得出 AB=AC，即 b=c，这样即可求得 ，而根据条件可得 ，从而有，进一步即可得到 a 2 =2c 2 =b 2+c2 ，这样便可得出△ABC 的形状． 【解答】解：如图，在边 AB，AC 上分别取点 D，E，使 ，以 AD，AE 为邻边作平行四边形 ADFE，则： 四边形 ADFE 为菱形，连接 AF，DE，AF DE，且 ； ∵ ； ； AF BC； 又 DE AF； DE‖BC，且 AD=AE； AB=AC，即 b=c； 延长 AF 交 BC 的中点于 O，则： ，b=c； ； ； 4c 2 －a 2 =a 2 ； a 2 =2c 2 =b 2 +c 2 ； BAC=90 ，且 b=c； △ABC 的形状为等腰直角三角形． 故选：D． 【点评】考查向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，菱形的对角线互相垂直，以及向量垂直的充要条件，等腰三角形的高线也是中线，以及三角形的面积公式，直角三角形边的关系． 18．已知点列 A n （a n ，b n ）（n N * ）均为函数 y=a x （a＞0，a 1）的图象上，点列 B n （n，0）满足|A n B n |=|A n B n+1 |，若数列{b n }中任意连续三项能构成三角形的三边，则 a 的取值范围为（ ） A．（0， ） （ ，+ ） B．（，1） （1， ） C．（0， ） （ ，+ ） D．（，1） （1， ） 【分析】根据题意，得出 a n 、b n 的解析式，讨论 a＞1 和 0＜a＜1 时，满足的条件，从而求出 a 的取值范围． 【解答】解：由题意得，点 B n （n，0），A n （a n ，b n ）满足|A n B n |=|A n B n+1 |， 由中点坐标公式，可得 B n B n+1 的中点为（n+ ，0）， 即 a n=n+，b n =； 当 a＞1 时，以 b n － 1 ，b n ，b n+1 为边长能构成一个三角形， 只需 b n － 1 +b n+1 ＞b n ， b n － 1 ＜b n ＜b n+1 ， 即 + ＞ ， 即有 1+a 2 ＜a， 解得 1＜a＜ ； 同理，0＜a＜1 时，解得 ＜a＜1； 综上，a 的取值范围是 1＜a＜ 或 ＜a＜1， 故选：B． 【点评】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了数列递推公式的应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目． 共 三、解答题（本大题共 5 小题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤 19．在锐角△ABC 中，sinA=sin 2 B+sin（ +B）sin（ －B）． （1）求角 A 的值； （2）若 =12，求△ABC 的面积． 【分析】（1）根据两角和差的正弦公式便可以得出= ，从而可由 得出 ，这样即可得到 A= ； （2）可由 及 便可得出 的值，这样根据三角形的面积公式即可求出△ABC 的面积． 【解答】解：（1）在△ABC 中， = = = = ； 又 A 为锐角； ； （2） ； ； = ． 【点评】考查两角和差的正弦公式，sin 2 x+cos 2 x=1，已知三角函数值求角，以及向量数量积的计算公式，三角形的面积公式： ． 20．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，已知 PA 平面 ABCD，且四边形 ABCD 为直角梯形， ABC= BAD=90 ，AB=AD=AP=2，BC=1． （1）求点 A 到平面 PCD 的距离； （2）若点 Q 为线段 BP 的中点，求直线 CQ 与平面 ADQ 所成角的大小． 【分析】（1）以 A 为原点，以 AB，AD，AP 为坐标轴建立空间直角坐标系，求出平面 PCD的法向量 ，计 AP 与平面 PCD 所成的角的正弦值，即可得出 A 到平面 PCD 的距离； （2）证明 BP 平面 ADQ，则 为平面 ADQ 的一个法向量，计算|cos＜ ＞|即为直线 CQ 与平面 ADQ 所成角的正弦值． 【解答】解：（1）以 A 为原点，以 AB，AD，AP 为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则 A（0，0，0），P（0，0，2），C（2，1，0），D（0，2，0）． =（0，0，2）， =（－2，1，0）， =（0，2，－2）． 设平面 PCD 的法向量为 =（x，y，z），则 ， ，令 z=1 得 =（ ，1，1）． =2，cos＜ ＞= = ． 设 AP 与平面 PCD 所成角为 ，则 sin = ． A 到平面 PCD 的距离为|AP|sin =2 = ． （2）∵PA=AB，Q 是 PB 的中点， AQ PB， 又 AD 平面 PAB，PB 平面 PAB， AD PB， 又 AQ 平面 ADQ，AD 平面 ADQ，AQ AD=A， PB 平面 ADQ， =（－2，0，2）为平面 ADQ 的一个法向量． 又 Q（1，0，1），C（2，1，0）， =（－1，－1，1）． =4，cos＜ ＞= = ． 直线 CQ 与平面 ADQ 所成角为 arcsin ． 【点评】本题考查了空间向量的应用，空间距离与空间角的计算，多采用向量法来解决问题，属于中档题． 21．已知函数 f（x）=log （ ）满足 f（－2）=1，其中 a 为实常数． （1）求 a 的值，并判定函数 f（x）的奇偶性； （2）若不等式 f（x）＞（ ） x +t 在 x [2，3]上恒成立，求实数 t 的取值范围． 【分析】（1）根据 f（－2）=1，构造方程，可得 a 的值，结合奇偶性的宝义，可判定函数f（x）的奇偶性； （2）若不等式 f（x）＞（ ） x +t 在 x [2，3]上恒成立，则 t＜log （ ）－（ ）x在 x [2，3]上恒成立，构造函数求出最值，可得答案． 【解答】解：（1）∵函数 f（x）=log （ ）满足 f（－2）=1， log （）=1， = ， 解得：a=－1， f（x）=log （ ）的定义域（－ ，－1） （1，+ ）关于原点对称； 又∵f（－x）=log （ ）=log （ ）=－log（ ）=－f（x）， 故函数 f（x）为奇函数； （2）若不等式 f（x）＞（ ） x +t 在 x [2，3]上恒成立， 则 t＜log （ ）－（） x 在 x [2，3]上恒成立， 设 g（x）=log （ ）－（ ） x ， 则 g（x）在[2，3]上是增函数． g（x）＞t 对 x [2，3]恒成立， t＜g（2）=－ ． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，单调性的证明以及不等式恒成立问题，构造函数，利用参数分离法是解决函数恒成立问题的基本方法． 22．已知直线 y=2x 是双曲线 C： － =1 的一条渐近线，点 A（1，0），M（m，n）（n 0）都在双曲线 C 上，直线 AM 与 y 轴相交于点 P，设坐标原点为 O． （1）求双曲线 C 的方程，并求出点 P 的坐标（用 m，n 表示）； （2）设点 M 关于 y 轴的对称点为 N，直线 AN 与 y 轴相交于点 Q，问：在 x 轴上是否存在定点 T，使得 TP TQ？若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若过点 D（0，2）的直线 l 与双曲线 C 交于 R，S 两点，且| + |=| |，试求直线 l 的方程． 【分析】（1）求得双曲线的渐近线方程，可得 b=2a，由题意可得 a=1，b=2，可得双曲线的方程，求出直线 AM 的方程，可令 x=0，求得 P 的坐标； （2）求得对称点 N 的坐标，直线 AN 方程，令 x=0，可得 N 的坐标，假设存在 T，运用两直线垂直的条件：斜率之积为－1，结合 M 在双曲线上，化简整理，即可得到定点 T； （3）设出直线 l 的方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理，由向量数量积的性质，可得向量 OR，OS 的数量积为 0，化简整理，解方程可得 k 的值，检验判别式大于 0 成立，进而得到直线 l 的方程． 【解答】解：（1）双曲线 C： － =1 的渐近线为 y= x， 由题意可得 =2，a=1，可得 b=2， 即有双曲线的方程为 x 2 － =1， 又 AM 的方程为 y= （x－1）， 令 x=0，可得 P（0， ）； （2）点 M 关于 y 轴的对称点为 N（－m，n）， 直线 AN 的方程为 y= （x－1）， 令 x=0，可得 Q（0， ）， 假设 x 轴存在点 T（t，0），使得 TP TQ． 即有 k TP k TQ =－1， 即为 =－1， 可得 t 2 = ， 由（m，n）满足双曲线的方程，可得 m 2 － =1， 即有 =4， 可得 t 2 =4，解得 t= 2， 故存在点 T（ 2，0），使得 TP TQ； （3）可设过点 D（0，2）的直线 l：y=kx+2， 代入双曲线的方程可得（4－k 2 ）x 2 －4kx－8=0， 即有△=16k 2 +32（4－k 2 ）＞0，即 k 2 ＜8， 设 R（x 1 ，y 1 ），S（x 2 ，y 2 ）， 可得 x 1 +x 2 =，x 1 x 2=－， 由| + |=| |=| － |， 两边平方可得 =0， 即有 x 1 x 2 +y 1 y 2 =0， 即 x 1 x 2 +（kx 1 +2）（kx 2 +2）=（1+k 2 ）x 1 x 2 +2k（x 1 +x 2 ）+4=0， 即为（1+k 2 ）（－ ）+2k（）+4=0， 化简可得 k 2 =2，检验判别式大于 0 成立， 即有 k= ， 则所求直线的方程为 y= x+2． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查对称思想的运用，以及两直线垂直的条件，联立直线方程和双曲线方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为 0，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 23．设数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且（S n －1） 2 =a n S n （n N * ）． （1）求出 S 1 ，S 2 ，S 3 的值，并求出 S n 及数列{a n }的通项公式； （2）设 b n =（－1） n+1 （a n +a n+1 ）（n N * ），求数列{b n }的前 n 项和 T n ； （3）设 c n =（n+1）a n （n N * ），在数列{c n }中取出 m（m N * 且 m 3）项，按照原来的顺序排列成一列，构成等比数列{d n }，若对任意的数列{d n }，均有 d 1+d2 + +d n M，试求 M的最小值． 【分析】（1）利用 a n =S n －S n － 1 及（S n －1） 2 =a n S n 整理可知 S n =，通过计算出前三项的值，利用归纳推理猜想 S n = ，进而利用数学归纳法证明即可； （2）通过（1）裂项可知 b n =（－1） n+1 （ － ），进而分 n 为奇数、偶数两种情况讨论即可； （3）通过（1）可知 c n = ，进而问题转化为求首项为 1、公比为的等比数列的前 n 项和． 【解答】解：（1）∵a n =S n －S n － 1 ， （S n －1） 2 =a n S n =（S n －S n － 1 ）S n ，即 S n =， 又∵（S1－1）2=S12，即 S 1 = ， S 2 = =，S 3 = =， 猜想：S n = ． 下面用数学归纳法来证明： ①当 n=1 时，命题成立； ②假设当 n=k（k 1）时，有 S k = ， 则 S k+1 == ， 即当 n=k+1 时，命题也成立； 由①②可知 S n = ． a n =S n －S n － 1 =－ = （n 2）， 又∵a 1 =S 1 = 满足上式， 数列{a n }的通项公式 a n =； （2）由（1）可知，b n =（－1） n+1 （a n+an+1 ）=（－1） n+1 （－ ）， 特别地，当 n 为奇数时，n+1 为偶数，此时 b n+bn+1 =－ － + ， ①若 n 为偶数，则 T n =（b 1+b2 ）+（b 3+b4 ）+ +（b n － 1+bn ） =（1－ － + ）+（ －－ + ）+ +（ － － + ） =1－ － + = － ； ②当 n 为奇数且 n＞1 时，T n =T n － 1+bn ， 故 T n = －+ － = + ， 又∵T 1 =b 1 = 满足上式， 当 n 为奇数时，T n = + ； 由①②可知：T n =； （3）由（1）可知 a n = ， c n =（n+1）a n =（n N * ）， 由题意可知需等比数列{d n }的首项及公比均达到最大，显然首项为 1、公比为， 1+ + + + = =2（1－ ）， ∵ （1+ + + + ）= [2（1－ ）]=2， M 的最小值为 2． 【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和，考查分类讨论的思想，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．